高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《數(shù)列綜合問(wèn)題的探究》專項(xiàng)測(cè)試卷（含答案）

第第頁(yè)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《數(shù)列綜合問(wèn)題的探究》專項(xiàng)測(cè)試卷（含答案）學(xué)校:___________班級(jí)：___________姓名：___________考號(hào)：___________1、（2023年全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文））已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．2、（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．3、（2023年新高考天津卷）已知是等差數(shù)列，．(1)求的通項(xiàng)公式和．(2)已知為等比數(shù)列，對(duì)于任意，若，則，（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；（Ⅱ）求的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和．4、【2022年新高考1卷】記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a1(1)求an(2)證明：1a

5、【2022年新高考2卷】已知an為等差數(shù)列，bn是公比為2的等比數(shù)列，且(1)證明：a1(2)求集合kb題組一等差、等比數(shù)列的含參問(wèn)題1-1、（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎獢?shù)列前項(xiàng)和，數(shù)列滿足為數(shù)列的前項(xiàng)和．若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．1-2、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差，其前n項(xiàng)和滿足.(1)求公差d；(2)是否存在正整數(shù)m，k使得.1-3、（2023·江蘇泰州·泰州中學(xué)?？家荒＃┮阎獢?shù)列是等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．給定，記集合的元素個(gè)數(shù)為．(1)求，的值；(2)求最小自然數(shù)n的值，使得．1-4、（2023·云南·統(tǒng)考一模）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)任意，，求m的最小值．題組二等差、等比數(shù)列中的不等或證明問(wèn)題2-1、（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，若.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．2-2、（2023·云南玉溪·統(tǒng)考一模）在①，②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，然后求解．設(shè)等差數(shù)列的公差為，前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為q．已知，，．（說(shuō)明：只需選擇一個(gè)條件填入求解，如果兩個(gè)都選擇并求解的，只按選擇的第一種情形評(píng)分）(1)請(qǐng)寫(xiě)出你的選擇，并求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：．2-3、（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(2)若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．1、（2022·河北深州市中學(xué)高三期末）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)于一切正整數(shù)都有，則數(shù)列的公比的取值范圍為（）A． B． C． D．2、（2021·山東菏澤市·高三期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和是，且，若，則稱項(xiàng)為“和諧項(xiàng)”，則數(shù)列的所有“和諧項(xiàng)”的和為（）A．1022 B．1023 C．2046 D．20473、（2023·山西·統(tǒng)考一模）從下面的表格中選出3個(gè)數(shù)字（其中任意兩個(gè)數(shù)字不同行且不同列）作為遞增等差數(shù)列的前三項(xiàng).第1列第2列第3列第1行723第2行154第3行698(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求的前項(xiàng)和；(2)若，記的前項(xiàng)和，求證.4、（2023·安徽安慶·校考一模）數(shù)列中，，且滿足(1)求，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求；(3)設(shè)，是否存在最大的；正整數(shù)，使得對(duì)任意均有成立？若存在求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.5、（2022·山東青島·高三期末）給定數(shù)列，若滿足，對(duì)于任意的，都有，則稱為“指數(shù)型數(shù)列”.(1)已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，證明：為“指數(shù)型數(shù)列”；(2)若數(shù)列滿足：；（I）判斷是否為“指數(shù)型數(shù)列”，若是給出證明，若不是說(shuō)明理由；(Ⅱ)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.參考答案1、（2023年全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文））已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（

）A．－1 B． C．0 D．【答案】B【詳解】依題意，等差數(shù)列中，，顯然函數(shù)的周期為3，而，即最多3個(gè)不同取值，又，則在中，或，于是有，即有，解得，所以，.故選：B2、（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷）已知為等差數(shù)列，，記，分別為數(shù)列，的前n項(xiàng)和，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，.方法2：由（1）知，，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，若，則，顯然滿足上式，因此當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，所以當(dāng)時(shí)，.3、（2023年新高考天津卷）已知是等差數(shù)列，．(1)求的通項(xiàng)公式和．(2)已知為等比數(shù)列，對(duì)于任意，若，則，（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求證：；（Ⅱ）求的通項(xiàng)公式及其前項(xiàng)和．【答案】(1)，；(2)(Ⅰ)證明見(jiàn)解析；(Ⅱ)，前項(xiàng)和為.【詳解】（1）由題意可得，解得，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求和得.（2）(Ⅰ)由題意可知，當(dāng)時(shí)，，取，則，即，當(dāng)時(shí)，，取，此時(shí)，據(jù)此可得，綜上可得：.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：，據(jù)此猜測(cè)，否則，若數(shù)列的公比，則，注意到，則不恒成立，即不恒成立，此時(shí)無(wú)法保證，若數(shù)列的公比，則，注意到，則不恒成立，即不恒成立，此時(shí)無(wú)法保證，綜上，數(shù)列的公比為，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為，其前項(xiàng)和為：.4、【2022年新高考1卷】記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a1(1)求an(2)證明：1a【答案】(1)a(2)見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得Snan=1+13n?1=n+23，得到Sn=n+2an（2）由（1）的結(jié)論，利用裂項(xiàng)求和法得到1a(1)∵a1=1，∴S1=又∵Snan∴Snan=1+∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn?1∴an整理得：n?1a即an∴a=1×3顯然對(duì)于n=1也成立，∴an的通項(xiàng)公式a(2)1a∴1a1+1a2+?+1an(1)證明：a1(2)求集合kb【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)9．【解析】【分析】（1）設(shè)數(shù)列an的公差為d（2）根據(jù)題意化簡(jiǎn)可得m=2(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，所以，a1+d?2(2)由（1）知，b1=a1=d2，所以bk=am+a題組一等差、等比數(shù)列的含參問(wèn)題1-1、（2023·黑龍江·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎獢?shù)列前項(xiàng)和，數(shù)列滿足為數(shù)列的前項(xiàng)和．若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【分析】利用與的關(guān)系，求得，由題意，求得并裂項(xiàng)，利用裂項(xiàng)相消，求得，分為奇數(shù)或偶數(shù)兩種情況，利用函數(shù)求最值研究不等式恒成立問(wèn)題，可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，將代入上式，可得，則；，，代入不等式，可得，整理可得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，不等式為，令，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，由于，故，此時(shí)；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，不等式為，令，（為奇數(shù)且），易知在單調(diào)遞增，則，此時(shí)，綜上所述，.故答案為：.1-2、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差，其前n項(xiàng)和滿足.(1)求公差d；(2)是否存在正整數(shù)m，k使得.【答案】(1)；(2)存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）由等差數(shù)列求和公式列出方程，求出公差；（2）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，得到通項(xiàng)公式，利用求和公式得到，法一：由m，k為正整數(shù)，列出符合要求的解；法二：得到，且，從而得到，寫(xiě)成符合要求的解.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，所以，即，解得：?因?yàn)?，所?（2）法一：由（1）得，，，時(shí)；時(shí)；時(shí)；時(shí)（舍），當(dāng)時(shí)，，不合題意；滿足條件的有三組.法二：由（1）得，，故，所以，且，所以，所以，，.存在滿足條件的有三組.1-3、（2023·江蘇泰州·泰州中學(xué)?？家荒＃┮阎獢?shù)列是等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．給定，記集合的元素個(gè)數(shù)為．(1)求，的值；(2)求最小自然數(shù)n的值，使得．【答案】(1)，；；(2)11【分析】（1）利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得公差，得通項(xiàng)公式，寫(xiě)出時(shí)的集合可得元素個(gè)數(shù)，即；（2）由（1）可得，然后分組求和法求得和，用估值法得時(shí)和小于2022，時(shí)和大于2022，由數(shù)列的單調(diào)性得結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由，，成等比數(shù)列，得，，解得，所以，時(shí)，集合中元素個(gè)數(shù)為，時(shí)，集合中元素個(gè)數(shù)為；（2）由（1）知，，時(shí)，=2001<2022，時(shí)，=4039>2022，記，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，所以所求的最小值是11.1-4、（2023·云南·統(tǒng)考一模）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)m為整數(shù)，且對(duì)任意，，求m的最小值．【答案】(1)；(2)7【分析】（1）由數(shù)列與的關(guān)系可得，再結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)可得解；（2）利用錯(cuò)位相減法求出，結(jié)合范圍即可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，故，且不滿足上式，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，故，于是．整理可得，所以，又，所以符合題設(shè)條件的m的最小值為7題組二等差、等比數(shù)列中的不等或證明問(wèn)題2-1、（2023·江蘇蘇州·蘇州中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，若.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析【分析】（1）利用公式，時(shí)，，代入化簡(jiǎn)得到數(shù)列的遞推公式，即可求解通項(xiàng)公式；（2）由（1）的結(jié)果，利用裂項(xiàng)相消法求和，再結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性證明不等式.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減可得，，又，，即是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，因此，的通項(xiàng)公式為；（2）證明：由可知，所以，，因?yàn)楹愠闪?，所以，又因?yàn)椋詥握{(diào)遞增，所以，綜上可得．2-2、（2023·云南玉溪·統(tǒng)考一模）在①，②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，然后求解．設(shè)等差數(shù)列的公差為，前n項(xiàng)和為，等比數(shù)列的公比為q．已知，，．（說(shuō)明：只需選擇一個(gè)條件填入求解，如果兩個(gè)都選擇并求解的，只按選擇的第一種情形評(píng)分）(1)請(qǐng)寫(xiě)出你的選擇，并求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：．【答案】(1)選①，；選②，；(2)見(jiàn)解析【分析】（1）由等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量代入方程組求解即可.（2）運(yùn)用錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（1）由題意知，，，，選①，由題意知，，，所以，，即：，.選②，由題意知，，,所以，，即：，.（2）證明：由（1）得，∴①，②，①②得：，∴．又∵對(duì)，恒成立，∴．2-3、（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式：(2)若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析【分析】(1)利用，的關(guān)系，結(jié)合已知條件以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得結(jié)果；(2)根據(jù)(1)中所求，利用裂項(xiàng)求和法求出，即可證明.【詳解】（1）因?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，可知，解得，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，得，即，又因?yàn)椋?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以．（2）由（1）知．所以，因?yàn)?，所?、（2022·河北深州市中學(xué)高三期末）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)于一切正整數(shù)都有，則數(shù)列的公比的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，所以，，若，則，，，不滿足題意；若，則，，，，因?yàn)?，，所以若，則，，，故數(shù)列的公比的取值范圍為，故選：B.2、（2021·山東菏澤市·高三期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和是，且，若，則稱項(xiàng)為“和諧項(xiàng)”，則數(shù)列的所有“和諧項(xiàng)”的和為（）A．1022 B．1023 C．2046 D．2047【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，∴，又，，∴是等比數(shù)列，公比為2，首項(xiàng)為1，所以，由得，即，∴所求和為．故選：D．3、（2023·山西·統(tǒng)考一模）從下面的表格中選出3個(gè)數(shù)字（其中任意兩個(gè)數(shù)字不同行且不同列）作為遞增等差數(shù)列的前三項(xiàng).第1列第2列第3列第1行723第2行154第3行698(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求的前項(xiàng)和；(2)若，記的前項(xiàng)和，求證.【答案】(1)，；(2)見(jiàn)解析【分析】（1）由題知，，，進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)，再結(jié)合裂項(xiàng)求和法求解即可證明.【詳解】（1）解：由題意，選出3個(gè)數(shù)字組成的等差數(shù)列的前三項(xiàng)為：，，，所以，，所以.（2）證明：.因?yàn)?，所以，所?、（2023·安徽安慶·?？家荒＃?shù)列中，，且滿足(1)求，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求；(3)設(shè)，是否存在最大的；正整數(shù)，使得對(duì)任意均有成立？若存在求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)；；(2)；(3)存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）令，，可得，，解方程即可求出，由題意知數(shù)列為等差數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)的取值得到的符號(hào)，然后去掉絕對(duì)值后可得所求的；（3）由（1）求得，然后利用裂項(xiàng)相消法求出，并進(jìn)一步求出的最小值．再根據(jù)恒成立得到，求得的范圍后可得所求．【詳解】（1）令，，令，，解得：,由知數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，則.故（2）由，解得.故當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),.（3）由于