安徽省名校2024-2025學年高二數(shù)學下學期開學考試試題B卷含解析

Page19安徽省名校2024-2025學年高二下學期開學考試試題(B卷)考生留意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清晰．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，為空間向量，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出的表達式及值，即可求出的值，進而得到的值.【詳解】由題意，，∴，∴向量夾角，故選：C.2.已知點，在直線：上，則直線的斜率為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】將兩點坐標代入直線方程解出即可求解.【詳解】因為點，在直線：上，所以將，帶入：，得，解得，所以直線，即的斜率為，故選：A3.已知兩圓和相交于，兩點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出兩圓的公共弦方程，再利用公共弦過圓心可求解弦長.【詳解】因為兩圓的方程為和，所以兩圓的公共弦方程為，又因為該弦過圓的圓心，故．故選：D.4.某高校有4名志愿者參與社區(qū)志愿工作，若每天早、中晚三班，每班1人，每人每天最多值一班，則值班當天不同的排班種類為（）A.12 B.18 C.24 D.144【答案】C【解析】【分析】通過題意得出一天三班，一班一人，每人最多一班，即可求出值班當天不同的排班種類.【詳解】由題意，4名志愿者參與社區(qū)志愿工作，每天早、中晚三班，每班1人，每人每天最多值一班，∴值班當天不同的排班種類為：故選：C.5.已知圓經(jīng)過橢圓C：的右焦點，上頂點與右頂點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)橢圓的方程求出右焦點、上頂點、右頂點的坐標，代入圓的方程得出方程組，解之即可.【詳解】橢圓C：，右焦點為，上頂點為，右頂點為，代入圓的方程，得，解得，所以該圓的方程為．故選：A6.在圓的方程的探究中，有四位同學分別給出了一個結(jié)論，甲：該圓的半徑為；乙：該圓經(jīng)過點；丙：該圓的圓心為；?。涸搱A經(jīng)過點．假如只有一位同學的結(jié)論是錯誤的，那么這位同學是（）A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】D【解析】【分析】通過假設(shè)的方法推斷出錯誤的同學.【詳解】設(shè).假設(shè)甲錯誤，乙丙丁正確，，，沖突，所以甲正確.假設(shè)乙錯誤，甲丙丁正確，由甲、丙正確可知圓的方程為，不滿意上式，沖突，所以乙正確.假設(shè)丙錯誤，甲乙丁正確.由乙丁得，與半徑為沖突，所以丙正確.假設(shè)丁錯誤，甲乙丙正確，則由甲丙可知圓的方程為，滿意上式，符合題意.綜上所述，結(jié)論錯誤的同學是丁.故選：D7.如圖，已知等腰直角三角形的斜邊的中點為，且，點為平面外一點，且，，則異面直線與所成的角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】取中點，連接，，則即為所求角，再利用余弦定理求解即可.【詳解】如圖取中點，連接，，因為是中點，全部，則即為所求角，因為，，所以，又因為是等腰直角三角形，所以，，在中由余弦定理可得，所以在中由余弦定理可得，所以，故選：D8.拋物線的準線交軸于點，焦點為，直線過點且與拋物線交于，兩點，若，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)出直線的方程，并將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理得出兩根之積和兩根之和，由幾何關(guān)系可知為的中點，即可求解出直線的斜率.【詳解】設(shè)直線方程為，將聯(lián)立得，設(shè)，，即過點分別向準線作垂線，垂足為,又因為，所以,即,所以為的中點，即，所以得，則，解得，所以直線的斜率為，故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知曲線（或），則（）A.曲線可表示橢圓B.曲線為雙曲線C.，則曲線的焦點坐標為D.，則曲線的漸近線方程為【答案】BD【解析】【分析】利用橢圓和雙曲線的標準方程和性質(zhì)求解即可.【詳解】若表示橢圓，則，此時無解，選項A錯誤；因為或，則，所以曲線為雙曲線，選項B正確；當時，曲線表示焦點在軸的雙曲線，所以焦點坐標為，漸近線方程為，選項C錯誤D正確；故選：BD10.關(guān)于直線：，以下說法正確的是（）A.直線過定點B.若，直線與垂直C.時，直線不過第一象限D(zhuǎn).時，直線過其次，三，四象限【答案】ABD【解析】【分析】利用分別參數(shù)法、直線的斜截式方程以及兩直線垂直的判定求解.【詳解】直線：可變形為：，由解得，所以直線過定點，故A正確；當，直線：，所以與直線的斜率之積為，即兩直線垂直，故B正確；對于C選項，直線：可變形為：，當時，，直線經(jīng)過第一，二，三，象限，故C錯誤；對于D選項，直線：，當時，，直線經(jīng)過其次，三，四象限，故D正確；故選：ABD．11.已知的綻開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等，則（）A.B.的綻開式中項的系數(shù)為56C.奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為128D.的綻開式中項的系數(shù)為56【答案】AC【解析】【分析】利用二項式定理求得的綻開通項公式，從而得到關(guān)于的方程，解出的值推斷AB，利用全部奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為推斷C，依據(jù)二項式定理推斷D.【詳解】因為的綻開式通項為，所以的綻開式的第項的二項式系數(shù)為，所以，解得，A正確；的系數(shù)為，B錯誤；奇數(shù)項的二項式系數(shù)和為，C正確；依據(jù)二項式定理，表示8個相乘，所以中有1個選擇，1個選擇，6個選擇，所以的綻開式中項的系數(shù)為，D錯誤；故選：AC12.已知正四棱柱的底面邊長為2，，點在棱上，點在棱上，則以下說法正確的是（）A.若為中點，存在點，B.若為中點，存在點，平面C.若，分別為，的中點，則與平面所成的角的余弦值為D.若，分別為，的中點，則到平面的距離為【答案】BCD【解析】【分析】利用空間向量進行推斷，垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積問題，線面平行結(jié)合判定定理來驗證，線面角通過法向量來求解，線面距轉(zhuǎn)化為點面距求解.【詳解】如圖，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，則.對于A，為中點，，設(shè)，,則，若，則，解得（舍），所以A不正確.對于B，為中點，由正四棱柱的性質(zhì)可得，平面，平面，所以平面，即當在處時，滿意題意，所以B正確.對于C，，分別為，的中點，，，易知平面的一個法向量為，設(shè)與平面所成的角為，所以，所以，所以C正確.對于D，由上面可知，，;設(shè)平面的一個法向量為，則，，令，可得；因為，平面，所以平面，所以到平面的距離即為點到平面的距離，點到平面的距離，所以D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.______．【答案】30【解析】【分析】利用排列數(shù)和組合數(shù)的定義干脆計算即可.【詳解】，，所以，故答案為：3014.已知均為空間單位向量，且它們的夾角為，則______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)條件可求出，然后依據(jù)進行數(shù)量積的運算即可求解.【詳解】因為，，所以，，故答案為：15.已知點，在曲線圖像上，且，兩點連線的斜率為2，請寫出滿意條件的一組點______，______．【答案】①.②.【解析】【分析】依據(jù)，在曲線上，設(shè)出點，的坐標，由，兩點連線的斜率得出，的坐標關(guān)系，即可得到滿意條件的一組點.【詳解】由題意，在中，點，在曲線上，設(shè)，，，兩點連線的斜率為2，∴，解得：，∴當時，，．故答案為：，.16.已知矩形在平面的同一側(cè)，頂點在平面上，，，且，與平面所成的角的大小分別為30°，45°，則矩形與平面所成角的正切值為______．【答案】【解析】【分析】如圖，過，分別做平面的垂線，垂足分別為，，連接，，通過幾何關(guān)系可得到，，，過作滿意，過做垂直于點，連接，則即為所求，通過等面積法計算出即可求解【詳解】如圖，過，分別做平面的垂線，垂足分別為，，連接，，由，所以，因為，與平面所成的角的大小分別為30°,45°,且，，所以，，得，，因為所以，又，所以四邊形是平行四邊形，所以，因為，所以，所以，過作滿意，則即為矩形與平面的交線，過做垂直于點，連接，則即為所求，在中，，由可得，所以，解得，所以矩形與平面所成角的正切值為..故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17設(shè)．（1）求值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二項綻開式的通項公式求解即可；（2）分別令和即可求解.【小問1詳解】的綻開式的通項公式為，所以.【小問2詳解】因，所以當時，，當，，所以.18.已知直線過點，且與軸分別交于點，為等腰直角三角形．（1）求的方程；（2）設(shè)為坐標原點，點在軸負半軸，求過，，三點的圓的一般方程．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）設(shè)直線方程為，分別解出兩點坐標和，利用解出的值即可；（2）設(shè)圓的一般方程為，將點代入解方法組即可.【小問1詳解】因為直線過點，所以設(shè)直線為，，令，得，所以令，得，所以，又因為為等腰直角三角形，所以，得，解或，當時直線過原點，不滿意題意，故直線的方程為或，即或.【小問2詳解】由題意可知直線的方程為，即，設(shè)圓的方程為，將，，代入得，解得，所以所求圓的方程為.19.在平面直角坐標系中，圓外的點在軸的右側(cè)運動，且到圓上的點的最小距離等于它到軸的距離．記的軌跡為．（1）求的方程；（2）若過圓心且斜率為的直線與交于，兩點，且，求的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）設(shè)，由題意，化簡即可得解；（2）設(shè)l的方程為，，，聯(lián)立方程組可得，依據(jù)列方程即可得解.【詳解】（1）由題意得，設(shè)，則到圓上的點的最小距離為，到軸的距離的距離為，則，則，解得.（2）由題意得恰為拋物線的焦點，設(shè)l的方程為，，，由得，，故，所以，由題設(shè)知，解得或．因此l的方程為或．【點睛】本題考查了動點軌跡方程的求解和拋物線焦點弦長度公式的應用，屬于中檔題.20.已知，是橢圓：的右頂點和上頂點，點在橢圓上，且直線經(jīng)過線段的中點．（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線經(jīng)過的右焦點與交于，兩點，且，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由直線過中點得，再將點代入橢圓方程得到方程組，解出即可；（2）首先解除斜率為0的狀況，從而設(shè)：，聯(lián)立橢圓得到韋達定理式，依據(jù)得到關(guān)于的等式，代入韋達定理式，解出即可.【小問1詳解】因為，，所以的中點為，直線經(jīng)過線段的中點，所以，又因為點在橢圓上，故，故可得，，所以【小問2詳解】若直線的斜率為0時，可得，，易得，故不滿意題意；若直線的斜率不為0時，設(shè)：，聯(lián)立，消去得，，，則，，因為，所以，即，得，即得，得，所以或所以直線：或．【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達定理求解.21.如圖，在三棱柱中，是邊長為2的等邊三角形，，，平面平面，為線段的中點．（1）求證：；（2）求與平面所成的角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）作于，連接，由平面平面，得到平面，進而得到，然后求得，依據(jù)且為中點，利用三線合一證明；（2）以為坐標原點，，分別為軸，軸建立空間直角坐標系，求得是平面的一個法向量，設(shè)與平面所成的角為，由求解.【小問1詳解】如圖所示：作于，連接，由平面平面，且平面平面，平面，得平面，平面，所以，因為，，，由勾股定理得，所以，所以，，在中，由余弦定理得：，所以，在直角三角形中，由勾股定理可得，又且為中點，所以【小問2詳解】如圖，以為坐標原點，，分別為軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，，，所以，，，設(shè)是平面的一個法向量，則，取，得設(shè)與平面所成的角為，所以.所以與平面所成的角的正弦值為.22.已知雙曲線：的左，右焦點分別為，，離心率為3，點在上．（1）求的標準方程；（2）已知直線過的右焦點且與的左，右兩支分別交于，兩點，點是的平分線上一動點，且，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)已知條件、雙曲線的