2025年新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)突破講義專題09指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

專題09指數(shù)與指數(shù)函數(shù)【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1、指數(shù)及指數(shù)運(yùn)算（1）根式的定義：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，記為，稱為根指數(shù)，稱為根底數(shù)．（2）根式的性質(zhì)：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)．當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)．（3）指數(shù)的概念：指數(shù)是冪運(yùn)算中的一個(gè)參數(shù)，為底數(shù)，為指數(shù)，指數(shù)位于底數(shù)的右上角，冪運(yùn)算表示指數(shù)個(gè)底數(shù)相乘．（4）有理數(shù)指數(shù)冪的分類①正整數(shù)指數(shù)冪；②零指數(shù)冪；③負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，；④的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于，的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義．（5）有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)①，，；②，，；③，，；④，，．2、指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)①定義域，值域②，即時(shí)，，圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)③，即時(shí)，等于底數(shù)④在定義域上是單調(diào)減函數(shù)在定義域上是單調(diào)增函數(shù)⑤時(shí)，；時(shí)，時(shí)，；時(shí)，⑥既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)【方法技巧與總結(jié)】1、指數(shù)函數(shù)常用技巧（1）當(dāng)?shù)讛?shù)大小不定時(shí)，必須分“”和“”兩種情形討論．（2）當(dāng)時(shí)，，；的值越小，圖象越靠近軸，遞減的速度越快．當(dāng)時(shí)，；的值越大，圖象越靠近軸，遞增速度越快．（3）指數(shù)函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱．【典例例題】例1．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知是奇函數(shù)，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】因?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?，即是定義在上的奇函數(shù)，則，則，所以.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)，滿足題意.故選：D.例2．（2024·高三·重慶長(zhǎng)壽·期末）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C．0 D．【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，故選：B.例3．（2024·高三·黑龍江哈爾濱·期末）已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則，所以，即，解得.故選：B例4．（2024·高一·吉林長(zhǎng)春·期中）函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則有（

）A．或 B．C． D．，且【答案】B【解析】由指數(shù)函數(shù)的概念，得且，解得．故選：B例5．（2024·高三·江西·開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】，且函數(shù)定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以為奇函數(shù)，排除CD．當(dāng)時(shí)，，所以，排除B，經(jīng)檢驗(yàn)A選項(xiàng)符合題意.故選：A．例6．（2024·高三·山東濟(jì)南·開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由函數(shù)，，令，解得，則其定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)在定義內(nèi)為偶函數(shù)，排除C，D選項(xiàng)，因?yàn)椋^察選項(xiàng)可知，選A.故選：A例7．（2024·高三·安徽合肥·期中）將甲桶中的升水緩慢注入空桶乙中，后甲桶剩余的水量符合指數(shù)衰減曲線.假設(shè)過(guò)后甲桶和乙桶的水量相等，若再等min甲桶中的水只有升，則的值為（

）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】D【解析】由題意可得：，，，；，，，，解得.故選：D.例8．（2024·高一·四川成都·期中）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)的定義域滿足，解得且.故答案為：D例9．（2024·高三·江蘇連云港·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值和最小值；(2)若，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）令，故，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，又，，故的最大值為170，最小值為；（2），即，令，故在上有解，，只需，其中在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.例10．（2024·高一·河北保定·期中）已知函數(shù)．(1)若，求的單調(diào)區(qū)間(2)若有最大值3，求的值(3)若的值域是，求的值【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，令，由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而在R上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是．（2）令，，由于有最大值3，所以應(yīng)有最小值，因此必有．解得，即有最大值3時(shí)，a為1．（3）由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，要使的值域?yàn)椋瑧?yīng)使的值域?yàn)镽，因此只能（因?yàn)槿簦瑒t為二次函數(shù)，其值域不可能為R），故a的值為0．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2024·江蘇南通·二模）已知函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)橛捎?，則．故選：B2．（2024·內(nèi)蒙古包頭·一模）已知是奇函數(shù)，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】由函數(shù)是奇函數(shù)，可得，解得，即函數(shù)，又由函數(shù)的定義域?yàn)椋?，所以函?shù)為奇函數(shù)，所以符合題意.故選：D.3．（2024·遼寧葫蘆島·一模）標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力表（如圖）采用的“五分記錄法”是我國(guó)獨(dú)創(chuàng)的視力記錄方式．標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力表各行“E”字視標(biāo)約為正方形，每一行“E”的邊長(zhǎng)都是上一行“E”的邊長(zhǎng)的，若視力4.0的視標(biāo)邊長(zhǎng)約為10cm，則視力4.9的視標(biāo)邊長(zhǎng)約為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可得，視力4.9的視標(biāo)邊長(zhǎng)約為：cm.故選：A.4．（2024·江蘇·一模）德國(guó)天文學(xué)家約翰尼斯·開(kāi)普勒根據(jù)丹麥天文學(xué)家第谷·布拉赫等人的觀測(cè)資料和星表，通過(guò)本人的觀測(cè)和分析后，于1618年在《宇宙和諧論》中提出了行星運(yùn)動(dòng)第三定律——繞以太陽(yáng)為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行的所有行星，其橢圓軌道的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)a與公轉(zhuǎn)周期T有如下關(guān)系：，其中M為太陽(yáng)質(zhì)量，G為引力常量．已知火星的公轉(zhuǎn)周期約為水星的8倍，則火星的橢圓軌道的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)約為水星的（

）A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍【答案】B【解析】設(shè)火星的公轉(zhuǎn)周期為，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，火星的公轉(zhuǎn)周期為，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，則，，且得：，所以，，即：.故選：B．5．（2024·高三·北京順義·階段練習(xí)）世紀(jì)30年代，里克特制定了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用地震儀衡量地震能量的等級(jí)，地震能量越大，測(cè)震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說(shuō)的里氏震級(jí)，其計(jì)算公式為，其中是被測(cè)地震的最大振幅，是標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅.某地發(fā)生了地震，速報(bào)震級(jí)為里氏級(jí)，修訂后的震級(jí)為里氏級(jí)，則修訂后的震級(jí)與速報(bào)震級(jí)的最大振幅之比為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由，可得，即，，當(dāng)時(shí)，地震的最大振幅為，當(dāng)時(shí)，地震的最大振幅為，所以修訂后的震級(jí)與速報(bào)震級(jí)的最大振幅之比是.故選：C.6．（2024·高三·山西運(yùn)城·期末）已知是奇函數(shù)，則（

）A． B． C．2 D．1【答案】C【解析】由題意得，即，所以，故，所以，解得.故選：C7．（2024·黑龍江·二模）已知且，若函數(shù)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A．3 B．9 C． D．【答案】B【解析】已知且，若函數(shù)為偶函數(shù)，則有，即，化簡(jiǎn)得，所以.故選：B8．（2024·高三·廣東廣州·階段練習(xí)）若為奇函數(shù)，則（

）A．1 B．0 C． D．【答案】D【解析】由解析式知：函數(shù)定義域?yàn)镽，又為奇函數(shù)，所以，故，由，為奇函數(shù)，滿足題設(shè).所以.故選：D9．（2024·高三·云南昆明·階段練習(xí)）若命題“，”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，“，”為真命題，則，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：C．10．（2024·高三·浙江麗水·開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的值域是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，所以，即的值域是.故選：A．11．（2024·高三·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）集合則集合的元素個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】，則或或或，所以，元素個(gè)數(shù)為.故選：B.12．（2024·遼寧·一模）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，，則在上單調(diào)遞增.因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得：，解得4.故選：13．（2024·高三·北京·階段練習(xí)）若函數(shù)有最小值，則t的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則，，有最小值.當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)開(kāi)口向下，無(wú)最小值；當(dāng)時(shí)，無(wú)最小值；當(dāng)時(shí)，若在上有最小值，則對(duì)稱軸，解得.故選：A14．（2024·高二·河北·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù)．若函數(shù)的最大值為1，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，令，則，當(dāng)時(shí)，，解得.故選：B15．（2024·高三·湖南常德·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)（，且）的值域是，則實(shí)數(shù)的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，若，單調(diào)遞減，所以，不滿足的值域是;若，單調(diào)遞增，所以，要使的值域是，則有，解得.故選:D.16．（2024·高三·廣東中山·階段練習(xí)）若函數(shù)，則下述正確的有（

）A．在R上單調(diào)遞增 B．的值域?yàn)镃．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱【答案】AC【解析】因?yàn)槭嵌x在R上的增函數(shù)，是定義在R上的減函數(shù)，所以在R上單調(diào)遞增，故A正確；因?yàn)?，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC．17．（2024·高三·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）某食品的保鮮時(shí)間y（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度x（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)）.若該食品在0℃的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在14℃的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則下列說(shuō)法正確的是（

）參考數(shù)據(jù)：，A．B．若該食品儲(chǔ)藏溫度是21℃，則它的保鮮時(shí)間是16小時(shí)C．D．若該食品保鮮時(shí)間超過(guò)96小時(shí)，則它的儲(chǔ)藏溫度不高于7℃【答案】ACD【解析】在函數(shù)中，當(dāng)時(shí)，，由，知，，故A正確；當(dāng)時(shí)，，所以，則，當(dāng)時(shí)，，故B不正確；由，得，故C正確；由，得，所以，故D正確.故選：ACD.三、填空題18．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）若，則．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.故答案為：19．（2024·高三·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·期末）德國(guó)大數(shù)學(xué)家高斯被譽(yù)為數(shù)學(xué)界的王子.在其年幼時(shí)，對(duì)的求和運(yùn)算中，提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，此方法也稱為高斯算法.現(xiàn)有函數(shù)，則=.【答案】【解析】由函數(shù)，可得，令，兩式相加，可得，所以.故答案為：.20．（2024·高三·上海浦東新·期中）已知是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的值是.【答案】/【解析】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，則.故答案為：.21．（2024·高三·北京順義·期末）已知函數(shù)在上是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則.【答案】/【解析】函數(shù)在上是奇函數(shù)，，.故答案為：.22．（2024·高三·河北張家口·開(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)．【答案】【解析】設(shè)，則該函數(shù)為上的偶函數(shù)，則對(duì)任意的，，即，整理可得，所以，，解得.故答案為：.23．（2024·高一·全國(guó)·課時(shí)練習(xí)）函數(shù)①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧中，是指數(shù)函數(shù)的是．【答案】①⑤【解析】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)為且，故①⑤正確；由冪函數(shù)定義知，是冪函數(shù)，故②不正確；由指數(shù)函數(shù)的定義知，③④⑥⑦均不是指數(shù)函數(shù)；對(duì)于⑧，當(dāng)時(shí)，，不是指數(shù)函數(shù).故答案為：①⑤.24．（2024·高三·北京·開(kāi)學(xué)考試）函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，則，即，綜上的值域?yàn)?，故答案為?25．（2024·高三·全國(guó)·專題練習(xí)）由命題“存在,使”是假命題,得的取值范圍是,則實(shí)數(shù)的值是.【答案】【解析】命題“,使”是假命題,可知它的否定形式“,”是真命題,則,,因?yàn)?所以,可得m的取值范圍是,而與為同一區(qū)間,所以故答案為:.26．（2024·高三·上海浦東新·期中）已知，則不等式的解集為.【答案】【解析】函數(shù)都是R上的增函數(shù)，則函數(shù)是R上的增函數(shù)，不等式，則，解得，所以不等式的解集為.故答案為：27．（2024·高三·河南信陽(yáng)·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)且在區(qū)間單調(diào)遞減，則的取值范圍是.【答案】【解析】若，在單調(diào)遞增，要滿足題意，則要在單調(diào)遞減，故，即；若，在單調(diào)遞減，要滿足題意，則要在單調(diào)遞增，故，即，不滿足，故舍去；綜上所述：的取值范圍是.故答案為：.28．（2024·高一·江蘇宿遷·期末）若命題“，”是假命題，則的取值范圍為.【答案】【解析】因?yàn)椤?，”是假命題，所以“，”是真命題，即在上恒成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，則.故答案為：.29．（2024·高三·河南三門(mén)峽·期末）把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來(lái)的溫度是，空氣的溫度是，那么后物體的溫度（單位：）可由公式，求得，其中是一個(gè)隨著物體與空氣的接觸狀況而定的正常數(shù).若現(xiàn)有的物體，放在的空氣中冷卻，以后物體的溫度是，則（參考值，）【答案】0.24/【解析】依題意，，把數(shù)據(jù)代入公式中，整理得：，兩邊取自然對(duì)數(shù)，可得：，即得：.故答案為：0.24.30．（2024·高一·湖北黃岡·期中）當(dāng)物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來(lái)描述：設(shè)物體的初始溫度是，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后的溫度是，則，其中稱為環(huán)境溫度，稱為半衰期，現(xiàn)有一杯的熱水，放在的房間中，如果水溫降到需要分鐘．那么在16環(huán)境下，水溫從降到時(shí)，需要