2022屆新高考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法

2022屆新高考數(shù)學(xué)沖刺精品復(fù)習(xí)

數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法

一般地,當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)N的所有正整數(shù)n都成立時(shí),可以用以下兩個(gè)

步驟：

（1）證明當(dāng)n=n。時(shí)命題成立；

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（kWN+，且上之為）時(shí)命題成立，證明n=k+l時(shí)命題也成立.

在完成了這兩個(gè)步驟后,就可以斷定命題對(duì)于不小于n。的所有正整數(shù)都成立.這種證明方法

稱(chēng)為數(shù)學(xué)歸納法.

一、恒等式問(wèn)題

例1：1.用數(shù)學(xué)歸納法證明（17）0+工+/+…+X"T）=1T〃.

【答案】詳見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

由〃=1時(shí)，等式成立，假設(shè)〃=女卜之1,%€1>1'）時(shí)，等式成立，再證得〃=2+1時(shí)，等式成立

即可.

【詳解】

證明：（1）當(dāng)〃=1時(shí)，左邊=l-x,右邊=1-廣左邊，等式成立；

（2）假設(shè)“女921,AwN）時(shí)，等式成立，即（1-研1+工+/+…+1-|）=1-丁，

當(dāng)〃=〃+1時(shí)，（1—X）（1+X+*-+…+X"）,

=（1-x）（l+x+d+…+,

=l-xfc+（l-x）x*,

=1--，

故當(dāng)〃=女+1時(shí)，等式成立，

rh（1）（2）可知，原等式對(duì)于任意〃eN”成立.

2.已知數(shù)列｛〃“｝滿(mǎn)足4=1,且4ag]-a”“+]+2%=9（〃eN）

⑴求〃2，%，4;

⑵由(1)猜想｛4｝的通項(xiàng)公式凡;

(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明(2)的結(jié)果.

【答案】(1)生=：1319

5~T

小、6〃一5

⑵~7

2n-\

(3)證明見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

(1)由遞推公式依次計(jì)算求解；

(2)由(1)的結(jié)論猜想通項(xiàng)公式;

(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明.

(1)

4%+勿“=9（neN"）

1,則4〃2-。2+2=9,t?2=^,

4714c13

電33335

,1326八19

^a4-—a4+—=9,a4=—

⑵

由⑴猜想1需

⑶

證明：(i)n=\,命題成立，

(ii)假設(shè)〃時(shí)命題成立，即4=骼一-5，

2K-1

則〃=%+1時(shí)，由4%E一差彳%】+2黑J)=9,解得=箸1，命題成立,

2A:-12K-12A:+12［幺+1)-1

綜上，時(shí)，命題成立，即牝=暫二.

2fi-l

舉一反三

1.如圖，4(不凹)、2(%％)、L、蟲(chóng)％，”)(°〈》＜必＜???＜”)是曲線(xiàn)c：y2=3x()，N0)

上的〃個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)A(q,0)(i=l,2,3,…,〃)在工軸的正半軸上，且△4ME是正三角形(4是坐

標(biāo)原點(diǎn)).

（1）寫(xiě)出q、4、由；

（2）猜想點(diǎn)A,（4,0乂的橫坐標(biāo)勺關(guān)于〃的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.

【答案】（1）4=2,g=6,%=12：（2）猜想：《=〃（〃+以〃eN'）,證明見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

（1）推導(dǎo)出（勺-%）2=2（%+%乂〃wN'），結(jié)合％的值，可求得4、%、%的值;

（2）結(jié)合可、出、叫的值可猜想得出4=，?（〃+D（〃eN）,然后利用數(shù)學(xué)歸納法結(jié)合

（%-的）2=2（%+2（〃eN*）可證得猜想成立.

【詳解】

（1）設(shè)4=0,則依題意，可得號(hào)=笑口，”=石&

代入尸=3%，得（G.號(hào)zLj4（1+a”），

即（q-勺」）2=2（/」+%）（〃eN],

所以4=2,%=6,%=12.

（2）由（1）可猜想：4=〃5+1）（〃GN）.

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

（i）當(dāng)〃=1時(shí)，猜想顯然成立；

（ii）假設(shè)當(dāng)〃=%時(shí)猜想成立，即有4=左任+1）,

則當(dāng)九=攵+1時(shí)，由(％句一%)2=2(q+4+J得［4+］-左(々+1)7=2［攵仕+1)+%+1,

即吭一2G2+k+1)aM+四人叨?［依+1)(%+2)］=0,

解得%M=("1)(A+2)(。曰=&僅-1)<4不符合題意，舍去)，

即當(dāng)71=2+1時(shí)，猜想成立.

由(i)(ii)知猜想成立，即4=〃(〃+1乂〃eN).

二.不等式問(wèn)題

例2：1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+；+!+...+[W；+〃(〃￡N*).

【答案】證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

按數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟直接證明即可.

【詳解】

13

⑴當(dāng)〃=1時(shí)，左邊=1+耳=/=右邊，

即當(dāng)〃=1時(shí)，原不等式成立，

(2)假設(shè)當(dāng)〃由時(shí)，原不等式成立，

即啟+雪…

232-2

則當(dāng)n=k+\時(shí)，

1+^+-+...+-TH—:--+-j-------1-...H—------r+&+2*,-7-=!+(&+1),

kXk2

2322+12*+22*+2*22

即當(dāng)〃="1時(shí)，不等式成立，

綜合⑴和(2)得，原不等式對(duì)所向的〃匕N,都成立.

2.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S”，等比數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為7；,且q=4=2,4

T3=S4.

⑴求%，Z；

111222

⑵己知匕=二+不+…+7，Qn=—+—+…+——，試比較2，0的大小.

b\瓦bnata2a2a34%

【答案】⑴勺=〃+l，2=2"；

(2)匕>2”.

【解析】

【分析】

⑴設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差，等比數(shù)列｛4｝的公比，由己知列式計(jì)算得解.

(2)由(1)的結(jié)論，用等比數(shù)列前"項(xiàng)和公式求出與，用裂項(xiàng)相消法求出Q”，再比較大小作答.

(1)

]2g2=2+6d

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,等比數(shù)列低｝的公比為0,依題意,12+24+2爐=8+6屋

d=l+3d

整理得:解得d=l,q=2,

q+q2=3+3d

所以勺=〃+1,2=2".

⑵

1i]-(1—^-)

1

由⑴知,『不,數(shù)歹|J｛r｝是首項(xiàng)為9公比為《的等比數(shù)列，則匕

'21-1T

2

]

22=2號(hào)---)f

4%(〃+1)(〃+2)n+\n+2

.._11..11.11.11..11..2.

Q?=2[r(---)+(---)+(---)+???+(----------)v]n=2(------)=1-----,則n

233445〃+1〃+22〃+2〃+2

1"==一￡,

21

用數(shù)學(xué)歸納法證明2"〉]+1,〃wN?，

①當(dāng)〃=1時(shí)，左邊=2,右邊=1，左邊*右邊，即原不等式成立，

②假設(shè)當(dāng)〃=?時(shí)，不等式成立，即2安+1,

則21>2匕+1)=丁+1+；->;一+1,即〃=2+1時(shí)，原不等式成立,

綜合①②知，2">表1成立，

因此，一環(huán)>°,即K>Q“，

2

所以匕>0.

舉一反三

L已知數(shù)列應(yīng)｝滿(mǎn)足％=提％，％=3,

⑴求。2嗎，品;

⑵若二-勺，且數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為S”，求證：S?<1.

【答案】（1）。2=5，％=］，4=*

⑵證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

⑴先求得小3,猜想“品，然后利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

（2）利用放縮法證得結(jié)論成立.

⑴

依題意向4產(chǎn)。，

2n+2

12

出刈=§"=§，

213

—『5"=工，

猜想勺=」7,下面用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明：

當(dāng)〃=1,2,3時(shí)，結(jié)論成立,

假設(shè)當(dāng)〃=人時(shí)結(jié)論成立，即用=工，

k+1

,nk

由仆+一勺二—^=七十/4=T=，

n+2k+2

k1kk+1k+\

x+,

k+2akk+2kk+2*

k+\

所以當(dāng)〃=A+1時(shí)，有％+i=77—7777.結(jié)論成立，

所以當(dāng)〃wN?時(shí)，4二一、.

⑵

由（1）得見(jiàn)=羔>0’且“"1為單調(diào)遞增數(shù)列,

1+

所以仇=師阮-瘋瘋）

〈區(qū)盧匹_瘋）=—.

所以s.=〃+a+…+”號(hào)幺+氣”+…+丐生

n+\1〃+2-1111

二二一夏二--亍二5一^71=]]/.

2-2~2-2-42（〃+2）4

2.已知函數(shù)〃力=一為的最大值不大于:，且當(dāng)X」：』時(shí)，f（x）>^.

26142」8

（1）求。的值；

（2）設(shè)0<q<:，。川=/（q），〃wN"證明0<%<工.

2n+\

【答案】（1）。=1;（2）證明見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】

⑴利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可得/（丈「嗎）[，解得-$?1,轉(zhuǎn)化當(dāng)xe*時(shí),

/（力烹為結(jié)合〃的范圍可得/（4?=/0,求解即可.

（2）利用數(shù)學(xué)歸納法，按照步躲證明即可.

【詳解】

(1)由題意,知/(x)=ar—x2IHH

又也4所以低K小

所以/?1,即一iWaWL

又函數(shù)/（力圖象的對(duì)稱(chēng)軸為且

所以當(dāng)T5{k小小《撲〉看

所以卜。，解得〃之1,

2oo

所以a=l.

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)〃=1時(shí)，顯然原不等式成立.

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，0</(x)<A,

所以0〈生

故當(dāng)〃=2時(shí)，原不等式也成立.

②假設(shè)當(dāng)〃=女(Z22,&wN‘)時(shí)，不等式0<4<±成立.

2+1

由(I)知=,其圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)4=：,

所以當(dāng)xe(og時(shí)，/(x)為增函數(shù).

所以由0<4<白工?，得占].

%+13\K+17

13f1Yii]k+41

于是，o<^+1=/(^)<-J+---=—-2(k+[)2(k+2)<—,

所以當(dāng)〃=k+1時(shí)，原不等式也成立.

根據(jù)①②，知對(duì)任何〃不等式0<勺<」7成立.

n+i

鞏固提升

一、單選題

1.用數(shù)學(xué)歸納法證明1+；+；+…+泰<〃(〃￡1<,〃>1)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式()

A.1+-<2B.1+-+-<2

223

C.1+—+—<3D.!+-+-+—<3

23234

【答案】B

【解析】

【分析】

取〃=2即可得到第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式.

【詳解】

由題意得，當(dāng)〃=2時(shí)，不等式為l+g+g<2.

故選：B.

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明"」：+-二+…+的過(guò)程中，從〃=%(旌乂)到〃=八1時(shí)，

W4-1〃+23〃6v7

不等式的左邊增加了（）

A.-----B.------1--------------

3Z+13&+13k+23k+3

「1「111

3k+33&+13攵+234+3

【答案】B

【解析】

【分析】

依題意，由〃=k（AwM）遞推到〃=k+l（AwM）時(shí)，不等式左邊為

11111

=+…+寶+%宙+匯3+磊后，與〃=4時(shí)不等式的左邊作差比較即可得到答案?

【詳解】

用數(shù)學(xué)歸納法證明等式」7+工+…+；之。的過(guò)程中，

71+1n+23〃6

假設(shè)〃=&（丘N.）時(shí)不等式成立，左邊71T+丁二+.??+』，

k+1k+23k

11111

則當(dāng)〃=k+l時(shí),左邊…+獲+麗+赤+耐.

.?.從〃=左。eN.）至I」〃=k+1時(shí)，不等式的左邊增加了

I111112

----+-----+/、-----=-----+------------

3&+13&+23（&+1）左+13L+13A+23A+3'

故選：B.

3.用數(shù)學(xué)歸納法證明手＞旦對(duì)任意〃之女，（〃，攵eN）的自然數(shù)都成立，則攵的最

3"+13〃+1

小值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】

分別令〃=1,2,3,4代入不等式驗(yàn)證，即可解出.

【詳解】

3W-12_13〃二313

當(dāng)?shù)?1時(shí),不等式不成立;

3w+l-4-23;i+1-4

3"-1_843n_646

當(dāng)〃=2時(shí),不等式不成立;

3Z,+1"To"?3〃+1-〒

3"-126133n9139

當(dāng)〃=3時(shí)，=--==—,—>—，不等式成立;

3"+128143/1+1101410

3"-180403〃124012

當(dāng)〃=4時(shí),=--=--,——,—>一，不等式成立,

3d+182413〃+1134113

所以滿(mǎn)足題意的左的最小值為3.

故選：C.

4.用數(shù)學(xué)歸納法證明-1+3-5+…+(-1)”(2〃-=時(shí)，若記

/(/:)=-1+3—5+???+(-1)**(2/1—1),則/(攵+1)-/(4)=()

A.(-1廣”B.(T廣”+1)C.(-1)川(2&)D.(-1戶(hù)(24+1)

【答案】D

【解析】

【分析】

利用數(shù)學(xué)歸納法求解.

【詳解】

因?yàn)?(%)=-1+3-5+…+(-1)，(24-1),

/(^+l)=-l+3-5+..+(-l)*(2)l-l)+(-l/+，(2A:+l),

所以+=廣(2&+1),

故選：D

5.用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于f(〃)=(〃+D(〃+2)…(〃+〃)的命題時(shí)，/(A+l)=/(A:)x

，&為正整數(shù)，則空珞處應(yīng)填()

A.”+lB,>3+2)c,竺里D.如三

%+1攵+1k+1

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)已知條件，寫(xiě)出〃=女時(shí)/(心的表達(dá)式及〃=2+1時(shí)/伙+1)的表達(dá)式即可求解.

【詳解】

解：因?yàn)椤?左時(shí)，/(&)=(&+i)a+2)…伏+幻，

〃=k+l時(shí)，f(k+D=(A+1+1)伏+1+2)...伏+l+4-lX&+l+A)(2+l+Z+l),

所以從〃二左到〃二后+1時(shí)，f(k+\)=f(k)x伙++〃燈x⑵+；)(7+2),

攵+1A+1

故選：B.

6.用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)于任意正偶數(shù)〃均有

1-:++…+」7'=2(-+…+；],在驗(yàn)證〃=2正確后，歸納假設(shè)應(yīng)寫(xiě)

234〃-1n[〃+2〃+42n)

成()

A.假設(shè)〃=%(%—*)時(shí)命題成立

B.假設(shè)心乂丘川)時(shí)命題成立

C.假設(shè)九=2k(kwN")時(shí)命題成立

D.假設(shè)〃=2(nD(ZwN)時(shí)命題成立

【答案】C

【解析】

【分析】

依題意根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明判斷即可；

【詳解】

解：因?yàn)橐C明的是對(duì)任意正偶數(shù)〃均有等式成立，所以在驗(yàn)證〃=2正確后，

歸納假設(shè)應(yīng)寫(xiě)成：假設(shè)〃=2左伏￡1<)時(shí)命題成立.

故選：C.

二、多選題

7.對(duì)于不等式J〃2+2〃<〃+2(〃eM),某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過(guò)程如下:

①當(dāng)〃=1時(shí)，712+2<1+2?不等式成立；

②假設(shè)當(dāng)〃=人(〃6河)時(shí)，不等式成立，即護(hù)力<八2，

則當(dāng)〃=%+1時(shí)，&k+嚀+2(k+1)=?2+4k+3

<,(公+41+3)+(2/+6)=J(Z+3)2=伙+1)+2.

故當(dāng)〃=%+1時(shí)，不等式成立.

則卜.列說(shuō)法錯(cuò)誤的是()

A.過(guò)程全部正確B.〃=1的驗(yàn)證不正確

C.力=〃的歸納假設(shè)不正確D.從〃=人至=A+1的推子里不正確

【答案】ABC

【解析】

【分析】

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法證明的基本過(guò)程可得出結(jié)論.

【詳解】

在〃=%+1時(shí)、沒(méi)有應(yīng)用〃=攵時(shí)的假設(shè)，即從〃=￡到〃=女+1的推理不正確.

故選：ABC.

8.一個(gè)與正整數(shù)〃有關(guān)的命題，當(dāng)〃=2時(shí)命題成立，且由〃=%時(shí)命題成立可以推得〃=%+2

時(shí)命題也成立，則下列說(shuō)法正確的是（）

A.該命題對(duì)于〃=6時(shí)命題成立

B.該命題對(duì)于所有的正偶數(shù)都成立

C.該命題何時(shí)成立與人取值無(wú)關(guān)

D.以上答案都不對(duì)

【答案】AB

【解析】

【分析】

利用數(shù)學(xué)歸納法原理可判斷各選項(xiàng)的正誤.

【詳解】

命題對(duì)于〃=左卜￡'.）時(shí)成立，那么它對(duì)于〃=%+2也成立，

若當(dāng)71=2時(shí)命題成立，則對(duì)〃=4時(shí)命題成立，從而對(duì)〃=6時(shí)命題成立，

假設(shè)當(dāng)〃=2〃?（川€""）時(shí)命題成立，則當(dāng)〃=2〃計(jì)2時(shí)命題也成立，

因此，該命題對(duì)于所有的正偶數(shù)都成立，當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，無(wú)法確定該命題的真假.

故選：AB.

三、填空題

9.用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：1+。+。2+...+片|=?—（aNL〃eN*）,驗(yàn)證〃=1時(shí)，等式左邊

\-a

【答案】1+〃+/

【解析】

【分析】

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的步驟即可解答.

【詳解】

用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：l+a+M+…+;（a=L〃eN*）,

驗(yàn)證〃=1時(shí)，等式左邊=l+a+〃2.

故答案為：1+。+/.

10.對(duì)任意〃￡234〃*2+次”/都能被14整除，則最小的自然數(shù)戶(hù).

【答案】5

【解析】

【分析】

當(dāng)〃=1時(shí)，求出。=3或5,再由當(dāng)。=3且〃=2時(shí)，不能被14整除，即可得出答案.

【詳解】

當(dāng)〃=1時(shí)，36+/能被14整除的數(shù)為。=3或5；

當(dāng)。=3且〃=2時(shí)，3i°+3$不能被14整除，故a=5.

故答案為：5

四、解答題

11.已知數(shù)列｛曲｝的前〃項(xiàng)和Sa=1一〃6（〃eN）

（1）計(jì)算。/,。2,C13,04；

（2）猜想曲的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.

【答案】（1）4=；,&%=/，%=:；

2o12ZU

1

⑵4=而而，證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】

（1）由，=1-代值即可求解；

（2）猜想可二下短，由數(shù)學(xué)歸納法的步界證明即可

⑴

由S“=l一叫(〃cN*)得,

%=I=1-a]，解得4=g；

由$2=4+。2=1-2a2，解得出=5；

0

由53=4+，+4=1-3%,解得%=七

由54=4+。2+。3+%=1-4%,解得。4=元；

所以計(jì)算得4=；,々2=：，4=5，

2o12XX)

(2)

猜想可=就1)，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

①當(dāng)〃=1時(shí).猜想顯然成立.

②假設(shè)〃=攵(〃￡叱)時(shí)，猜想成立，

I

即“=E,

那么，當(dāng)〃=女+1時(shí)，S*+]=1-(4+1)勾+1,

即&+4+1=1-(A+1)*

又，=|-也=磊

所以T^Y+4+I=1-伙+1)&5

1_1

從而=(&+])6+2)=(&+1)及+1)+1]-

即〃=&+1時(shí)，猜想也成立.

故由①和②可知，猜想成立.

1