23確定二次函數(shù)的表達(dá)式教案20242025學(xué)年北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)

第二章二次函數(shù)3確定二次函數(shù)的表達(dá)式一、教學(xué)目標(biāo)1.掌握用頂點(diǎn)法求二次函數(shù)的表達(dá)式.2.掌握用交點(diǎn)法求二次函數(shù)的表達(dá)式.3.掌握用一般式法求二次函數(shù)的表達(dá)式.二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：通過對(duì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式的探究，掌握求表達(dá)式的方法.難點(diǎn)：能靈活根據(jù)條件恰當(dāng)?shù)剡x擇表達(dá)式，體會(huì)二次函數(shù)表達(dá)式之間的轉(zhuǎn)化.三、教學(xué)過程【新課導(dǎo)入】[復(fù)習(xí)導(dǎo)入][提出問題]1.一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)有幾個(gè)待定系數(shù)？通常需要已知幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求出它的表達(dá)式？2.求一次函數(shù)表達(dá)式的方法是什么？它的一般步驟是什么？[師生活動(dòng)]學(xué)生思考問題，積極作出回答：1.2個(gè).2個(gè)2.待定系數(shù)法:(1)設(shè)：（表達(dá)式）(2)列：（坐標(biāo)代入，列方程或方程組）(3)解：（解方程或方程組）(4)還原：（寫表達(dá)式）【新知探究】1.特殊條件的二次函數(shù)的表達(dá)式[提出問題]問題1：已知二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象經(jīng)過點(diǎn)(－2，8)和(－1，5)，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．[學(xué)生活動(dòng)]學(xué)生思考問題，動(dòng)手寫出解答過程：解:∵該圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,8）和（1,5），∴8=4a-2b，5=a?b.解得a=?1，[提出問題]問題2：已知二次函數(shù)y＝ax2+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,3)和(－1,－3)，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．[學(xué)生活動(dòng)]學(xué)生思考問題，動(dòng)手寫出解答過程：解:∵該圖象經(jīng)過點(diǎn)（2,3）和(－1,－3)，∴3=4a+c，∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x2－5.[歸納總結(jié)]觀察上述兩個(gè)表達(dá)式，總結(jié)：當(dāng)沒有c（c=0）時(shí)，圖象經(jīng)過原點(diǎn)；沒有b（b=0）時(shí)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.2.頂點(diǎn)法求二次函數(shù)的表達(dá)式[提出問題]問題3：已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4，1)，與y軸交于點(diǎn)(0，3)，求這條拋物線的表達(dá)式.[師生活動(dòng)]教師提示:若給出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最值，通?？稍O(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)＝a(xh)2＋k(a≠0).這種知道拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，求表達(dá)式的方法叫做頂點(diǎn)法.學(xué)生思考問題，動(dòng)手寫出解答過程：解：依題意設(shè)y＝a(xh)2＋k，將頂點(diǎn)(4，1)及交點(diǎn)(0，3)代入y＝a(xh)2＋k，得3=a(04)21.解得a=14.∴這條拋物線的表達(dá)式為y=14(x4)[歸納總結(jié)]頂點(diǎn)法求二次函數(shù)的方法：①設(shè)函數(shù)表達(dá)式是y=a(xh)2+k；②先代入頂點(diǎn)坐標(biāo)，得到關(guān)于a的一元一次方程；③將另一點(diǎn)的坐標(biāo)代入原方程求出a值；④a用數(shù)值換掉，寫出函數(shù)表達(dá)式.3.交點(diǎn)法求二次函數(shù)的表達(dá)式[提出問題]問題4：已知某一拋物線經(jīng)過點(diǎn)（3，0），（1，0），（0，3），求這條拋物線的表達(dá)式.[師生活動(dòng)]教師提示:根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)（x1，0）（x2，0），可設(shè)為二次函數(shù)的交點(diǎn)式，即y=a(xx1)(xx2).這種知道拋物線與x軸的交點(diǎn)，求表達(dá)式的方法叫做交點(diǎn)法.學(xué)生思考問題，動(dòng)手寫出解答過程：解：∵（3，0）（1，0）是拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn).所以可設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式是y=a(xx1)(xx2)(其中x1、x2為交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.因此，得y=a(x+3)(x+1).再把點(diǎn)（0，3）代入上式，得a(0+3)(0+1)=3.解得a=1.∴這條拋物線的表達(dá)式是y=(x+3)(x+1),即y=x24x3.[歸納總結(jié)]交點(diǎn)法求二次函數(shù)表達(dá)式的方法：①設(shè)函數(shù)表達(dá)式是y=a(xx1)(xx2)；②先把兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1,x2代入到表達(dá)式中，得到關(guān)于a的一元一次方程；③將另一點(diǎn)的坐標(biāo)代入原方程求出a值；④a用數(shù)值換掉，寫出函數(shù)表達(dá)式.[過渡]在什么情況下，一個(gè)二次函數(shù)只知道其中兩點(diǎn)就可以確定它的表達(dá)式？[交流討論]小組之間交流討論，得出結(jié)論：1.用頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x－h(huán))2+k時(shí)，知道頂點(diǎn)（h,k）和圖象上的另一點(diǎn)坐標(biāo),就可以確定這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.2.用交點(diǎn)式y(tǒng)=a(xx1)(xx2)時(shí)，拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1,x2,就可以確定這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.3.用一般式y(tǒng)=ax2+bx+c時(shí)，如果系數(shù)a,b,c中有兩個(gè)是未知的，知道圖象上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，也可以確定這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式.4.一般式法求二次函數(shù)的表達(dá)式[課件展示]思考：二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)中有3個(gè)待定系數(shù)？需要3個(gè)拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)才能求出來？[提出問題]問題5：已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(1,10)，(1,4)，(2,7)三點(diǎn)，求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫出它的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).[師生活動(dòng)]教師提示:已知拋物線上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，可設(shè)為二次函數(shù)的一般式：y=ax2+bx+c(a≠0).這種已知三點(diǎn)求二次函數(shù)表達(dá)式的方法叫做一般式法.學(xué)生思考問題，動(dòng)手寫出解答過程：解：設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2+bx+c.將三點(diǎn)(1,10)，(1,4)，(2,7)的坐標(biāo)分別代入表達(dá)式，得10=a?b+c，4=a+b+c，∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=2x23x+5.∵y=2x23x+5=2（x34）2+318，∴對(duì)稱軸為直線x=34，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3[歸納總結(jié)]一般式法求二次函數(shù)表達(dá)式的方法：①設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+bx+c；②代入后得到一個(gè)三元一次方程組；③解方程組得到a,b,c的值；④把待定系數(shù)用數(shù)字換掉，寫出函數(shù)表達(dá)式.[課件展示]議一議：一個(gè)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(0,1)，B(1,2)，C(2,1)，你能確定這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式嗎？你有幾種方法？與同伴進(jìn)行交流.[師生活動(dòng)]學(xué)生思考問題，教師引導(dǎo)，師生配合得出答案:方法一：解：由對(duì)稱性可知頂點(diǎn)坐標(biāo)為B(1,2)，∴設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=a（x1）2+2.將A(0,1)的坐標(biāo)代入表達(dá)式，得1=a（01）2+2.解得a=1.∴所求二次函數(shù)的表達(dá)式為y=1（x1）2+2.方法二：解：設(shè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=ax2+bx+c.將點(diǎn)A(0,1)，B(1,2)，C(2,1)的坐標(biāo)分別代入表達(dá)式，得1=c,2=a+b+c,1=4a+2b+c.解這個(gè)方程組，得∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為y=x2+4x+1.【課堂小結(jié)】一、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式①已知三點(diǎn)坐標(biāo)，用一般式法：y=ax2+bx+c.②已知頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最值，用頂點(diǎn)法：y=a(x－h(huán))2+k.③已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，用交點(diǎn)法：y=a(x－x1)(x－x2)(x1,x2為交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.【課堂訓(xùn)練】學(xué)生完成本課時(shí)PPT練習(xí)題，教師講評(píng).【布置作業(yè)】【板書設(shè)計(jì)】第二章二次函數(shù)3確定二次函數(shù)的表達(dá)式1.用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式的一般步驟:(1)設(shè)：（表達(dá)式）(2)列：（坐標(biāo)代入，列方程或方程組）(3)解：（解方程或方程組）(4)還原：（寫表達(dá)式）2.頂點(diǎn)法求二次函數(shù)的方法：①設(shè)函數(shù)表達(dá)式是y=a(xh)2+k；②先代入頂點(diǎn)坐標(biāo)，得到關(guān)于a的一元一次方程；③將另一點(diǎn)的坐標(biāo)代入原方程求出a值；④a用數(shù)值換掉，寫出函數(shù)表達(dá)式.3.交點(diǎn)法求二次函數(shù)表達(dá)式的方法：①設(shè)函數(shù)表達(dá)式是y=a(xx1)(xx2)；②先把兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1,x2代入到表達(dá)式中，得到關(guān)于a的一元一次方程；③將另一點(diǎn)的坐標(biāo)代入原方程求出a值；④a用數(shù)值換掉，寫出函數(shù)表達(dá)式.4.一般式法求二次函數(shù)表達(dá)式的方法：①設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y=ax2+bx+c；②代入后得到一個(gè)三元一次方程組；③解方程組得到a,b,c的值；④把待定系數(shù)用數(shù)字換掉，寫出函數(shù)表達(dá)式.【教學(xué)反思】本課時(shí)主要學(xué)習(xí)用待定系數(shù)法確定二次