《命題及其關(guān)系充分條件與必要條件》教案

1.2命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件適用學(xué)科數(shù)學(xué)適用年級高三適用區(qū)域新課標(biāo)課時時長（分鐘）60知識點(diǎn)命題的概念及真假“若p，則q”形式的命題四種命題四種命題的相互關(guān)系四種命題真假的相互關(guān)系及應(yīng)用充分條件與必要條件充要條件充分條件與必要條件的應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)1．理解命題的概念．2．了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關(guān)系．3．理解必要條件、充分條件與充要條件的意義．教學(xué)重點(diǎn)充分必要條件的判斷和四種命題及其關(guān)系教學(xué)難點(diǎn)充分必要條件的判斷和四種命題及其關(guān)系

教學(xué)過程一、課堂導(dǎo)入思考下列命題的題設(shè)(條件)是什么?結(jié)論是什么?并判斷是否正確?你的理由是什么?（1）邊長為a(a＞0)的等邊三角形的面積為

;（2）兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行;（3）對于任何實數(shù)x,x2

＜0.

二、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)1、集合的概念及性質(zhì)2、集合的相互關(guān)系及運(yùn)算

三、知識講解考點(diǎn)1命題在數(shù)學(xué)中，我們把用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題．

考點(diǎn)2四種命題及其關(guān)系(1)四種命題間的相互關(guān)系(2)四種命題的真假關(guān)系：①兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；②兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．

考點(diǎn)3充分條件與必要條件(1)如果p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．(2)如果p?q，q?p，則p是q的充分必要條件．記作p?q.

四、例題精析【例題1】【題干】設(shè)原命題是“當(dāng)c>0時，若a>b，則ac>bc”，寫出它的逆命題、否命題與逆否命題，并分別判斷它們的真假

【解析】“當(dāng)c>0時”是大前提，寫其他命題時應(yīng)該保留，原命題的條件是a>b，結(jié)論是ac>bc.因此它的逆命題：當(dāng)c>0時，若ac>bc，則a>b.它是真命題；否命題：當(dāng)c>0時，若a≤b，則ac≤bc.它是真命題；逆否命題：當(dāng)c>0時，若ac≤bc，則a≤b.它是真命題.

【例題2】【題干】已知命題p：函數(shù)f(x)＝|x－a|在(1，＋∞)上是增函數(shù)，命題q：f(x)＝ax(a>0且a≠1)是減函數(shù)，則p是q的()A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

【答案】A【解析】若命題p為真，則a≤1；若命題q為真，則0<a<1.∵由q能推出p但由p不能推出q，∴p是q的必要不充分條件．

【例題3】【題干】已知不等式eq\f(1,x－1)<1的解集為p，不等式x2＋(a－1)x－a>0的解集為q，若p是q的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－2，－1] B．[－2，－1]C．[－3,1] D．[－2，＋∞)

【答案】A【解析】不等式eq\f(1,x－1)<1等價于eq\f(1,x－1)－1<0，即eq\f(x－2,x－1)>0，解得x>2或x<1，所以p為(－∞，1)∪(2，＋∞)．不等式x2＋(a－1)x－a>0可以化為(x－1)(x＋a)>0，當(dāng)－a≤1時，解得x>1或x<－a，即q為(－∞，－a)∪(1，＋∞)，此時a＝－1；當(dāng)－a>1時，不等式(x－1)(x＋a)>0的解集是(－∞，1)∪(－a，＋∞)，此時－a<2，即－2<a<－1.綜合知－2<a≤－1.

【例題4】【題干】設(shè)n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數(shù)根的充要條件是n＝________.

【答案】3或4【解析】x＝eq\f(4±\r(16－4n),2)＝2±eq\r(4－n)，因為x是整數(shù)，即2±eq\r(4－n)為整數(shù)，所以eq\r(4－n)為整數(shù)，且n≤4，又因為n∈N*，取n＝1,2,3,4，驗證可知n＝3,4符合題意，所以n＝3,4時可以推出一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數(shù)根．

五、課堂運(yùn)用【基礎(chǔ)】1．(2013·濰坊模擬)命題“若△ABC有一內(nèi)角為eq\f(π,3)，則△ABC的三內(nèi)角成等差數(shù)列”的逆命題()A．與原命題同為假命題B．與原命題的否命題同為假命題C．與原命題的逆否命題同為假命題D．與原命題同為真命題

解析：選D原命題顯然為真，原命題的逆命題為“若△ABC的三內(nèi)角成等差數(shù)列，則△ABC有一內(nèi)角為eq\f(π,3)”，它是真命題．

2．(2013·日照模擬)已知直線l1：x＋ay＋1＝0，直線l2：ax＋y＋2＝0，則命題“若a＝1或a＝－1，則直線l1與l2平行”的否命題為()A．若a≠1且a≠－1，則直線l1與l2不平行B．若a≠1或a≠－1，則直線l1與l2不平行C．若a＝1或a＝－1，則直線l1與l2不平行D．若a≠1或a≠－1，則直線l1與l2平行

解析：選A命題“若A，則B”的否命題為“若綈A，則綈B”，顯然“a＝1或a＝－1”的否定為“a≠1且a≠－1”，“直線l1與l2平行”的否定為“直線l1與l2不平行”．

3．(2012·安徽高考)設(shè)平面α與平面β相交于直線m，直線a在平面α內(nèi)，直線b在平面β內(nèi)，且b⊥m，則“α⊥β”是“a⊥b”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件

解析：選A若α⊥β，又α∩β＝m，b?β，b⊥m，根據(jù)兩個平面垂直的性質(zhì)定理可得b⊥α，又因為a?α，所以a⊥b；反過來，當(dāng)a∥m時，因為b⊥m，一定有b⊥a，但不能保證b⊥α，即不能推出α⊥β.

【鞏固】4．(2013·南京模擬)有下列幾個命題：①“若a>b，則a2>b2”的否命題；②“若x＋y＝0，則x，y互為相反數(shù)”的逆命題；③“若x2<4，則－2<x<2”的逆否命題．其中真命題的序號是________．

解析：①原命題的否命題為“若a≤b則a2≤b2”錯誤．②原命題的逆命題為：“x，y互為相反數(shù)，則x＋y＝0”正確．③原命題的逆否命題為“若x≥2或x≤－2，則x2≥4”正確．答案：②③

5．已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍為________．

解析：α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，∵β：|x－1|<1，∴0<x<2，∴β可看作集合B＝{x|0<x<2}．又∵α是β的必要不充分條件，∴BA，∴a≤0.答案：(－∞，0]

【拔高】6．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\a\vs4\al(|)\f(1,2)<2x<8，x∈R))，B＝{x|－1<x<m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一個充分不必要的條件是x∈A，則實數(shù)m的取值范圍是________．

解析：A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\a\vs4\al(|)\f(1,2)<2x<8，x∈R))＝{x|－1<x<3}，∵x∈B成立的一個充分不必要條件是x∈A，∴AB，∴m＋1>3，即m>2.答案：(2，＋∞)

7．已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2－\f(3,2)x))＋1，x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))))，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，求實數(shù)m的取值范圍．

解：y＝x2－eq\f(3,2)x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))2＋eq\f(7,16)，∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，2))，∴eq\f(7,16)≤y≤2，∴A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y\a\vs4\al(|)\f(7,16)≤y≤2)).由x＋m2≥1，得x≥1－m2，∴B＝{x|x≥1－m2}．∵“x∈A”是“x∈B”的充分條件，∴A?B，∴1－m2≤eq\f(7,16)，解得m≥eq\f(3,4)或m≤－eq\f(3,4)，故實數(shù)m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，＋∞)).

課程小結(jié)1、對“四種命題”的理解由于原命題和它的逆否命題是等價的，所以當(dāng)一個命題的真假不易判斷時，往往可以轉(zhuǎn)化為判斷它的逆否命題的真假；有的命題不易直接證明時，就可以改證它的逆否命題成立，所以反證