2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例學(xué)案含解析新人教A版選修2-2

PAGE1-1．4生活中的優(yōu)化問(wèn)題舉例[目標(biāo)]1.學(xué)會(huì)解決利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問(wèn)題.2.學(xué)會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決生活中簡(jiǎn)潔實(shí)際問(wèn)題，并體會(huì)導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.3.提高將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)力．[重點(diǎn)]用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際生活中的最優(yōu)化問(wèn)題．[難點(diǎn)]將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題．學(xué)問(wèn)點(diǎn)生活中的優(yōu)化問(wèn)題[填一填]1．優(yōu)化問(wèn)題生活中常常遇到求利潤(rùn)最大、用料最省、效率最高等問(wèn)題，這些問(wèn)題通常稱為優(yōu)化問(wèn)題．2．利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題的基本思路[答一答]利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題時(shí)應(yīng)留意什么問(wèn)題？提示：(1)在求實(shí)際問(wèn)題的最大(小)值時(shí)，肯定要考慮實(shí)際問(wèn)題的意義，不符合實(shí)際意義的值應(yīng)舍去；(2)在解決實(shí)際優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，不僅要留意將問(wèn)題中涉及的變量關(guān)系用函數(shù)關(guān)系表示，還應(yīng)確定出函數(shù)關(guān)系式中自變量的定義區(qū)間；(3)在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)會(huì)遇到函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使f′(x)＝0的情形，假如函數(shù)在這點(diǎn)有極大(小)值，那么不與端點(diǎn)值比較，也可以知道這就是最大(小)值．1．利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題，往往歸結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題．2．利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題時(shí)，要留意以下幾點(diǎn)：(1)當(dāng)問(wèn)題中涉及多個(gè)變量時(shí)，應(yīng)依據(jù)題意分析它們的關(guān)系，找出變量間的關(guān)系式；(2)確定函數(shù)關(guān)系式中自變量的取值范圍；(3)所得的結(jié)果要符合問(wèn)題的實(shí)際意義．3．要留意方法的敏捷運(yùn)用，如配方法、基本不等式法、導(dǎo)數(shù)法．類(lèi)型一利潤(rùn)最高問(wèn)題【例1】某種商品每件的成本為9元，當(dāng)售價(jià)為30元時(shí)，每星期可賣(mài)出432件．假如降低價(jià)格，銷(xiāo)售量可以增加，且每星期多賣(mài)出的商品件數(shù)與商品單價(jià)的降低額x(單位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品單價(jià)降低2元時(shí)，每星期可多賣(mài)出24件．(1)將一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)表示成x的函數(shù)；(2)如何定價(jià)才能使一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)最大？【解】(1)設(shè)商品降價(jià)x元，則多賣(mài)的商品數(shù)為kx2，若記商品在一個(gè)星期里的獲利為f(x)，則有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)，又由已知條件得24＝k×22，于是有k＝6.所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21]．(2)依據(jù)(1)得f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)．令f′(x)＝0，即－18(x－2)(x－12)＝0，得x1＝2，x2＝12.當(dāng)x改變時(shí)，f′(x)，f(x)如下表：x0(0,2)2(2,12)12(12,21)21f′(x)－0＋0－f(x)9072微小值極大值0因?yàn)閒(0)＝9072<f(12)＝11664，所以當(dāng)x＝12時(shí)，f(x)取得最大值，即當(dāng)定價(jià)為30－12＝18(元)時(shí)，能使一個(gè)星期的商品銷(xiāo)售利潤(rùn)最大．實(shí)際生活中利潤(rùn)最大，容積、面積最大，流量、速度最大等問(wèn)題都須要利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解相應(yīng)函數(shù)的最大值.依據(jù)f′x＝0求出極值點(diǎn)留意依據(jù)實(shí)際意義舍去不合適的極值點(diǎn)后，函數(shù)在該點(diǎn)旁邊滿意左增右減，則此時(shí)唯一的極大值就是所求函數(shù)的最大值.當(dāng)前，網(wǎng)校教學(xué)越來(lái)越受到廣高校生的寵愛(ài)，它已經(jīng)成為學(xué)生課外學(xué)習(xí)的一種趨勢(shì)．假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷(xiāo)售量y(單位：千套)與銷(xiāo)售價(jià)格x(單位：元/套)滿意的關(guān)系式為y＝eq\f(m,x－2)＋4(x－6)2，其中2<x<6，m為常數(shù)．已知銷(xiāo)售價(jià)格為4元/套時(shí)，每日可售出套題21千套．(1)求m的值；(2)假設(shè)網(wǎng)校的員工工資、辦公等全部開(kāi)銷(xiāo)折合為每套題2元(只考慮銷(xiāo)售出的套數(shù))，試確定銷(xiāo)售價(jià)格x的值，使網(wǎng)校每日銷(xiāo)售套題所獲得的利潤(rùn)最大．(精確到0.1)解：(1)因?yàn)楫?dāng)x＝4時(shí)，y＝21，代入關(guān)系式y(tǒng)＝eq\f(m,x－2)＋4(x－6)2，得eq\f(m,2)＋16＝21，解得m＝10.(2)由(1)可知，套題每日的銷(xiāo)售量y＝eq\f(10,x－2)＋4(x－6)2，所以每日銷(xiāo)售套題所獲得的利潤(rùn)為f(x)＝(x－2)[eq\f(10,x－2)＋4(x－6)2]＝10＋4(x－6)2(x－2)＝4x3－56x2＋240x－278(2<x<6)，從而f′(x)＝12x2－112x＋240＝4(3x－10)(x－6)(2<x<6)．令f′(x)＝0，得x＝eq\f(10,3)或x＝6(舍去)．當(dāng)x∈(2，eq\f(10,3))時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(eq\f(10,3)，6)時(shí)，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．所以x＝eq\f(10,3)是函數(shù)f(x)在(2,6)內(nèi)的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)，所以當(dāng)x＝eq\f(10,3)≈3.3時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值．故當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格約為3.3元/套時(shí)，網(wǎng)校每日銷(xiāo)售套題所獲得的利潤(rùn)最大．類(lèi)型二費(fèi)用最省問(wèn)題【例2】為了在夏季降溫柔冬季供暖時(shí)削減能源損耗，房屋的屋頂和外墻須要建立隔熱層．某幢建筑物要建立可運(yùn)用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建立成本為6萬(wàn)元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬(wàn)元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿意關(guān)系：C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元．設(shè)f(x)為隔熱層建立費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和．(1)求k的值及f(x)的解析式；(2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小？并求最小值．【解】(1)由題設(shè)，每年能源消耗費(fèi)用為C(x)＝eq\f(k,3x＋5)(0≤x≤10)，再由C(0)＝8，得k＝40，因此C(x)＝eq\f(40,3x＋5).而建立費(fèi)用為C1(x)＝6x.最終得隔熱層建立費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×eq\f(40,3x＋5)＋6x＝eq\f(800,3x＋5)＋6x(0≤x≤10)．(2)f′(x)＝6－eq\f(2400,3x＋52)，令f′(x)＝0，即eq\f(2400,3x＋52)＝6，解得x＝5或x＝－eq\f(25,3)(舍去)．當(dāng)0<x<5時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)5<x<10時(shí)，f′(x)>0，故x＝5是f(x)的最小值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的最小值為f(5)＝6×5＋eq\f(800,15＋5)＝70.當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí)，總費(fèi)用達(dá)到最小值70萬(wàn)元．1在列函數(shù)解析式時(shí)，要留意實(shí)際問(wèn)題中變量的取值范圍，即函數(shù)的定義域.2一般地，通過(guò)函數(shù)的極值來(lái)求得函數(shù)的最值.假如函數(shù)fx在給定區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)或函數(shù)fx在開(kāi)區(qū)間上只有一個(gè)點(diǎn)使f′x＝0，則只要依據(jù)實(shí)際意義推斷該值是最大值還是最小值即可，不必再與端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行比較.某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米．余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩．經(jīng)測(cè)算，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬(wàn)元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2＋eq\r(x))x萬(wàn)元．假設(shè)橋墩等距離分布，全部橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素．記余下工程的費(fèi)用為y萬(wàn)元．(1)試寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)m＝640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y最?。拷猓?1)設(shè)須要新建n個(gè)橋墩，則(n＋1)x＝m，即n＝eq\f(m,x)－1，所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋eq\r(x))x＝256(eq\f(m,x)－1)＋eq\f(m,x)(2＋eq\r(x))x＝eq\f(256m,x)＋meq\r(x)＋2m－256(0<x<m且eq\f(m,x)為正整數(shù))．(2)由(1)知，f′(x)＝－eq\f(256m,x2)＋eq\f(1,2)mxeq\s\up15(－eq\f(1,2))＝eq\f(m,2x2)(xeq\s\up15(eq\f(3,2))－512)．令f′(x)＝0，解得x＝64.當(dāng)0<x<64時(shí)，f′(x)<0，f(x)在區(qū)間(0,64)上單調(diào)遞減；當(dāng)64<x<640時(shí)，f′(x)>0，f(x)在區(qū)間(64,640)上單調(diào)遞增．所以f(x)在x＝64處取得微小值，也是最小值，此時(shí)，n＝eq\f(m,x)－1＝eq\f(640,64)－1＝9,9∈N＋，符合題意，故需新建9個(gè)橋墩才能使y最小．高考應(yīng)用題對(duì)生活中優(yōu)化問(wèn)題的考查【例3】某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度)．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設(shè)建立成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建立成本為100元/平方米，底面的建立成本為160元/平方米，該蓄水池的總建立成本為12000π元(π為圓周率)．(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；(2)探討函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大．【解】(1)因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為100×2πrh＝200πrh(元)，底面的總成本為160πr2元，所以蓄水池的總成本為(200πrh＋160πr2)元．依據(jù)題意得200πrh＋160πr2＝12000π，所以h＝eq\f(1,5r)(300－4r2)，從而V(r)＝πr2h＝eq\f(π,5)(300r－4r3)．由h>0，且r>0可得0<r<5eq\r(3)，故函數(shù)V(r)的定義域?yàn)?0,5eq\r(3))．(2)由(1)知V(r)＝eq\f(π,5)(300r－4r3)(0<r<5eq\r(3))，故V′(r)＝eq\f(π,5)(300－12r2)．令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去)．當(dāng)r∈(0,5)時(shí)，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上為增函數(shù)；當(dāng)r∈(5,5eq\r(3))時(shí)，V′(r)<0，故V(r)在(5,5eq\r(3))上為減函數(shù)．由此可知，V(r)在r＝5處取得極大值，也是最大值，此時(shí)h＝8，即當(dāng)r＝5，h＝8時(shí)，該蓄水池的體積最大．【解后反思】此類(lèi)問(wèn)題多以解答題的形式出現(xiàn)，解題的關(guān)鍵是由題意列出函數(shù)解析式，留意實(shí)際意義對(duì)自變量的制約，求出定義域后在定義域內(nèi)探討函數(shù)的最值．試題難度偏大，屬于高檔題．請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒．如圖所示，ABCD是邊長(zhǎng)為60cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P，正好形成一個(gè)正四棱柱形態(tài)的包裝盒．E，F(xiàn)在AB上，且是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn)．設(shè)AE＝FB＝x(cm)．(1)若廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？(2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問(wèn)x應(yīng)取何值？并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值．解：設(shè)包裝盒的高為hcm，底面邊長(zhǎng)為acm.由已知得，a＝eq\r(2)x，h＝eq\f(60－2x,\r(2))＝eq\r(2)(30－x)，0<x<30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以當(dāng)x＝15時(shí)，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2eq\r(2)(－x3＋30x2)，V′＝6eq\r(2)x(20－x)．由V′＝0得x＝0(舍去)或x＝20.當(dāng)x∈(0,20)時(shí)，V′>0；當(dāng)x∈(20,30)時(shí)，V′<0.所以當(dāng)x＝20時(shí)，V取得極大值，也是最大值，此時(shí)eq\f(h,a)＝eq\f(1,2)，即包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為eq\f(1,2).1．做一個(gè)容積為256m3的方底無(wú)蓋水箱，所用材料最省時(shí)，它的高為(C)A．6mB．8mC．4mD．2m解析：設(shè)底面邊長(zhǎng)為xm，高為hm，則有x2h＝256，所以h＝eq\f(256,x2).所用材料的面積設(shè)為Sm2，則有S＝4x·h＋x2＝4x·eq\f(256,x2)＋x2＝eq\f(256×4,x)＋x2.S′＝2x－eq\f(256×4,x2)，令S′＝0得x＝8，因此h＝eq\f(256,64)＝4(m)．2．已知某生產(chǎn)廠家的年利潤(rùn)y(單位：萬(wàn)元)與年產(chǎn)量x(單位：萬(wàn)件)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤(rùn)的年產(chǎn)量為(C)A．13萬(wàn)件 B．11萬(wàn)件C．9萬(wàn)件 D．7萬(wàn)件解析：因?yàn)閥′＝－x2＋81，所以當(dāng)x>9時(shí)，y′<0；當(dāng)0<x<9時(shí)，y′>0，所以函數(shù)y＝－eq\f(1,3)x3＋81x－234在(9，＋∞)上單調(diào)遞減，在(0,9)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝9時(shí)函數(shù)取最大值．3．某商品一件的成本為30元，在某段時(shí)間內(nèi)，若以每件x元出售，可賣(mài)出(200－x)件，當(dāng)每件商品的定價(jià)為115元時(shí)，利潤(rùn)最大．解析：利潤(rùn)為S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000，S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0，得x＝115，當(dāng)x<115時(shí)，s′(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)x>115時(shí)，s′(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝115時(shí)，利潤(rùn)達(dá)到最大．4．某公司租地建倉(cāng)庫(kù)，每月土地占用費(fèi)y1與倉(cāng)庫(kù)到車(chē)站的距離成反比，而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與到車(chē)站的距離成正比，假如在距離車(chē)站10千米處建倉(cāng)庫(kù)，這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元，那么，要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小