【2022決勝高考】人教A版(理)數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)練測(cè)：第二章-函數(shù)與基本初等函數(shù)I-學(xué)案11

學(xué)案11函數(shù)與方程導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，會(huì)推斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù).2.依據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似值．自主梳理1．函數(shù)零點(diǎn)的定義(1)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使________成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點(diǎn)．(2)方程f(x)＝0有實(shí)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與____有交點(diǎn)?函數(shù)y＝f(x)有________．2．函數(shù)零點(diǎn)的判定假如函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有____________，那么函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間________內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得________，這個(gè)____也就是f(x)＝0的根．我們不妨把這一結(jié)論稱為零點(diǎn)存在性定理．3．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象與x軸的交點(diǎn)________，________________無(wú)交點(diǎn)零點(diǎn)個(gè)數(shù)________________________4.用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值的步驟第一步，確定區(qū)間[a，b]，驗(yàn)證________________，給定精確度ε；其次步，求區(qū)間(a，b)的中點(diǎn)c；第三步，計(jì)算______：①若________，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；②若________，則令b＝c[此時(shí)零點(diǎn)x0∈(a，c)]；③若________，則令a＝c[此時(shí)零點(diǎn)x0∈(c，b)]；第四步，推斷是否達(dá)到精確度ε：即若|a－b|<ε，則得到零點(diǎn)近似值a(或b)；否則重復(fù)其次、三、四步．自我檢測(cè)1．(2010·福建)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－3，x≤0,－2＋lnxx>0))的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 ()A．0 B．1 C．2 D．32．若函數(shù)y＝f(x)在R上遞增，則函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn) ()A．至少有一個(gè) B．至多有一個(gè)C．有且只有一個(gè) D．可能有很多個(gè)3．如圖所示的函數(shù)圖象與x軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求圖中交點(diǎn)橫坐標(biāo)的是()A．①② B．①③C．①④ D．③④4．設(shè)f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1,2)內(nèi)近似解的過(guò)程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，則方程的根所在的區(qū)間是 ()A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)C．(1.5,2) D．不能確定5．(2011·福州模擬)若函數(shù)f(x)的零點(diǎn)與g(x)＝4x＋2x－2的零點(diǎn)之差的確定值不超過(guò)0.25，則f(x)可以是 ()A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln(x－0.5)探究點(diǎn)一函數(shù)零點(diǎn)的推斷例1推斷函數(shù)y＝lnx＋2x－6的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．變式遷移1(2011·煙臺(tái)模擬)若定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，f(x)＝x，則函數(shù)y＝f(x)－log3|x|的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 ()A．多于4個(gè) B．4個(gè)C．3個(gè) D．2個(gè)探究點(diǎn)二用二分法求方程的近似解例2求方程2x3＋3x－3＝0的一個(gè)近似解(精確度0.1)．變式遷移2(2011·淮北模擬)用二分法爭(zhēng)辯函數(shù)f(x)＝x3＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))的零點(diǎn)時(shí)，第一次經(jīng)計(jì)算f(0)<0，SKIPIF1<0>0，可得其中一個(gè)零點(diǎn)x0∈________，其次次應(yīng)計(jì)算________．以上橫線上應(yīng)填的內(nèi)容為 ()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))SKIPIF1<0 B．(0,1)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))SKIPIF1<0 D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))SKIPIF1<0探究點(diǎn)三利用函數(shù)的零點(diǎn)確定參數(shù)例3已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝2ax2＋2x－3－a，假如函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[－1,1]上有零點(diǎn)，求a的取值范圍．變式遷移3若函數(shù)f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．1．全面生疏深刻理解函數(shù)零點(diǎn)：(1)從“數(shù)”的角度看：即是使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x；(2)從“形”的角度看：即是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；(3)若函數(shù)f(x)的圖象在x＝x0處與x軸相切，則零點(diǎn)x0通常稱為不變號(hào)零點(diǎn)；(4)若函數(shù)f(x)的圖象在x＝x0處與x軸相交，則零點(diǎn)x0通常稱為變號(hào)零點(diǎn)．2．求函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)的方法：(1)(代數(shù)法)求方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)；(2)(幾何法)對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)；(3)(二分法)主要用于求函數(shù)零點(diǎn)的近似值，二分法的條件f(a)·f(b)<0表明：用二分法求函數(shù)的近似零點(diǎn)都是指變號(hào)零點(diǎn)．3．有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的重要結(jié)論：(1)若連續(xù)不間斷的函數(shù)f(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)；(2)連續(xù)不間斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的全部函數(shù)值保持同號(hào)；(3)連續(xù)不間斷的函數(shù)圖象通過(guò)零點(diǎn)時(shí)，函數(shù)值符號(hào)可能不變．(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．(2010·天津)函數(shù)f(x)＝2x＋3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是 ()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)2．(2011·福州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)＝log2x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x，若實(shí)數(shù)x0是方程f(x)＝0的解，且0<x1<x0，則f(x1)的值 ()A．恒為負(fù) B．等于零C．恒為正 D．不小于零3．下列函數(shù)圖象與x軸均有公共點(diǎn)，其中能用二分法求零點(diǎn)的是()4．函數(shù)f(x)＝(x－2)(x－5)－1有兩個(gè)零點(diǎn)x1、x2，且x1<x2，則()A．x1<2,2<x2<5B．x1>2，x2>5C．x1<2，x2>5D．2<x1<5，x2>55．(2011·廈門月考)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－4，x≤1,x2－4x＋3，x>1))，g(x)＝log2x，則函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是 ()A．4 B．3 C．2 D．1題號(hào)12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6．定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝2006x＋log2006x，則在R上，函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．7．(2011·深圳模擬)已知函數(shù)f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋lnx，h(x)＝x－eq\r(x)－1的零點(diǎn)分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是______________．8．(2009·山東)若函數(shù)f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．三、解答題(共38分)9．(12分)已知函數(shù)f(x)＝x3－x2＋eq\f(x,2)＋eq\f(1,4).證明：存在x0∈(0，eq\f(1,2))，使f(x0)＝x0.10．(12分)已知二次函數(shù)f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在區(qū)間[－1,1]內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，使f(c)>0，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．11．(14分)(2011·杭州調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，且f(1)＝－eq\f(a,2)，3a>2c>2b，求證：(1)a>0且－3<eq\f(b,a)<－eq\f(3,4)；(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)；(3)設(shè)x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，則eq\r(2)≤|x1－x2|<eq\f(\r(57),4).答案自主梳理1．(1)f(x)＝0(2)x軸零點(diǎn)2.f(a)·f(b)<0(a，b) f(c)＝0c3.(x1,0)(x2,0)(x1,0)兩個(gè)一個(gè) 無(wú)4.f(a)·f(b)<0f(c)①f(c)＝0②f(a)·f(c)<0③f(c)·f(b自我檢測(cè)1．C[當(dāng)x≤0時(shí)，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3；當(dāng)x>0時(shí)，令－2＋lnx＝0，解得x＝e2，所以已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．]2．B3.B4.B5.A課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引推斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)最常用的方法是令f(x)＝0，轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)，解出方程有幾個(gè)根，函數(shù)y＝f(x)就有幾個(gè)零點(diǎn)，假如方程的根解不出，還有兩種方法推斷：方法一是基本方法，是利用零點(diǎn)的存在性原理，要留意參考單調(diào)性可判定零點(diǎn)的唯一性；方法二是數(shù)形結(jié)合法，要留意作圖技巧．解方法一設(shè)f(x)＝lnx＋2x－6，∵y＝lnx和y＝2x－6均為增函數(shù)，∴f(x)也是增函數(shù)．又∵f(1)＝0＋2－6＝－4<0，f(3)＝ln3>0，∴f(x)在(1,3)上存在零點(diǎn)．又f(x)為增函數(shù)，∴函數(shù)在(1,3)上存在唯一零點(diǎn)．方法二在同一坐標(biāo)系畫(huà)出y＝lnx與y＝6－2x的圖象，由圖可知兩圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)y＝lnx＋2x－6只有一個(gè)零點(diǎn)．變式遷移1B[由題意知f(x)是偶函數(shù)并且周期為2.由f(x)－log3|x|＝0，得f(x)＝log3|x|，令y＝f(x)，y＝log3|x|，這兩個(gè)函數(shù)都是偶函數(shù)，畫(huà)兩函數(shù)y軸右邊的圖象如圖，兩函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，因此零點(diǎn)個(gè)數(shù)在x≠0，x∈R的范圍內(nèi)共4個(gè)．]例2解題導(dǎo)引①用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，最好是利用表格，將計(jì)算過(guò)程所得的各個(gè)區(qū)間、中點(diǎn)坐標(biāo)、區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值等置于表格中，可清楚地表示出逐步縮小零點(diǎn)所在區(qū)間的過(guò)程，有時(shí)也可利用數(shù)軸來(lái)表示這一過(guò)程；②在確定方程近似解所在的區(qū)間時(shí)，轉(zhuǎn)化為求方程對(duì)應(yīng)函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間，找出的區(qū)間[a，b]長(zhǎng)度盡可能小，且滿足f(a)·f(b)<0；③求方程的近似解，所要求的精確度不同得到的結(jié)果也不同，精確度ε，是指在計(jì)算過(guò)程中得到某個(gè)區(qū)間(a，b)后，直到|a－b|<ε時(shí)，可停止計(jì)算，其結(jié)果可以是滿足精確度的最終小區(qū)間的端點(diǎn)或區(qū)間內(nèi)的任一實(shí)數(shù)，結(jié)果不唯一．解設(shè)f(x)＝2x3＋3x－3.經(jīng)計(jì)算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，所以函數(shù)在(0,1)內(nèi)存在零點(diǎn)，即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)內(nèi)有解．取(0,1)的中點(diǎn)0.5，經(jīng)計(jì)算f(0.5)<0，又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)內(nèi)有解，如此連續(xù)下去，得到方程的一個(gè)實(shí)數(shù)解所在的區(qū)間，如下表.(a，b)(a，b)的中點(diǎn)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))(0,1)0.5f(0.5)<0(0.5,1)0.75f(0.75)>0(0.5,0.75)0.625f(0.625)<0(0.625,0.75)0.6875f(0.6875)<0(0.6875,0.75)|0.6875－0.75|＝0.0625<0.1至此，可以看出方程的根落在區(qū)間長(zhǎng)度小于0.1的區(qū)間(0.6875,0.75)內(nèi)，可以將區(qū)間端點(diǎn)0.6875作為函數(shù)f(x)零點(diǎn)的近似值．因此0.6875是方程2x3＋3x－3＝0精確度0.1的一個(gè)近似解．變式遷移2D[由于f(0)<0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))>0，而f(x)＝x3＋lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))中的x3及l(fā)neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))上是增函數(shù)，故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))上也是增函數(shù)，故f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上存在零點(diǎn)，所以x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，其次次計(jì)算應(yīng)計(jì)算0和eq\f(1,2)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的中點(diǎn)x1＝eq\f(0＋\f(1,2),2)＝eq\f(1,4).]例3解若a＝0，f(x)＝2x－3，明顯在[－1，1]上沒(méi)有零點(diǎn)，所以a≠0.令Δ＝4＋8a(3＋a)＝8a2＋解得a＝eq\f(－3±\r(7),2).①當(dāng)a＝eq\f(－3－\r(7),2)時(shí)，f(x)＝0的重根x＝eq\f(3－\r(7),2)∈[－1,1]，當(dāng)a＝eq\f(－3＋\r(7),2)時(shí)，f(x)＝0的重根x＝eq\f(3＋\r(7),2)?[－1,1]，∴y＝f(x)恰有一個(gè)零點(diǎn)在[－1,1]上；②當(dāng)f(－1)·f(1)＝(a－1)(a－5)<0，即1<a<5時(shí)，y＝f(x)在[－1,1]上也恰有一個(gè)零點(diǎn)．③當(dāng)y＝f(x)在[－1,1]上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ＝8a2＋24a＋4>0,－1<－\f(1,2a)<1,f1≥0,f－1≥0))，或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ＝8a2＋24a＋4>0,－1<－\f(1,2a)<1,f1≤0,f－1≤0))，解得a≥5或a<eq\f(－3－\r(7),2).綜上所述實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>1或a≤eq\f(－3－\r(7),2).變式遷移3解方法一(換元)設(shè)2x＝t，則函數(shù)f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1化為g(t)＝t2＋at＋a＋1(t∈(0，＋∞))．函數(shù)f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1在(－∞，＋∞)上存在零點(diǎn)，等價(jià)于方程t2＋at＋a＋1＝0，①有正實(shí)數(shù)根．(1)當(dāng)方程①有兩個(gè)正實(shí)根時(shí)，a應(yīng)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝a2－4a＋1≥0,t1＋t2＝－a>0,t1·t2＝a＋1>0))，解得：－1<a≤2－2eq\r(2)；(2)當(dāng)方程①有一正根一負(fù)根時(shí)，只需t1·t2＝a＋1<0，即a<－1；(3)當(dāng)方程①有一根為0時(shí)，a＝－1，此時(shí)方程①的另一根為1.綜上可知a≤2－2eq\r(2).方法二令g(t)＝t2＋at＋a＋1(t∈(0，＋∞))．(1)當(dāng)函數(shù)g(t)在(0，＋∞)上存在兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝a2－4a＋1≥0,－\f(a,2)>0,g0＝a＋1>0))，解得－1<a≤2－2eq\r(2)；(2)當(dāng)函數(shù)g(t)在(0，＋∞)上存在一個(gè)零點(diǎn)，另一個(gè)零點(diǎn)在(－∞，0)時(shí)，實(shí)數(shù)a應(yīng)滿足g(0)＝a＋1<0，解得a<－1；(3)當(dāng)函數(shù)g(t)的一個(gè)零點(diǎn)是0時(shí)，g(0)＝a＋1＝0，a＝－1，此時(shí)可以求得函數(shù)g(t)的另一個(gè)零點(diǎn)是1.綜上(1)(2)(3)知a≤2－2eq\r(2).課后練習(xí)區(qū)1．B[由于f(－1)＝eq\f(1,2)－3<0，f(0)＝1>0，所以f(x)在區(qū)間(－1,0)上存在零點(diǎn)．]2．A3．C[能用二分法求零點(diǎn)的函數(shù)必需在給定區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷，并且有f(a)·f(b)<0.A、B中不存在f(x)<0，D中函數(shù)不連續(xù)．]4．C5．B[當(dāng)x≤1時(shí)，函數(shù)f(x)＝4x－4與g(x)＝log2x的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，可得h(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)x>1時(shí)，函數(shù)f(x)＝x2－4x＋3與g(x)＝log2x的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，可得函數(shù)h(x)有1個(gè)零點(diǎn)，∴函數(shù)h(x)共有3個(gè)零點(diǎn)．]6．3解析函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，因此f(0)＝0，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝2006x＋log2006x在區(qū)間(0，eq\f(1,2006))內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，又f(x)為增函數(shù)，因此在(0，＋∞)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．依據(jù)對(duì)稱性可知函數(shù)在(－∞，0)內(nèi)有且僅有一解，從而函數(shù)在R上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3.7．x1<x2<x3解析令x＋2x＝0，即2x＝－x，設(shè)y＝2x，y＝－x；令x＋lnx＝0，即lnx＝－x，設(shè)y＝lnx，y＝－x.在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出y＝2x，y＝lnx，y＝－x，如圖：x1<0<x2<1，令x－eq\r(x)－1＝0，則(eq\r(x))2－eq\r(x)－1＝0，∴eq\r(x)＝eq\f(1＋\r(5),2)，即x3＝eq\f(3＋\r(5),2)>1，所以x1<x2<x3.8．a(chǎn)>1解析設(shè)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)和函數(shù)y＝x＋a，則函數(shù)f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有兩個(gè)零點(diǎn)，就是函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與函數(shù)y＝x＋a有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖象可知當(dāng)0<a<1時(shí)兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合；當(dāng)a>1時(shí)，由于函數(shù)y＝ax(a>1)的圖象過(guò)點(diǎn)(0,1)，而直線y＝x＋a所過(guò)的點(diǎn)確定在點(diǎn)(0,1)的上方，所以確定有兩個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a>1.9．證明令g(x)＝f(x)－x.………………(2分)∵g(0)＝eq\f(1,4)，g(eq\f(1,2))＝f(eq\f(1,2))－eq\f(1,2)＝－eq\f(1,8)，∴g(0)·g(eq\f(1,2))<0.……………(8分)又函數(shù)g(x)在(0，eq\f(1,2))上連續(xù)，…………(10分)所以存在x0∈(0，eq\f(1,2))，使g(x0)＝0.即f(x0)＝x0.………………(12分)10．解二次函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，使f(c)>0的否定是：對(duì)于區(qū)間[－1,1]內(nèi)的任意一個(gè)x都有f(x)≤0.……(4分)此時(shí)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1≤0,f