統(tǒng)考版2025屆高考數(shù)學全程一輪復習第五章平面向量第二節(jié)平面向量基本定理及坐標表示學生用書

其次節(jié)平面對量基本定理及坐標表示·最新考綱·1．了解平面對量的基本定理及其意義．2．駕馭平面對量的正交分解及其坐標表示．3．會用坐標表示平面對量的加法、減法與數(shù)乘運算．4．理解用坐標表示的平面對量共線的條件．·考向預料·考情分析：平面對量基本定理及其應用，平面對量的坐標運算，向量共線的坐標表示及其應用仍是高考考查的熱點，題型仍將是選擇題與填空題．學科素養(yǎng)：通過平面對量基本定理的應用考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng)．積累必備學問——基礎落實贏得良好開端一、必記4個學問點1．平面對量的基本定理假如e1，e2是同一平面內的兩個____________向量，那么對于這一平面內的隨意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝____________．2．平面對量的坐標表示在直角坐標系內，分別取與________的兩個單位向量i，j作為基底，對任一個向量a，有唯一一對實數(shù)x，y使得：a＝xi＋yj，________叫做向量a的直角坐標，記作a＝(x，y)，明顯i＝________，j＝________，0＝________．3．平面對量的坐標運算(1)設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝________，a－b＝________，λa＝________．(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB＝________，|AB|＝________．4．平面對量共線的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?a＝λb(λ∈R)?________．二、必明2個常用結論1．向量共線的充要條件的兩種形式(1)a∥b?b＝λa(a≠0，λ∈R)；(2)a∥b?x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．2．已知△ABC的頂點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標為(x1三、必練4類基礎題(一)推斷正誤1．推斷下列說法是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．(1)在△ABC中，AB，(2)在△ABC中，設AB＝a，BC＝b，則向量a與b的夾角為∠ABC.()(3)平面對量不論經(jīng)過怎樣的平移變換之后，其坐標不變．()(4)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，且μ1＝μ2.()(5)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件可以表示成x1x2(二)教材改編2．[必修4·P101習題T5改編]已知向量a＝(4，2)，b＝(x，3)，且a∥b，則x的值是()A．－6B．6C．9D．123．[必修4·P101練習T6改編]設P是線段P1P2上的一點，若P1(1，3)，P2(4，0)且P是線段P1P2的一個三等分點(靠近點P1)，則點P的坐標為()A．(2，2)B．(3，－1)C．(2，2)或(3，－1)D．(2，2)或(3，1)(三)易錯易混4．(忽視共線的兩種狀況)已知點A(－1，3)，B(2，－1)，則與向量AB共線的單位向量是________．5．(向量共線的坐標公式駕馭不牢)已知點A(1，1)，B(4，2)和向量a＝(2，λ)，若a∥AB，則實數(shù)λ＝________；若a＝μAB，則μ＝________．(四)走進高考6．[全國卷Ⅰ]在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則EB＝()A．34ABC．34AB提升關鍵實力——考點突破駕馭類題通法考點一平面對量基本定理及其應用[基礎性][例1](1)[2024·天水市高三月考]如圖所示，在△ABC中，CB＝3CD，AD＝2AE，若AB＝a，AC＝b，則A．16a－13bB．16aC．13a－13bD．16a(2)[2024·甘肅蘭州高三月考]如圖，在△ABC中，AD＝13DC，P是線段BD上一點，若AP＝mAB+1A．13B．23聽課筆記：反思感悟平面對量基本定理的實質及解題思路(1)應用平面對量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．(2)用平面對量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.【對點訓練】1．[2024·福州市質量檢測]在△ABC中，E為AB邊的中點，D為AC邊上的點，BD，CE交于點F.若AF＝37AB+1A．2B．3C．4D．52．已知在△ABC中，點O滿意OA+OB+OC＝0，點P是OC上異于端點的隨意一點，且OP＝mOA＋nOB，則考點二平面對量的坐標運算[基礎性]1．已知AB＝(1，－1)，C(0，1)，若CD＝2AB，則點D的坐標為()A．(－2，3)B．(2，－3)C．(－2，1)D．(2，－1)2．已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，則c的坐標為()A．1，83C．133，3．已知平行四邊形ABCD中，AD＝(3，7)，AB＝(－2，3)，對角線AC與BD交于點O，則CO的坐標為()A．-12C．12，-5反思感悟求解向量坐標運算問題的一般思路(1)向量問題坐標化：向量的坐標運算，使得向量的線性運算都可用坐標來進行，實現(xiàn)了向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結合起來，通過建立平面直角坐標系，使幾何問題轉化為數(shù)量運算．(2)巧借方程思想求坐標：向量的坐標運算主要是利用加法、減法、數(shù)乘運算法則進行，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求出向量的坐標，求解過程中要留意方程思想的運用．(3)妙用待定系數(shù)法求系數(shù)：利用坐標運算求向量的基底表示，一般先求出基底向量和被表示向量的坐標，再用待定系數(shù)法求出系數(shù).考點三平面對量共線的坐標表示[綜合性]角度1利用向量共線求向量或點的坐標[例2]已知梯形ABCD中，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個頂點A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，則D點坐標為________．聽課筆記：反思感悟利用兩向量共線的條件求向量坐標，一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為λa(λ∈R)，然后結合其他條件列出關于λ的方程，求出λ的值后代入λa，即可得到所求向量.角度2利用向量共線求參數(shù)[例3](1)[2024·海南昌茂高三月考]已知向量a＝(x＋2，3)，b＝(x，1)，且a∥b，則x的值是()A．－1B．0C．2D．1(2)已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A、B、C三點共線，則k＝________．聽課筆記：反思感悟平面對量共線的坐標表示問題的解題策略(1)利用兩向量共線求參數(shù)．假如已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較便利．(2)利用兩向量共線的條件求向量坐標．一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為λa(λ∈R)，然后結合其他條件列出關于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．(3)三點共線問題．A，B，C三點共線等價于AB與AC共線．【對點訓練】1．[2024·云南昆明市一中月考]在△ABC中，已知AB＝(2，8)，AC＝(－3，2)，若BM＝MC，則AM的坐標為________．2．[2024·廣東廣州高三月考]已知向量m＝(2，－3)，n＝1，12-b，若m∥n微專題22巧借坐標系——提升運算實力思想方法[例]如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，動圓Q的半徑為1，圓心Q在線段BC(含端點)上運動，P是圓Q上及內部的動點，設向量AP＝mAB＋nAD(m，n為實數(shù))，則m＋n的取值范圍是()A．1-24C．34，94解析：如圖建立平面直角坐標系，則AB＝(4，0)，AD＝(0，4)，AP＝mAB＋nAD＝(4m，4n)，設Q(4，t)，t∈[0，4]，則P在圓(x－4)2＋(y－t)2＝1上，設P(4＋cosθ，t＋sinθ)，則4+cosθ=4m，t+sinθ=4n，4m＋4n＝4＋t＋2sinθ+π4，當t＝0，θ＝5π4時，m＋n取得最小值1－24，當t＝4，θ＝π4時，m答案：A名師點評巧建系妙解題，常見的建系方法(1)利用圖形中現(xiàn)成的垂直關系若圖形中有明顯相互垂直且相交于一點的兩條直線(如矩形、直角梯形等)，可以利用這兩條直線建立坐標系；(2)利用圖形中的對稱關系圖形中雖沒有明顯相互垂直交于一點的兩條直線，但有肯定對稱關系(如等腰三角形，等腰梯形等)，可利用自身對稱性建系．建立平面直角坐標系的基本原則是盡可能地使頂點在坐標軸上，或在同一象限．[變式訓練]給定兩個長度為1的平面對量OA和OB，它們的夾角為2π3.如圖所示，點C在以O為圓心的AB上運動．若OC＝xOA＋yOB，其中x，y∈R，問x＋y其次節(jié)平面對量基本定理及坐標表示積累必備學問一、1．不共線λ1e1＋λ2e22．x軸、y軸正方向相同(x，y)(1，0)(0，1)(0，0)3．(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)x4．x1y2－x2y1＝0三、1．答案：(1)√(2)×(3)√(4)√(5)×2．解析：因為a∥b，所以4×3－2x＝0，所以x＝6.答案：B3．解析：由已知得，P1P＝13P1P2，P1P2＝(3，－3)．設P(x，答案：A4．解析：AB＝(3，－4)，|AB|＝32+-42＝5，所以與AB共線的單位向量是答案：35，-5．解析：由題意得AB＝(3，1)，因為a∥AB，所以3λ－2＝0， 解得λ＝23由a＝μAB，得(2，λ)＝(3μ，μ)，所以3μ=2，μ=λ，故μ＝2答案：26．解析：作出示意圖如圖所示．EB＝ED+DB＝12×1＝34故選A.答案：A提升關鍵實力考點一例1解析：(1)因為CB＝3CD，AD所以CE＝12(CA+CD)＝－12b＋12×13CB＝－(2)設BP＝λBD，因為AD＝13DC，所以AD＝則AP＝AB+BP＝AB＋λBD＝AB＋λ(BA+AD)＝(1－λ)又因為AP＝mAB+16AC，所以1-λ=m14λ=16答案：(1)B(2)A對點訓練1．解析：方法一如圖，設AC＝λAD，所以AF＝37AB+17AC＝37AB+λ7AD，因為方法二設BF＝λBD，AD＝μAC，則BF＝λ(AD-AB)＝－λAB＋λμAC，所以AF＝AB+BF＝(1－λ又AF＝37AB+17AC，所以1-λ=3答案：C2．解析：依題意，設OP＝λOC(0＜λ＜1)，由OA+OB+OC＝0，知OC所以OP＝－λOA－λOB.由平面對量基本定理可知，m＋n＝－2λ，所以m＋n∈(－2，0)．答案：(－2，0)考點二1．解析：設D(x，y)，則CD＝(x，y－1)，2AB＝(2，－2)，依據(jù)CD＝2AB，得(x，y－1)＝(2，－2)，即x=2，y-1=-2，解得x=2，答案：D2．解析：設c＝(x，y)．因為a－2b＋3c＝0，所以(5，－2)－2(－4，－3)＋3(x，y)＝(0，0)，即(5＋8＋3x，－2＋6＋3y)＝(0，0)所以13+3x=0，4+3y=0，解得x=-133，y=-答案：D3．解析：因為AC＝AB+AD＝(－2，3)＋(3，7)＝(1，10)，所以OC＝12AC＝12答案：D考點三例2解析：∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，∴DC＝2AB，設點D的坐標為(x，y)，則DC＝(4－x，2－y)，AB＝(1，－1)，∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)，即(4－x，2－y)＝(2，－2)，∴4-x=2，2-y=-2，解得故點D的坐標為(2，4)．答案：(2，4)例3解析：(1)由題意x＋2－3x＝0，x＝1.(2)AB＝OB-OA＝(4－k，－7)，AC＝OC-因為A，B，C三點共線，所以AB，AC共線，所以－2×(4－k)＝－7×(－2k)，