基于經(jīng)驗細(xì)化速度概念進(jìn)階表征的路徑

摘要：解決“速度”理解之難問題，需要實現(xiàn)進(jìn)階表征。第一步：問徑，找準(zhǔn)問題。第二步：破徑，探索歸因。第三步：尋徑，提出策略?？蓮乃膫€方面進(jìn)行進(jìn)階訓(xùn)練：基于學(xué)習(xí)起點(diǎn)做實“經(jīng)驗表征”路徑；基于方法聯(lián)系做實“算法表征”路徑；基于運(yùn)算意義做實“圖示表征”路徑；基于沖突暴露做實“符號表征”路徑。細(xì)化進(jìn)階表征的路徑，一步步從“經(jīng)驗表征”過渡到“符號表征”，能夠幫助學(xué)生更好地理解速度概念。關(guān)鍵詞：經(jīng)驗表征；算法表征；圖示表征；符號表征；小學(xué)數(shù)學(xué)；速度概念小學(xué)階段，關(guān)于速度及其相關(guān)數(shù)量關(guān)系的厘清及問題解決，一直是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的重難點(diǎn)。相當(dāng)一部分學(xué)生存在著概念混淆、數(shù)量關(guān)系建立紊亂、認(rèn)為平均速度等于速度的平均等問題。事實上，“速度除其本身的知識屬性外，也是學(xué)生理解運(yùn)動、對時空關(guān)系建立初步理性認(rèn)識的開端。[1]”如何厘清路程、時間、速度三者的關(guān)系，從學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)和認(rèn)知難點(diǎn)出發(fā)，解決“速度”理解之難問題，意義是多方面的——對于后續(xù)的函數(shù)學(xué)習(xí)，學(xué)生比例思維的發(fā)展，初高中加速度、速率的學(xué)習(xí)等均有奠基作用。小學(xué)生理解速度并非一蹴而就，而是一步一個腳印，實現(xiàn)進(jìn)階表征。一、問徑：剖析后測，反思教學(xué)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱新課標(biāo)）明確指出：“在具體情境中，認(rèn)識常見數(shù)量關(guān)系：路程=速度×?xí)r間；能利用這一數(shù)量關(guān)系解決簡單的實際問題。”可見，引領(lǐng)學(xué)生在具體情境中厘清數(shù)量關(guān)系不可或缺?？梢詮木唧w情境題出發(fā)進(jìn)行后測，為進(jìn)階表征提供依據(jù)和奠定基礎(chǔ)。以下是針對43個學(xué)生的后測情境題型及結(jié)果。一輛高鐵2小時行駛了640千米。（1）照此速度計算，3小時該高鐵能行駛多少千米？（2）知道了時間與路程，為什么就能計算出這輛高鐵的“速度”呢？收集全部學(xué)生的作業(yè)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對速度概念理解有偏差，結(jié)果如下：（一）混淆了“速度”與“路程”第1小題的正確率僅為52.6%，其中典型錯誤如下：640÷2=320（千米）。顯然，這些學(xué)生把高鐵的速度當(dāng)成了路程或路程的一部分，造成兩者之間的模糊與混淆。事實上，學(xué)生應(yīng)該“從概念的聯(lián)系出發(fā)，感知速度的字面含義”[2]。所謂“聯(lián)系”就是應(yīng)該聯(lián)系時間與路程，把“速度”理解為一個復(fù)合單位，理解為一個比率關(guān)系，而非理解為一個單一的量。（二）斷裂了“算法”與“算理”第2小題的正確率僅為47.8%。悉心分析典型錯誤，發(fā)現(xiàn)學(xué)生斷裂了“算法”與“算理”，未能發(fā)現(xiàn)兩者之間的有效關(guān)聯(lián)。相當(dāng)一部分學(xué)生這樣說：“因為640千米是路程，2小時是時間，用除法就能計算出速度。”這就是典型的“知其然而不知其所以然”，即知道算法卻不知道算理。顯然，“路程÷時間”不僅僅是二求一，而是路程被單位時間成比例分割的關(guān)系。學(xué)生如果不理解這一點(diǎn)，哪怕牢記公式，熟稔算法，也是會用錯的。二、破徑：追本溯源，探索歸因問卷調(diào)查是“問徑”，之后的“破徑”不可或缺，為有效解決問題奠基。（一）審思題型，分析缺失人教版四年級上冊“三位數(shù)乘兩位數(shù)”中引入速度方面的題型，其目的是為了更好地解決行程問題，當(dāng)然也是為了更好地鞏固“三位數(shù)乘兩位數(shù)”的算法。無疑，速度是衡量變化快慢的尺度，反映時間與空間的關(guān)系。路程與時間共同表征物體運(yùn)動的有序關(guān)系。既然如此，題型的選擇就要指向數(shù)量關(guān)系，指向算理，而非一個單獨(dú)的數(shù)量。上述題型的設(shè)計是有缺失的，沒有展開速度概念的發(fā)生過程——只有算法教學(xué)，而沒有算理及比例關(guān)系的指向。好的、有意義的題型不是割裂，而是聯(lián)結(jié)，尤其應(yīng)該聯(lián)結(jié)多個因素之間的實際意義，如此，才能更好地理解核心概念。（二）剖析學(xué)情，尋找聯(lián)系除了分析教材或教師設(shè)計的題型之外，還要分析學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)與學(xué)習(xí)實情。學(xué)習(xí)“速度、時間與路程”之前，很有必要了解學(xué)生已有的經(jīng)驗，為速度概念的建構(gòu)奠定基礎(chǔ)。畢竟，生活中學(xué)生已經(jīng)對“速度、時間與路程”有一些模糊的感知，而這，也是不可或缺的有效資源。我們選擇四年級的45名學(xué)生，圍繞“速度、時間與路程”進(jìn)行課前調(diào)查，設(shè)置如下兩個問題：①什么是“路程”？什么又是“速度”？你能通過具體例子來闡明你的觀點(diǎn)嗎？②吳強(qiáng)和劉靜跑步，前者跑了5分鐘，后者跑了6分鐘，誰跑得快？為什么？統(tǒng)計結(jié)果表明，第一題中關(guān)于“路程”的理解，正確人數(shù)是41，模糊人數(shù)是3人，錯誤人數(shù)是1人，正確率為91.1%，說明學(xué)生對“路程”的理解較好。相比而言，學(xué)生對“速度”的理解就不盡如人意，正確人數(shù)只有9人，模糊人數(shù)是26人，錯誤人數(shù)是10人，正確率只有20%。第二題中，選擇吳強(qiáng)跑得較快的學(xué)生多達(dá)77.8%，而正確人數(shù)只有10人，正確率只有22.2%。這說明77.8%的學(xué)生忽視了速度與路程的關(guān)系。四年級的學(xué)生在上學(xué)放學(xué)路上常常通過跑步、騎車比快慢，其中的一些經(jīng)驗不應(yīng)小覷。盡管這些經(jīng)驗是粗淺而零散的，但打通數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實生活之間的通道而尋找聯(lián)系是很有必要的。比如，“你選擇吳強(qiáng)跑得快，但是究竟跑了多長？你注意‘距離’這個因素了嗎？”一個問題就能喚醒學(xué)生已有的經(jīng)驗。由此，教師可從生活實際經(jīng)驗出發(fā)，幫助學(xué)生糾正自己的錯誤認(rèn)識，正確建構(gòu)核心概念的認(rèn)知體系。三、尋徑：表征可視，建構(gòu)概念基于學(xué)生的已有經(jīng)驗、學(xué)習(xí)起點(diǎn)與基本實情，我們重新設(shè)計速度概念進(jìn)階表征的路徑，幫助學(xué)生厘清速度與路程的不同，整體上勾連相關(guān)因子，并且著重經(jīng)歷算法化的過程，有效解決相關(guān)問題。（一）基于學(xué)習(xí)起點(diǎn)做實“經(jīng)驗表征”路徑由上觀之，學(xué)生經(jīng)常性“比快慢”，可見，速度與“快慢”有關(guān)系。既然如此，不妨由此出發(fā)，通過情境題型的設(shè)計幫助學(xué)生理解速度。教師出示情境題型：小熊用4分鐘走了360米，小狗用2分鐘走了120米，小牛用2分鐘走了160米。教師追問：“三個小動物，有相同的地方，有不同的地方。請觀察相同之處，回答哪兩個小動物不用計算就能比出誰快；再觀察不同之處，如果時間與路程都不相同時，思考誰快誰慢。最后思考：速度究竟與什么有關(guān)?！睂W(xué)生的觀察結(jié)果不外乎兩種情況：時間相同，路程不同；路程相同，時間不同?！氨瓤炻保鸵磧蓚€因素：一是相同時間內(nèi)誰走得遠(yuǎn)，二是相同路程內(nèi)，誰用的時間更少。學(xué)生通過討論，再加上教師的及時提醒與點(diǎn)撥，很快總結(jié)出如下結(jié)論：小狗與小牛的時間相同，不必計算就知道小牛的速度快，因為它在相同時間內(nèi)走得更遠(yuǎn)。以上都是通過勾連生活經(jīng)驗，找到了“經(jīng)驗表征”的路徑，讓學(xué)生在已有的“比快慢”與抽象的“速度”之間建立契合點(diǎn)，幫助理解速度這一核心概念。（二）基于方法聯(lián)系做實”算法表征”路徑小狗與小牛之間不必計算就能比出快慢。但是要比較小熊與小狗、小熊與小牛之間誰快，就比較復(fù)雜，就需要計算。按照以上“比快慢”的邏輯，至少應(yīng)該把“時間相同”這個條件考慮進(jìn)去，但是小熊與小牛的時間偏偏不一樣，如何比較呢？于是，學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知沖突，并且引發(fā)探究心理：如何把“無法比較”變成“可以比較”“能夠比較”，這就需要從“經(jīng)驗表征”過渡到“算法表征”：小熊、小狗與小牛每分鐘究竟走多少米？由此，學(xué)生真正觸及到“速度”這一核心概念。再次出示小熊與小牛的情境圖，教師充分放權(quán)，先讓學(xué)生自主探索，力爭站在審視方法的角度呈現(xiàn)出多樣化算法。方法1：遞減法。小熊用4分鐘走了360米，那么，2分鐘走的路程肯定是360米的一半，即180米。與小牛2分鐘內(nèi)走的160米相比，明顯小熊要快。方法2：遞增法。小牛2分鐘內(nèi)走160米，那么，4分鐘內(nèi)的路程肯定就要翻倍，即320米。與小熊4分鐘內(nèi)走360米相比，明顯小熊要快。方法3：用除法。360÷4=90，160÷2=80。顯然，每分鐘內(nèi)小熊走的路程長。在此基礎(chǔ)上，教師組織學(xué)生分析上述三種方法的異同，并就“哪種方法好？理由是什么”展開討論。學(xué)生發(fā)現(xiàn)可以將無法比較的“量”轉(zhuǎn)化為可以比較的“量”，其關(guān)鍵在于把時間長度統(tǒng)一起來。比如，都是4分鐘，或者都是2分鐘，或者都是1分鐘。這樣的相同的時間內(nèi)，無疑比較1分鐘或者“每分鐘”內(nèi)走的路程，是最一般化的方法，能從“比快慢”中容易得出正確方法的路徑。而這，也是速度概念中最重要的地方。由此，由“經(jīng)驗表征”到“算法表征”，學(xué)生經(jīng)歷了思維爬坡，經(jīng)歷了進(jìn)階過程，自然而然地加深了對核心概念的理解（三）基于運(yùn)算意義做實“圖示表征”路徑對于小學(xué)生而言，不容易理解“路程被單位時間成比例分割”這樣的運(yùn)算意義。由“4分鐘之內(nèi)走了多少路程”到“每分鐘內(nèi)走了多少路程”，學(xué)生會計算，但未必理解其運(yùn)算意義。怎么辦？通過“圖示表征”不失為一條有效的路徑。畢竟，小學(xué)生形象思維發(fā)達(dá)，容易通過圖上的“所見”去理解代數(shù)意義中的“所不見”。以算式“360÷4=90（米）”為例，學(xué)生知道“求1分鐘走的路程要用除法”，但是不知道為什么用除法，也就是不理解運(yùn)算意義。此時，教師可通過“圖示表征”的方法幫助學(xué)生理解。借助圖示，學(xué)生從每一階段的劃分中理解到4分鐘里有4個1分鐘，“360米”也要平均分成4份?！边@里的“分”是對應(yīng)的，“360÷4=90（米）”，不僅僅意味著路程上的四等分，也意味著時間與路程在一定單位內(nèi)的劃分（見圖1）。速度關(guān)聯(lián)到兩個量，一個時間，一個路程。畫一條時間軸與路程軸，通過“雙線段”的形式，學(xué)生容易理解“速度是路程被單位時間成比例分割”（見圖2）。從圖中可以明顯看出“雙線段”具有相同的長度，并且上下一一對應(yīng)，更加直觀地“細(xì)化出單位時間內(nèi)的路程長度”這一特點(diǎn)。在此基礎(chǔ)上，教師用動態(tài)方式將“雙線段”合成一條線段，趁機(jī)讓學(xué)生找一找合成后線段中的三個因子的位置，進(jìn)一步理解“速度是路程被單位時間成比例分割”的概念。這樣的“圖示表征”形象、生動、直觀，幫助學(xué)生加深了對速度概念的理解。（四）基于沖突暴露做實“符號表征”路徑上文提到的學(xué)生混淆了速度與路程的表現(xiàn)之一就是速度單位與路程單位是一致的。上面三個步驟的學(xué)習(xí)之后，教師進(jìn)一步制造認(rèn)知沖突，促使學(xué)生理解：既然速度單位不能與路程單位混淆，那么，與時間單位能混淆嗎？由此，促使學(xué)生理解到速度單位是路程與時間單位的結(jié)合體。當(dāng)然，教師不是直接告訴學(xué)生這一結(jié)論，而是通過情境活動的呈現(xiàn)，經(jīng)歷討論、歸納與總結(jié)的過程，一步步理解速度單位發(fā)生、發(fā)展和形成的過程，讓學(xué)生知其然，還要知其所以然。教師通過大屏幕出示“兩牛吹牛”情境圖（見圖3），并趁機(jī)追問：1.你能計算出甲牛與乙牛的速度嗎？可以列式計算并將結(jié)果呈現(xiàn)出來（結(jié)果均為“5”，但單位不一樣）。2.組織學(xué)生觀察結(jié)果、對比結(jié)果并發(fā)現(xiàn)問題：“結(jié)果都是5，有什么不一樣？”3.學(xué)生歸納：每小時與每秒肯定是不一樣，千米與米也不一樣。由此引出復(fù)合單位。4.組織學(xué)生一步步歸納出建構(gòu)速度計算的一般模型。根據(jù)學(xué)生己有的經(jīng)驗和知識儲備來看，肯定知道兩個5表示的意義是不同的，哪怕是基礎(chǔ)較弱，也能理解小時與秒的區(qū)別。教師可以順勢引導(dǎo)學(xué)生：究竟在哪一個因素上來區(qū)別兩者的不同？經(jīng)過討論，學(xué)生漸