重慶市西南大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期12月一診模擬數(shù)學(xué)試題

西南大學(xué)附中高2025屆高三上12月一診模擬考試數(shù)學(xué)試題（滿分：150分；考試時(shí)間：120分鐘）2024年12月注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、班級(jí)、考場(chǎng)/座位號(hào)、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆填涂：答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米的黑色簽字筆書(shū)寫(xiě)；必須在題號(hào)對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)無(wú)效；保持答卷清潔、完整．3．考試結(jié)束后，將答題卡交回（試題卷學(xué)生保存，以備評(píng)講）．一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)是（）A． B． C． D．2．己知全集，集合，則（）A． B． C． D．3．已知體積為的圓柱存在內(nèi)切球．則該內(nèi)切球的表面積為（）A． B． C． D．4．2024年12月7日西南大學(xué)附屬中學(xué)校迎來(lái)了辦學(xué)110周年慶典，為此某班設(shè)計(jì)了富含寓意的11個(gè)文創(chuàng)作品，已知甲同學(xué)喜歡作品、，乙同學(xué)喜歡作品、、，丙同學(xué)除了不喜歡作品，其他作品都喜歡，讓甲乙丙三位同學(xué)依次從中選取一個(gè)作為禮物收藏，若這三位同學(xué)都選到了自己喜歡的文創(chuàng)作品，則不同的選法有（）A．50種 B．48種 C．45種 D．40種5．已知，則（）A． B． C． D．6．已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，若在中存在兩項(xiàng)，使得，則的最小值為（）A． B． C． D．7．已知點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，，則的最大值為（）A． B． C． D．8．已知實(shí)數(shù)滿足，若一定存在，使得成立，則的最小值為（）A．501 B．1012 C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列說(shuō)法正確的是（）A．?dāng)?shù)據(jù)5，7，9，11，13，14，15，22的平均數(shù)為12B．一組數(shù)據(jù)6，7，7，8，10，12，14，16，19，21的第30百分位數(shù)為7C．若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，則D．若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則10．已知拋物線，過(guò)的焦點(diǎn)作直線，若與交于兩點(diǎn)，，則下列結(jié)論正確的有（）A．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4 B．C．或 D．11．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．是偶函數(shù)B．在上單調(diào)遞增C．在內(nèi)共有3個(gè)極值點(diǎn)D．設(shè)，則在上共有12個(gè)零點(diǎn)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知，則_________．13．若函數(shù)，在區(qū)間的最大值為8，無(wú)最小值，則的取值范圍為_(kāi)_______．14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是和，下頂點(diǎn)為點(diǎn)，直線交橢圓于點(diǎn)，的內(nèi)切圓與相切于點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為_(kāi)_______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、正明過(guò)程或演算步驟．15．（13分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．已知．（1）求角的大??；（2）若的角平分線與邊相交于點(diǎn)，，求的周長(zhǎng)．16．（15分）某中學(xué)為提升學(xué)生們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，舉辦了一場(chǎng)“數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)知識(shí)大賽”，分為初賽和復(fù)賽兩個(gè)環(huán)節(jié)，初賽成績(jī)排名前兩百名的學(xué)生參加復(fù)賽．已知共有8000名學(xué)生參加了初賽，現(xiàn)從參加初賽的全體學(xué)生中隨機(jī)地抽取100人的初賽成績(jī)作為樣本，得到如下頻率分布直方圖：（1）規(guī)定初賽成績(jī)中不低于90分為優(yōu)秀，8090分為良好，7080分為一般，6070分為合格，60分以下為不合格，若從上述樣本中初賽成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人初賽成績(jī)優(yōu)秀的概率，并求初賽成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）由頻率分布直方圖可認(rèn)為該校全體參加初賽學(xué)生的初賽成績(jī)服從正態(tài)分布，其中可近似為樣本中的100名學(xué)生初賽成績(jī)的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替），且．已知小華的初賽成績(jī)?yōu)?5分，利用該正態(tài)分布，估計(jì)小華是否有資格參加復(fù)賽？（參考數(shù)據(jù)：；若，則，，．17．（15分）如圖，在多面體中，四邊形為矩形，四邊形為直角梯形，，，且．（1）當(dāng)時(shí)，求證：；（2）當(dāng)點(diǎn)在線段上（包含端點(diǎn)），時(shí)，求平面與平面的夾角的余弦值的取值范圍．18．（17分）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)、，右頂點(diǎn)，且．（1）求雙曲線的方程；（2）過(guò)左焦點(diǎn)的直線與雙曲線的左支交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程；（3）若直線與雙曲線的右支相切，切點(diǎn)為，直線與直線交于點(diǎn)，試探究以線段為直徑的圓是否過(guò)軸上的定點(diǎn)，若存在，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．19．（17分）對(duì)于數(shù)列，如果中存在四項(xiàng)、、、，使得（互不相同），則稱(chēng)數(shù)列為繽紛數(shù)列．（1）2024年12月7日，西南大學(xué)附屬中學(xué)迎來(lái)了辦學(xué)110周年慶典，若數(shù)列：2，4，12，7，為繽紛數(shù)列，且，求的