微積分試題解答20151224

11.

求解法1解法2注意：分子拆項是常用的技巧設21.

求解:

原式=有理分式函數(shù)----拆項

對被積函數(shù)拆項，是求不定積分常用的一種方法。1.一、選擇題(2×10=20)解是函數(shù)

的()間斷點

A．可去間斷點；B．跳躍間斷點

C．無窮間斷點；D．震蕩間斷點.（A）f(x)是g(x)的高階無窮?。唬˙）f(x)是g(x)的低階無窮?。唬–）f(x)與g(x)為同階無窮小，但非等價無窮?。―）f(x)與g(x)為等價無窮小2.設當時，(C)解:

f(x)與g(x)為同階無窮小，但非等價無窮小3.極限解:一般地4.

設,

求極限解:

原式5、下列運算正確的是（C）A、B、C、D、A不能利用極限的四則運算,B,D不能加減利用等價無窮小替換，C有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小,6.

設解:則f(x)在(C)（A）都間斷；都連續(xù)；連續(xù),間斷,（B）（C）間斷,連續(xù)；（D）所以x=1處連續(xù)所以間斷,7.

解:當（A）（B）（C）（D）時,下列變量中是無窮小量的有(C)無窮小量是自變量的某一變化過程中極限為0的函數(shù),8、如果與存在，則（C）.存在且B.不一定存在一定不存在A.存在但不一定有C.D.極限存在的必要條件是左右極限存在且相等9、設，則

(

B

)有界無界時，A、

B、C、單調(diào)增加 D、為無窮大n取偶數(shù)時,解:n取奇數(shù)時,9、設則正確的是(C)A、B、C、D、11.二、填空題(3×10=30)函數(shù)連續(xù)區(qū)間是______.初等函數(shù)在定義區(qū)間上是連續(xù)的，從而只需求出定義區(qū)間12.解:方程兩邊對x求導,要記住y是x的函數(shù),則y的函數(shù)是x的復合函數(shù).由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù)為由方程為________.則____.13.

設解:水平漸進線方程為____.14.

曲線解:求____.15.

設解:在閉區(qū)間[0,2]上的最大值為____.證：16.

設令得駐點

又所以為唯一的極大值點,從而為最大值點,17.

解所以所求曲線的拐點為且存在，則證：18.

設19.

求的導數(shù).兩邊取對數(shù),化為隱式兩邊對x

求導方法II.指數(shù)求導法.函數(shù)化為則解:方法I.

對數(shù)求導法.解:故法線斜率為20、曲線上點處的法線斜率是

。21.解:三、計算題（7×6=42）解:故所求切線方程:求曲線處的切線方程.22.

解:23.

求

24.

求解:!!!對于代數(shù)和中各無窮小不能分別替換.若未定式的分子或分母為若干個因子的乘積，則可對其中的任意一個或幾個無窮小因子作等價無窮小代換～25.設解:

26.設得極值,試確定a,b的值,并判斷f(x)在在極大值還是極小值.解:

1)求導數(shù)2)因為已知函數(shù)可導,且1,2為極值點.所以3)判別因故為極小值;因故為極大值;時都取是取得當時,當時,四、(8分)證明:證:

設,則故時,單調(diào)增加,從而即當時,當時,四、(15分)證明:證:

設,則故時,單調(diào)增加,從而即…………5分…………10分…………15分當時,四、(15分)證明:證:

設因此應有即因為故當時,…………6分…………8分…………15分…………12分當時,四、(15分)證明:證:

設因此應有即因為故當時,…………6分…………8分…………15分…………12分當時,四、(15分)證明:證:

設因此應有即故當時,…………6分…………8分…………15分…………12分當時,從而f(x)單調(diào)增加,當時,四、(15分)證明:證:

設因此應有即因為故當時,…………6分…………8分…………15分…………12分例8.

求解:定理有定義,有(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系)（P37定理4）例8.

求解:

令則定理有定義,有(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系)（P37定理4）解:令原式解:例1.

求解:原式定理4.意義1.極限符號可以與連續(xù)函數(shù)符號f互換;極限運算可以穿過連續(xù)函數(shù)符號到里面去取極限

2.把定理4中的x

x0換成x

,可得類似的定理．例1.

求解:原式解:又原式解:又原式洛:解:令得因為連續(xù),所以可導.因為是極值點,由費馬定理知所有在處取得極小值證:設輔助函數(shù)分析:可以通過求解一階線性微分方程構造輔助函數(shù)的通解,則

(1)若則因此至少存在一點在上滿足羅爾定理條件,使得即2)若則因此至少存在一點在上滿足拉格拉日中值使得即條件,定理在上連續(xù),且因為根據(jù)零點定理,至少存在一點使得即由(1)(2)可知,存在一點使得

證明函數(shù)在是跳躍間斷點證:原式是否可按下述方法作:15.

設,

求極限解:

原式解:故在原點(0,0)處切線方程為解:令證若，可??；若，可?。蝗?/p>

則由定理2知，存在

使注:這題結果稱為不動點定理．

，即有．例3.證明根據(jù)零點定理應用零點定理的一般步驟：①構造函數(shù)。（從結論入手）②驗證零點定理的條件。③應用。4.

設求解:

方法1

利用導數(shù)定義.方法2

利用求導公式.例1解對應例5.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點.解:1)求2)求拐點可疑點坐標令得3)列表判別故該曲線在及上向上凸,向下凹,點及均為拐點.凸凸凹解:解:證明:由積分中值定理知至少存在一點使由(1)的結論,知注:(1)利用分部積分法,右邊推左邊.證明:令原式解:即特征根:故通解為解得解:設非負函數(shù)曲線與直線及坐標軸所圍圖形(1)求函數(shù)(2)

a

為何值時,所圍圖形繞x

軸一周所得旋轉(zhuǎn)體解:(1)由方程得面積為2,體積最小?故得五、解答題（每小題9分）(1011B)練習P2531(24)解:原式

在定積分中利用對稱區(qū)間上奇偶函數(shù)定積分的性質(zhì)求解往往可大大簡化計算.解:(1)在[0,π]上有4個顯然,f(x)分別在閉區(qū)間[0,1],[1,2],[2,π]上連續(xù)，且f

(0)=f(1)=f(2)=f

(π)

.由羅爾定理，在(0,1),(1,2),(2,π)內(nèi)分別存在點

1,

2,

3

，使得f

(

1)=f

(

2)=f

(

3)=0即方程f

(x)=0在(0,π)內(nèi)至少三個實根.在開區(qū)間(0,1),(1,2),(2,π)

內(nèi)可導，零點解:(1)由等式得對方程令y=1，得到兩邊關于y求導，得由知C=0.解:推論

若?(x)在[a,b]上連續(xù),

(x)在[a,b]上可導,則證:設還能否等上這只船證:證明:存在使

設可導，且在連續(xù)，證:設輔助函數(shù)因此至少存在顯然在上滿足羅爾定理條件,即使得練習例2.

設在內(nèi)可導,且證明至少存在一點使上連續(xù),在分析

問題轉(zhuǎn)化為證設輔助函數(shù)卸磨殺驢，脫掉對數(shù)函數(shù).顯然在[0,1]上滿足羅爾定理條件,故至少存在一點使即有解：1415.

設在內(nèi)可導,且(I)存在一點使上連續(xù),在(II)存在一點證明使，使得證：由零點定理,(Ⅰ)即在上連續(xù)所以在[

ξ,1]上滿足羅爾定理條件,故至少存在一點使即有證:設輔助函數(shù)在內(nèi)可導，分析

問題轉(zhuǎn)化為證卸磨殺驢，脫掉對數(shù)函數(shù).(II)構造輔助函數(shù)：分析：

先將結論中η換成x所給結論可寫為基本模型：換成構造輔助函