高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)-12

課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(二十)

A組全考點(diǎn)鞏固練

1.已知函數(shù)/'(才)=e*(ax+l),由線尸F(xiàn)(x)在x=l處的切線方程為y=bx-e.

(1)求a,。的值；

(2)若函數(shù)g(x)=f(x)—3e‘一m有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)勿的取值范圍

2.已知函數(shù)F(x)=ln才一當(dāng)式，加￡R，討論fG)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

3.已知函數(shù)/'(*)=(x—2)e'+a(x—l)2(a>0)有兩個(gè)零點(diǎn)M,照，證明：照<2.

4.（2023?長(zhǎng)沙模擬）已知函數(shù)Hx）=eAsinx+ax.

(1)若a=l,判斷￡3在(一20)上的單調(diào)性;

(2)若，(*)在］。，,上有且只有2個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

5.已知函數(shù)t\x)=(x—1)。'-ax的圖象在x=0處的切線方程是8=0.

(1)求&b的值；

3

(2)求證：函數(shù)/?(必有唯一的極值點(diǎn)照，且以㈤＞一新

B組新高考培優(yōu)練

6.(2023?長(zhǎng)春模擬)已知函數(shù)/V)=xe",g(x)=〃ln(x+1).

(1)求函數(shù)f(x)的值域；

(2)討論函數(shù)網(wǎng)動(dòng)=F(x)一雇力的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

7.已知函數(shù)/(*)=的:

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；

(2)已知函數(shù)以力的圖象與F(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，證明：當(dāng)x>l時(shí)，F(xiàn)(x)>g(x)；

⑶如果M#/2,且A-V1)=/(照)，證明：M+必>2.

課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(二十)

A組全考點(diǎn)鞏固練

1.解：(1)F(x)=e*(ax+l),則/(x)=e*(ax+l)+e*?a=e*(ax+l+a).

4ff⑴=e(2a+1)=b,fa=1,

由題意知伉l*e(a+l)=b-e,解得［b=3e,

所以a=l,b=3e.

(2)g(x)=f(x)—3ev—m=e*(x—2)—m,

函數(shù)g(x)=e'(才—2)一加有兩個(gè)零點(diǎn)，相當(dāng)于函數(shù)〃(x)=e'?(x—2)的圖象與直線有

兩個(gè)交點(diǎn)，u'(x)=e*?(x—2)+e*=e*(x—1).

當(dāng)xW(-8,1)時(shí)，/(才)<0,所以〃(功在(一8,1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)彳￡(1,+8)時(shí)，/U)>0,所以〃(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)x=l時(shí)，〃(x)取得極小值〃(1)=—e.

又當(dāng)x—+8時(shí)，〃(才)一+8,當(dāng)水2時(shí)，u(x)<0,

所以實(shí)數(shù)/〃的取值范圍為U|-e<w<0}.

2.解：函數(shù)f(x)=Inx一%」的定義域是(o,4-00),且ra)=；-G7F=

x2+(2-2m)x+1

-x(x+I)2*

令g(x)=9+(2—2而x+1,

當(dāng)危1時(shí)，因?yàn)閤￡(0,+8),

所以g(*)—x4-(2-2%)x+l>0,

所以f(x)>0,f(x)在(0,+?0上單調(diào)遞增.

又F(l)=0,所以f(x)有且只有1個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)IV辰2時(shí)，4=4病-8加=4加加-2)W0,

所以/(x)20,f(x)在(0,+“)上單調(diào)遞增.

又F(l)=0,所以f(x)有且只有1個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)m>2時(shí)，9+(2—2m)x+l=0有2個(gè)正根，解得x\=m~1—yjm2-2m,xi=m—1+

^/m2-2m.

因?yàn)樾】?1,所以O(shè)VMVI,x2>l.

當(dāng)OVxVx】時(shí)，g(x)>0,f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)XIVXVM時(shí)，g(x)<0,f(x1<0,f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)尤>尼時(shí)，g{x)>0,f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.

因?yàn)?￡(M,才2),F(1)=O,所以/V)在(汨，心)上有1個(gè)零點(diǎn)，且f(xJ>0,<0.

m(em-1)2mrn(e~m-1)-2m

-x，

又e&Al,0<e<l,且F(e°)="--^-=；^77>0,=--e.w+1

所以F(力在(0,汨)和(尼，+8)上各有1個(gè)零點(diǎn).

綜上，當(dāng)時(shí)，F(xiàn)(x)有且只有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)勿>2時(shí)，f(x)有3個(gè)零點(diǎn).

3.證明：f(x)=(*—l)e'+2a(x—1)=(*—1)(e*+2a),因?yàn)閍〉0,

所以f(x)在(-8,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，/(1)=-e.

由F(M)=F(X2)=0,可設(shè)小<1<如構(gòu)造函數(shù)尸(x)=F(x)—f(2—x),

所以k(x)=f(x)—f(2—￥)=(x—1)(e"+2a)—(x—1)(e2T+2a)=(x—1)(e'一e?),

當(dāng)晨1時(shí)，x-KO,eT-e2-z<0,則尸(x)>0,尸(x)在(一8,1)上單調(diào)遞增.又/1)=0,

故尸(力<0(水1),即f(x)〈F(2—力(水1).

把小代入上述不等式得〃珀=/?(照)"(2—M),

又用>1,2—小>1,f(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增，故在<2—而，即汨+版<2.

4.解：(1)當(dāng)a=l時(shí)，f[x)=esinx+x,

f(x)=ex(sinx+cosx)4-l=^e*sin(%+J+l.

當(dāng)一gvxVO時(shí)，—y<sin+4)<y>

所以一lV&sin(%+JvL因?yàn)?Ve”Vl,

所以F(x)=$e*sin(%+J+l>0,

所以/V)在(W0)上單調(diào)遞增.

⑵因?yàn)镕(x)在[。，斗上有且只有2個(gè)零點(diǎn)且X0)=0,

所以4)在(0,打上有且只有1個(gè)零點(diǎn).

因?yàn)?(x)=e'(sinx+cosx)+a,

令力(x)=e*(sinx+cosx)+a,則方'(x)=2ercosx20在(。，上恒成立，

所以/(力在(0,胃上單調(diào)遞增.又以(0)=1+&f◎:+￡，

當(dāng)心一1時(shí)，F(xiàn)U)>r(0)20,F(x)在(0,1上單調(diào)遞增，沒有零點(diǎn)，不符合題意.

當(dāng)00_/時(shí)，f(x)WFe)W0,/U)在(0,，上單調(diào)遞減，沒有零點(diǎn)，不符合題意.

當(dāng)時(shí)，f(0)=1+^<0,fQ)=a+e>0,

則f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為勿，

則當(dāng)OVxVm時(shí)，f(x)<0,F(力單調(diào)遞減，當(dāng)獷㈠號(hào)時(shí)，f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.由

題意得信)=5+$20,解得

一n

綜上，a的取值范圍為上一9wav—i}

5.(1)解：函數(shù)F(x)=(x—l)e'—ax,則尸［x)=xe—a.

由F(0)=—1得a=l.

當(dāng)>=0時(shí)，解得人力=一1.

所以函數(shù)F(x)的圖象在x=0外的切線方程為y-(-l)=-l(x-O),

即x+y+l=O,

所以b=\.

(2)證明：令g(x)=f(彳)=胎"—1,

則/a)=(x+l)e\

所以當(dāng)水一1時(shí)，以力單調(diào)遞減，且此時(shí)以⑼<0,在(一8,—1)內(nèi)無零點(diǎn)；

當(dāng)x》一1時(shí),g(x)單調(diào)遞增，又g(—D<0,^(l)=e-l>0,

所以g(x)=0有唯?解m，f(x)有唯■極值點(diǎn)劉，

?1

由”°e.1=小=泳

F(胸)=三廿一8=1一(焉+%。).

又^(2)=y-1<0,

/\115

g(l)=e—1>0=2<施<1=焉+不<5，

3

F(版)>—2.

B組新高考培優(yōu)練

6.解：(1)由/'(x)=x-e、(x￡R)可得尸(x)=(l+x)-e;

令r(x)=o,得x=-i,則有

X(一0°,—1)-1(―1,+°0)

f(—04-

X)

/(*)極小值

所以rCrLnnA-DM-eTu-：,人力無最大值.即〃%)的值域?yàn)椋?1，+8).

(2)F(x)=f(x)—g(x)=z?e—kIn(AH-1)(x>—1),

則網(wǎng)0)=0,P(x)=(l+x)

令G(x)=(x+l)??e",貝ijG'(x)=(V+4x+3)?e*=(x+1)(x+3)?e*>0在(-1,4-°°)

上恒成立，

所以G(x)在(-1,+8)上單調(diào)遞增，

所以G(x)>G(—1)=0在(-1,+8)上恒成立.

當(dāng)4W0時(shí)，可知/U)>0,即尸(⑼在(-1,+8)上單調(diào)遞增，即化時(shí)以才)有唯一零點(diǎn).

當(dāng)30時(shí)，令F(x)=0,則(x+l)2?不一女=0,

所以存在唯一而￡(一1,+8),使得9(照)=0,且當(dāng)才￡(一1,加時(shí)，F(xiàn)UXO,F(x)

單調(diào)遞減，當(dāng)(劉，+8)時(shí)，口(*)>0,汽X)單調(diào)遞增，

所以尸(amin=Kx)=%oe々一左In(無+1),

①當(dāng)4=1時(shí)，刖=0,戶(X)nin="0)=0,此時(shí)網(wǎng)才)有唯一零點(diǎn).

②當(dāng)0<Kl時(shí)，因?yàn)镚(0)=l,所以當(dāng)才￡(一1,0)時(shí)，0<G(x)<l,故一1<加<0,

所以/7(-r)mn=/7(^0)<0,

)=1+e+1>e，+1>0>

又「(-i+e^(-l+e^)e-^"'

所以尸(才)在(一l+e^，的)上存在一個(gè)零點(diǎn)，

此時(shí)內(nèi)⑼共有2個(gè)零點(diǎn).

③當(dāng)〃1>時(shí)，照>0,M%)nin=FU)<0,

又廣(一1+*—(-1+心)6—+y一/>〃(et+Q>Re*-A)M>0,

所以凡才)在(的一1+冷上存在一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)尸CO共有2個(gè)零點(diǎn).

綜上，當(dāng)〃/0或〃=1時(shí)，尸(力有唯?零點(diǎn)；

當(dāng)0<爾1或冷1時(shí)，?(力有2個(gè)零點(diǎn).

7.(1)解：fa)=(l-^)e-J.

令f(x)=0,解得x=l.

當(dāng)x變化時(shí)，f(x),f(x)的變化情況如下表：

X(一8,1)1(1,+°°)

f(

+0—

x)

Ax)極大值

所以/'CO的單調(diào)遞增區(qū)間為（-8,1），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，+8）.

函