【2021導(dǎo)與練-高校信息化課堂】高三理科數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練高考中檔題訓(xùn)練(四)

高考中檔題訓(xùn)練(四)1.(2022溫州一模)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且asinB+bcosA=0.(1)求角A的大小;(2)若a=QUOTE,b=1,求△ABC的面積.解:(1)由asinB+bcosA=0得sinAsinB+sinBcosA=0,tanA=-1,A=QUOTE.(2)由QUOTE=QUOTE得QUOTE=QUOTE,sinB=QUOTE,B=QUOTE,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE,S△ABC=QUOTEabsinC=QUOTE×QUOTE×1×QUOTE=QUOTE.2.(2021江西南昌二模)如表所示是一個(gè)由正數(shù)組成的數(shù)表,數(shù)表中各行依次成等差數(shù)列,各列依次成等比數(shù)列,且公比都相等,已知a1,1=1,a2,3=6,a3,2=8.a1,1a1,2a1,3a1,4…a2,1a2,2a2,3a2,4…a3,1a3,2a3,3a3,4…a4,1a4,2a4,3a4,4………………(1)求數(shù)列{an,2}的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bn=QUOTE+(-1)na1,n(n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.解:(1)設(shè)第一行依次組成的等差數(shù)列的公差是d,各列依次組成的等比數(shù)列的公比是q(q>0),則a2,3=qa1,3=q(1+2d)?q(1+2d)=6,a3,2=q2a1,2=q2(1+d)?q2解得d=1,q=2,所以a1,2=2,an,2=2×2n-1=2n.(2)由(1)得a1,n=n,所以bn=QUOTE+(-1)nn,Sn=(QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE)+[-1+2-3+…+(-1)nn],記Tn=QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,則QUOTETn=QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE,兩式相減得,QUOTETn=QUOTE+QUOTE+QUOTE+…+QUOTE-QUOTE=1-QUOTE,所以Tn=2-QUOTE,所以n為偶數(shù)時(shí),Sn=QUOTE+2-QUOTE,n為奇數(shù)時(shí),Sn=-QUOTE+2-QUOTE.3.(2021高考廣東卷)如圖①,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E分別是AC,AB上的點(diǎn),CD=BE=QUOTE,O為BC的中點(diǎn).將△ADE沿DE折起,得到如圖②所示的四棱錐A′BCDE,其中A′O=QUOTE.(1)證明:A′O⊥平面BCDE;(2)求二面角A′CDB的平面角的余弦值.解:(1)由題意,易得OC=3,AC=3QUOTE,AD=2QUOTE.連接OD,OE.在△OCD中,由余弦定理可得OD=QUOTE=QUOTE.由翻折不變性可知A′D=2QUOTE,所以A′O2+OD2=A′D2,所以A′O⊥OD.同理可證A′O⊥OE,又OD∩OE=O,所以A′O⊥平面BCDE.(2)法一(傳統(tǒng)法)過(guò)O作OH⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于H,連接A′H,如圖.由于A′O⊥平面BCDE,所以A′H⊥CD,所以∠A′HO為二面角A′CDB的平面角.結(jié)合OC=3,∠BCD=45°,得OH=QUOTE,從而A′H=QUOTE=QUOTE.所以cos∠A′HO=QUOTE=QUOTE,所以二面角A′CDB的平面角的余弦值為QUOTE.法二(向量法)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz,如圖所示,則A′(0,0,QUOTE),C(0,-3,0),D(1,-2,0),所以QUOTE=(0,3,QUOTE),QUOTE=(-1,2,QUOTE).設(shè)n=(x,y,z)為平面A′CD的一個(gè)法向量,則QUOTE即QUOTE解得QUOTE令x=1,得n=(1,-1,QUOTE),即n=(1,-1,QUOTE)為平面A′CD的一個(gè)法向量.由(1)知QUOTE=(0,