《自動控制原理及其應(yīng)用》 課件 第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型z2為什么要建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型？標(biāo)題這里輸入簡單的文字概述這里輸入簡單文字概述這里輸入簡單的文字概述這里入簡單的文字概述這里輸入述簡單的文字概述這里輸入簡單文字概述這里輸入簡單3目錄Contents2.1微分方程2.2傳遞函數(shù)2.3結(jié)構(gòu)圖與信號流圖2.4用MATLAB處理系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型412.1微分方程要對控制系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計,首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程叫動態(tài)數(shù)學(xué)模型。如果已知輸入量及變量的初始條件,對微分方程求解,就可以得到系統(tǒng)輸出量的表達(dá)式,并由此可對系統(tǒng)進(jìn)行性能分析。因此,建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是分析和設(shè)計控制系統(tǒng)的首要工作。52.1微分方程2.1.1微分方程的建立2.1.2線性定常微分方程的求解62.1.1微分方程的建立系統(tǒng)構(gòu)成

一個完整的控制系統(tǒng)通常是由若干元器件或環(huán)節(jié)以一定方式連接而成的，系統(tǒng)可以是由一個環(huán)節(jié)組成的小系統(tǒng)，也可以是由多個環(huán)節(jié)組成的大系統(tǒng)。對系統(tǒng)中每個（或某些）具體的元器件或環(huán)節(jié)按照其運動規(guī)律可以比較容易地列出其微分方程，然后將這些微分方程聯(lián)立起來，以求出整個系統(tǒng)的微分方程。下面以電學(xué)和力學(xué)兩種基本物理系統(tǒng)為例來說明如何求得描述系統(tǒng)運動的微分方程。72.1.1微分方程的建立微分方程的定義描述自動控制系統(tǒng)輸出量各階導(dǎo)數(shù)和系統(tǒng)輸入量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的數(shù)學(xué)方程。列寫系統(tǒng)微分方程的一般步驟為：（1）確定系統(tǒng)的輸入變量和輸出變量。（2）從輸入端開始，按照信號的傳遞順序，依據(jù)各變量所遵循的物理、化學(xué)等定律，列寫各變量之間的動態(tài)方程，一般為微分方程組。（3）消去中間變量，得到輸入變量、輸出變量的微分方程。（4）標(biāo)準(zhǔn)化。即將與輸入量有關(guān)的各項放在等號右邊，與輸出量有關(guān)的各項放在等號左邊，并且分別按降冪排列，最后將系數(shù)歸化為如時間常數(shù)等反映系統(tǒng)動態(tài)特性的參數(shù)。82.1.1微分方程的建立1電學(xué)系統(tǒng)在電學(xué)系統(tǒng)中，所需遵循的兩個基本依據(jù)是元件約束和網(wǎng)絡(luò)約束。（1）元件約束：即表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元件電阻、電感、電容各自的電壓和電流關(guān)系，以及四端元件互感初、次級電壓和電流的關(guān)系等。二端元件電阻、電感、電容各自的電壓和電流關(guān)系如圖所示：92.1.1微分方程的建立1電學(xué)系統(tǒng)（2）網(wǎng)絡(luò)約束：由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定的電壓、電流約束關(guān)系。以基爾霍夫電壓定律（KVL）與基爾霍夫電流定律（KCL）表示。102.1.1微分方程的建立1電學(xué)系統(tǒng)112.1.1微分方程的建立1電學(xué)系統(tǒng)122.1.1微分方程的建立2力學(xué)系統(tǒng)132.1.1微分方程的建立2力學(xué)系統(tǒng)142.1.1微分方程的建立上面兩個微分方程相似嗎？相似不相似AB提交投票最多可選1項162.1.1微分方程的建立同樣的數(shù)學(xué)模型描述了不同類型系統(tǒng)共同的內(nèi)在特性。172.1.2線性定常微分方程的求解

當(dāng)系統(tǒng)微分方程列寫出來后，只要給定輸入量和初始條件，便可對微分方程求解，并由此了解系統(tǒng)輸出量隨時間變化的特性。線性定常微分方程的求解方法有經(jīng)典法和拉普拉斯變換法(以下簡稱拉氏變換)兩種，也可借助電子計算機(jī)求解。

采用拉氏變換法求解微分方程是帶初值進(jìn)行運算的，許多情況下應(yīng)用更為方便。

本小節(jié)只研究用拉氏變換法求解微分方程的方法，同時分析微分方程解的組成，為今后引出傳遞函數(shù)概念奠定基礎(chǔ)。182.1.2線性定常微分方程的求解1.拉氏變換定義192.1.2線性定常微分方程的求解常見函數(shù)的拉氏變換202.1.2線性定常微分方程的求解拉氏變換解：例求下列函數(shù)的拉氏變換式。21補(bǔ)充知識：拉氏反變換拉氏反變換定義拉氏反變換：由F(s)求f(t)的運算，稱為拉氏反變換。22補(bǔ)充知識：拉氏反變換拉氏反變換－部分分式展開法23補(bǔ)充知識：拉氏反變換拉氏反變換－部分分式展開法解：則所以25補(bǔ)充知識：拉氏反變換求其拉氏反變換.結(jié)果檢查:【隨堂練習(xí)】26補(bǔ)充知識：拉氏反變換結(jié)果檢查:【隨堂練習(xí)】27補(bǔ)充知識：拉氏反變換其中

28補(bǔ)充知識：拉氏反變換解：29補(bǔ)充知識：拉氏反變換【隨堂練習(xí)】（1）（2）求下列象函數(shù)的拉氏反變換結(jié)果檢查:（1）（2）30補(bǔ)充知識：拉氏反變換實系數(shù)方程虛根總是成對出現(xiàn)。當(dāng)特性方程有虛根時，常采用配方的方法，使F(s)展開式中出現(xiàn)如下形式的部分分式31補(bǔ)充知識：拉氏反變換求其拉氏反變換。解：32補(bǔ)充知識：拉氏反變換求其拉氏反變換。解：

令同原式相比較，由對應(yīng)項系數(shù)相等，得33補(bǔ)充知識：拉氏反變換【隨堂練習(xí)】求其拉氏反變換結(jié)果檢查:342.1.2線性定常微分方程的求解拉氏變換的線性定理352.1.2線性定常微分方程的求解拉氏變換的微分定理362.1.2線性定常微分方程的求解拉氏變換的終值定理在第3.6.2.1節(jié)給定輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差時，還需要使用到終值定理。更多拉氏變換的基本定理見教材表2-1-2。372.1.2線性定常微分方程的求解拉氏變換法求解微分方程382.1.2線性定常微分方程的求解拉氏變換法求解微分方程392.1.2線性定常微分方程的求解拉氏變換法求解微分方程402.1.2線性定常微分方程的求解拉氏變換法求解微分方程4122.2傳遞函數(shù)

根據(jù)所得的微分方程求微分方程的時域解，可以獲得系統(tǒng)的運動規(guī)律。但是，在使用上有諸多不便，如系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)不明確、微分方程求解麻煩等，因而需要尋求在應(yīng)用上更為方便的數(shù)學(xué)描述方法。

將系統(tǒng)在時域的微分方程描述簡化為變換域的傳遞函數(shù)描述。這樣，許多在時域中的問題分析就可以方便地在復(fù)頻域中進(jìn)行了。422.2傳遞函數(shù)2.2.1傳遞函數(shù)的定義2.2.2傳遞函數(shù)的表達(dá)形式2.2.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)2.2.4控制系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)2.2.5傳遞函數(shù)的復(fù)數(shù)阻抗求解法2.2.6傳遞函數(shù)的性質(zhì)432.2.1傳遞函數(shù)的定義442.2.1傳遞函數(shù)的定義452.2.1傳遞函數(shù)的定義462.2.2傳遞函數(shù)的表達(dá)形式472.2.2傳遞函數(shù)的表達(dá)形式482.2.2傳遞函數(shù)的表達(dá)形式492.2.2傳遞函數(shù)的表達(dá)形式502.2.2傳遞函數(shù)的表達(dá)形式512.2.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

自動控制理論采用的方法是研究系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，這樣，不僅避開了各種實際系統(tǒng)的物理背景，容易揭示控制系統(tǒng)的共性，而且使研究的工作量大為減少。

但是即使只限于各種線性連續(xù)系統(tǒng)，要逐一加以研究也是不可能的。因為許多不同性質(zhì)的物理系統(tǒng)常常有相同的數(shù)學(xué)模型。但是，要逐一研究數(shù)學(xué)模型的各種可能形式也是不可能的。

現(xiàn)在的問題是能否找出組成系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的基本環(huán)節(jié)，任何線性連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型總能由這些基本環(huán)節(jié)中的一部分組合而成。如果能找到，就可以研究這些為數(shù)不多的基本環(huán)節(jié)以及一些重要的組合系統(tǒng)。當(dāng)弄清了這些基本環(huán)節(jié)的特性后，對任何系統(tǒng)也就容易分析其特性了。

下面先提出線性連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的一般形式，然后再分析其結(jié)構(gòu)，得到線性連續(xù)系統(tǒng)的基本環(huán)節(jié)。522.2.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)532.2.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)542.2.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)552.2.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)562.2.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)572.2.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)582.2.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)592.2.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)602.2.3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)612.2.4控制系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)622.2.4控制系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)632.2.4控制系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)642.2.4控制系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)652.2.4控制系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)662.2.4控制系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)672.2.4控制系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)682.2.4控制系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)692.2.4控制系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)702.2.4控制系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)712.2.4控制系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)722.2.4控制系統(tǒng)的典型傳遞函數(shù)732.2.5傳遞函數(shù)的復(fù)數(shù)阻抗求解法

拉氏變換是求解線性微分方程的簡捷方法。當(dāng)采用這一方法時，微分方程的求解問題就轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程和查表求解的問題，從而使計算大為簡便，得到了微分方程便可容易地寫出其傳遞函數(shù)。對于由電阻、電容、電感組成的無源網(wǎng)絡(luò)等，在求取其傳遞函數(shù)時可以不通過微分方程、拉氏變換的方法，而直接用復(fù)數(shù)阻抗法來求。

線性元件的復(fù)數(shù)阻抗是依據(jù)線性元件的V－I關(guān)系而成立的。時域上的關(guān)系所遵循的是歐姆定律，在變換域中也有相同的形式?？梢园褟?fù)數(shù)阻抗所遵循的V－I關(guān)系稱為廣義歐姆定律，而且符合傳遞函數(shù)的定義。742.2.5傳遞函數(shù)的復(fù)數(shù)阻抗求解法752.2.5傳遞函數(shù)的復(fù)數(shù)阻抗求解法762.2.5傳遞函數(shù)的復(fù)數(shù)阻抗求解法首先繪制復(fù)數(shù)阻抗時的電路圖772.2.5傳遞函數(shù)的復(fù)數(shù)阻抗求解法782.2.5傳遞函數(shù)的復(fù)數(shù)阻抗求解法792.2.5傳遞函數(shù)的復(fù)數(shù)阻抗求解法802.2.5傳遞函數(shù)的復(fù)數(shù)阻抗求解法812.2.5傳遞函數(shù)的復(fù)數(shù)阻抗求解法822.2.6傳遞函數(shù)的性質(zhì)832.2.6傳遞函數(shù)的性質(zhì)同樣的數(shù)學(xué)模型描述了不同類型系統(tǒng)共同的內(nèi)在特性。842.3結(jié)構(gòu)圖與信號流圖

控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖和信號流圖都是描述系統(tǒng)各元部件之間信號傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)圖形,它們表示了系統(tǒng)中各變量之間的因果關(guān)系以及對各變量所進(jìn)行的運算,是控制理論中描述復(fù)雜系統(tǒng)的一種簡便方法。

與結(jié)構(gòu)圖相比,信號流圖符號簡單,更便于繪制和應(yīng)用,特別在系統(tǒng)的計算機(jī)模擬仿真研究以及狀態(tài)空間法分析設(shè)計中,信號流圖可以直接給出計算機(jī)模擬仿真程序和系統(tǒng)的狀態(tài)方程描述,更顯示出其優(yōu)越性。但是,信號流圖只適用于線性系統(tǒng),而結(jié)構(gòu)圖也可用于非線性系統(tǒng)。852.3結(jié)構(gòu)圖與信號流圖2.3.1結(jié)構(gòu)圖的組成與一般畫法2.3.2結(jié)構(gòu)圖的等效變換與簡化2.3.3信號流圖的組成與一般畫法2.3.4梅遜增益公式862.3.1結(jié)構(gòu)圖的組成與一般畫法872.3.1結(jié)構(gòu)圖的組成與一般畫法882.3.1結(jié)構(gòu)圖的組成與一般畫法892.3.1結(jié)構(gòu)圖的組成與一般畫法902.3.1結(jié)構(gòu)圖的組成與一般畫法912.3.1結(jié)構(gòu)圖的組成與一般畫法922.3.1結(jié)構(gòu)圖的組成與一般畫法932.3.1結(jié)構(gòu)圖的組成與一般畫法942.3.1結(jié)構(gòu)圖的組成與一般畫法952.3.1結(jié)構(gòu)圖的組成與一般畫法962.3.1結(jié)構(gòu)圖的組成與一般畫法972.3.2結(jié)構(gòu)圖的等效變換與簡化982.3.2結(jié)構(gòu)圖的等效變換與簡化992.3.2結(jié)構(gòu)圖的等效變換與簡化1002.3.2結(jié)構(gòu)圖的等效變換與簡化串聯(lián)相乘1012.3.2結(jié)構(gòu)圖的等效變換與簡化1022.3.2結(jié)構(gòu)圖的等效變換與簡化并聯(lián)相加/減1032.3.2結(jié)構(gòu)圖的等效變換與簡化1042.3.2結(jié)構(gòu)圖的等效變換與簡化1052.3.2結(jié)構(gòu)圖的等效變換與簡化1062.3.2結(jié)構(gòu)圖的等效變換與簡化1072.3.2結(jié)構(gòu)圖的等效變換與簡化1082.3.2結(jié)構(gòu)圖的等效變換與簡化1092.3.2結(jié)構(gòu)圖的等效變換與簡化1102.3.2結(jié)構(gòu)圖的等效變換與簡化1112.3.2結(jié)構(gòu)圖的等效變換與簡化1122.3.2結(jié)構(gòu)圖的等效變換與簡化1132.3.2結(jié)構(gòu)圖的等效變換與簡化1142.3.2結(jié)構(gòu)圖的等效變換與簡化1152.3.2結(jié)構(gòu)圖的等效變換與簡化1162.3.3信號流圖的組成與一般畫法1172.3.3信號流圖的組成與一般畫法1182.3.3信號流圖的組成與一般畫法1192.3.3信號流圖的組成與一般畫法1202.3.4梅遜增益公式1212.3.4梅遜增益公式1222.3.4梅遜增益公式1232.3.4梅遜增益公式1242.3.4梅遜增益公式由圖可知，第1條前向通道的節(jié)點刪掉后，沒有能構(gòu)成回路的節(jié)點，即所有的回路都與第1條前向通道接觸。去除掉特征式里與第1條前向通道接觸的回路，得去掉1252.3.4梅遜增益公式由圖可知，第2條前向通道的節(jié)點刪掉后，只剩1個回路。去除掉特征式里與第2條前向通道接觸的回路，得去掉1262.3.4梅遜增益公式建議用梅遜增益公式的時候先把動態(tài)結(jié)構(gòu)圖化為信號流圖，這樣不容易出錯。下面簡單介紹一下將動態(tài)結(jié)構(gòu)圖化為信號流圖的方法：

動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的引出點和比較點當(dāng)作節(jié)點。

注意：不要隨意合并或交換相鄰的節(jié)點位置，因為合并和交換規(guī)則較復(fù)雜，建議動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的引出點和比較點簡單替代為節(jié)點后連線，這樣不容易出錯。2.4用MATLAB處理系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型2.4.1建立模型對于簡單系統(tǒng)，可以直接采用基本模型“傳遞函數(shù)”進(jìn)行建模，但實際系統(tǒng)較為復(fù)雜，通常由幾個簡單系統(tǒng)連接而成，常見連接方式為并聯(lián)、串聯(lián)、閉環(huán)和反饋。下面介紹采用這些連接方式的系統(tǒng)傳遞函數(shù)的MATLAB求法。1．并聯(lián)將兩個系統(tǒng)

和

按并聯(lián)方式連接，在MATLAB中可用parallel函數(shù)實現(xiàn)，其調(diào)用格式為[num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2)式中，

，

，

。例

已知兩個子系統(tǒng)為

，

，采用并聯(lián)方式連接，請用MATLAB求解。解

輸入以下MATLAB程序num1=3;den1=[1,4];num2=[2,4];den2=[1,2,3];[num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2);printsys(num,den)運行結(jié)果為num/den=5s^2+18s+25-----------------------s^3+6s^2+11s+12因此，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

2．串聯(lián)將兩個系統(tǒng)

和

按串聯(lián)方式連接，在MATLAB中可用series函數(shù)實現(xiàn)，其調(diào)用格式為[num,den]=series(num1,den1,num2,den2)式中，

，

，

。3．閉環(huán)（單位反饋）將系統(tǒng)通過正負(fù)反饋連接成單位反饋系統(tǒng)，即

，

（式中“+”號對應(yīng)負(fù)反饋，“

”號對應(yīng)正反饋），在MATLAB中可用cloop函數(shù)實現(xiàn)，其調(diào)用格式為[num,den]=cloop(numg,deng,sign)式中，

；

；sign表示反饋形式，為可選參數(shù)，

sign=1為正反饋，

為負(fù)反饋，sign缺省時系統(tǒng)自動默認(rèn)為負(fù)反饋。4．反饋將兩個系統(tǒng)

和

按反饋方式連接成閉環(huán)系統(tǒng)，即

（式中“+”號對應(yīng)負(fù)反饋，“

”號對應(yīng)正反饋），在MATLAB中可用feedback函數(shù)實現(xiàn)，其調(diào)用格式為[num,den]=feedback(numg,deng,numh,denh,sign)式中，

，

，

，sign的意義與cloop相同。例

已知兩個子系統(tǒng)為