《分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理》教學(xué)設(shè)計(jì)

《6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理》教學(xué)設(shè)計(jì)一、教材分析分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理是人類在大量的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上歸納出的基本規(guī)律，是解決計(jì)數(shù)原理問題的最基本、最重要的方法.它們不僅是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)計(jì)算公式的依據(jù)，而且其基本思想也貫穿在解決本章應(yīng)用問題的始終，在本章是奠基性的知識(shí).從思想方法的角度看，運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理解決問題將是將一個(gè)復(fù)雜問題解決過程分解為若干“類別”，然后分類解決，各個(gè)擊破；運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題將是將一個(gè)復(fù)雜問題解決過程分解為若干“步驟”，先對(duì)每個(gè)步驟進(jìn)行細(xì)致分析，再整合為一個(gè)完整過程。由于排列、組合及二項(xiàng)式定理的研究都是作為兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的典型應(yīng)用而設(shè)置的，因此理解和掌握兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，是學(xué)好本章的關(guān)鍵.教學(xué)目標(biāo)設(shè)置1.通過實(shí)例歸納總結(jié)出分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，經(jīng)歷從特殊到一般的思維過程，進(jìn)一步提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)的興趣；2.掌握兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，能說明它們的不同之處，能根據(jù)具體問題特征、選擇恰當(dāng)?shù)脑斫鉀Q實(shí)際問題；3.通過對(duì)實(shí)際問題的分析，把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，即把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)，提高學(xué)生分析和解決實(shí)際問題的能力.學(xué)生學(xué)情分析1.認(rèn)知基礎(chǔ)：計(jì)數(shù)問題學(xué)生在不同學(xué)段都有接觸，特別是在高中學(xué)習(xí)“古典概型”時(shí)，學(xué)生又學(xué)會(huì)了用樹狀圖、列舉法解決最簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問題；同時(shí)在學(xué)習(xí)和生活中，學(xué)生已經(jīng)不自覺地會(huì)使用“分類”和“分步”的方法來思考和解決問題.2.能力基礎(chǔ)：高二學(xué)生有較強(qiáng)的觀察能力和一定的數(shù)學(xué)抽象概括能力.3.可能面臨的問題：一是應(yīng)用原理意識(shí)較弱；二是不能根據(jù)問題特征，正確選擇原理解決問題.四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：歸納得出分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，能應(yīng)用他們解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題；難點(diǎn)：正確理解“完成一件事情”的含義；根據(jù)實(shí)際問題的特征，正確的區(qū)分“分類”或“分步”.五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）問題引入計(jì)數(shù)問題是我們從小就經(jīng)常遇到的，通過列舉一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)是計(jì)數(shù)的基本方法.但當(dāng)問題中的數(shù)量很大時(shí)，列舉的方法效率不高.比如汽車牌照是由26個(gè)英文字母和10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字按照一定的順序編排而成，那么有多少個(gè)牌照呢？能否設(shè)計(jì)巧妙的數(shù)法以提高效率呢？下面先分析一個(gè)簡(jiǎn)單的問題，并嘗試從中得出巧妙的計(jì)數(shù)方法.【設(shè)計(jì)意圖】：通過生活中汽車號(hào)排問題引入，讓學(xué)生體會(huì)計(jì)數(shù)問題在生活中的廣泛應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生對(duì)于本堂課內(nèi)容的濃厚興趣.探究新知問題1：用一個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的一個(gè)座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼？探究：你能說說這個(gè)問題的特征嗎？計(jì)數(shù)的基本環(huán)節(jié)是什么？1.分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.分類加法計(jì)數(shù)原理推廣：如果完成一件事有3類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法,在第3類辦法中有m3種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+m3種不同的方法.如果完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法,……,在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法.分類加法計(jì)數(shù)原理使用前提：各類方案中的方法互不相同且都能獨(dú)立完成這件事情.【設(shè)計(jì)意圖】：通過具體問題，引發(fā)學(xué)生思考，通過分析、比較、歸納形成對(duì)分類加法計(jì)數(shù)原理的認(rèn)識(shí).在填寫高考志愿表時(shí)，一名高中畢業(yè)生了解到A、B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，具體情況如下：如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè)，那么他共有多少種選擇呢？分析：要完成的事情是“選一個(gè)專業(yè)”.方案1：從A大學(xué)選，有5種；方案2：從B大學(xué)選，有4種.解：根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有5+4=9種.思考：在上題中，如果數(shù)學(xué)也是A大學(xué)的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)，則A大學(xué)共有6個(gè)專業(yè)可以選擇，B大學(xué)共有4個(gè)專業(yè)可以選擇，那么用分類加法原理，得到這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇共有6+4=10種.這種算法對(duì)嗎？應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理時(shí)應(yīng)注意：1.兩類不同方案中的具體方法，互不相同，即分類不重；2.完成一件事情的任何一種方法，都屬于某一類,即分類不漏.分類加法計(jì)數(shù)原理要求做到“不重不漏”.【設(shè)計(jì)意圖】：通過典型例題分析，讓學(xué)生應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理解決問題，并且得出應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理時(shí)應(yīng)注意“不重不漏”.問題2：用前6個(gè)大寫英文字母和1—9這9個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字，以A1，A2，…，A9，B1，B2，…的方式給教師里的一個(gè)座位編號(hào)，總共能編出多少種不同的號(hào)碼？探究：你能說說這個(gè)問題的特征嗎？計(jì)數(shù)的基本環(huán)節(jié)是什么？2.分步乘法計(jì)數(shù)原理:完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.分步乘法計(jì)數(shù)原理推廣：如果完成一件事需要3個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，做第n步有m3種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2×m3種不同的方法.如果完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……,做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法.分步乘法計(jì)數(shù)原理使用前提：任何一步都不能獨(dú)立完成這件事情.【設(shè)計(jì)意圖】：通過具體問題，引發(fā)學(xué)生思考，通過分析、比較、歸納形成對(duì)分步乘法計(jì)數(shù)原理的認(rèn)識(shí).例2某班有男生30名、女生24名，現(xiàn)要從中選出男生和女生各1名代表班級(jí)參加比賽，共有多少種不同的選法？分析：要完成的事情是“選男生和女生各1名”，可以分兩個(gè)步驟：第1步，選男生；第2步，選女生.解：根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)計(jì)數(shù)原理，共有30×24=720種選法.【設(shè)計(jì)意圖】：通過典型例題分析，讓學(xué)生應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題.3.原理剖析（三）原理應(yīng)用例3書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.（1）從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？（2）從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，有多少種不同的取法？分析：1、完成什么事情？2、分類還是分步？【設(shè)計(jì)意圖】：通過兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的比較應(yīng)用，讓學(xué)生分析應(yīng)用計(jì)數(shù)原理解決問題的一般思維過程.小結(jié)：解答計(jì)數(shù)問題的一般過程1.明確完成一件什么事情；2.根據(jù)如何完成這件事，確定是方法的分類還是過程的分步；3.分類用加法原理（不重不漏），分步用乘法原理（步驟完整）.例4計(jì)算機(jī)編程人員在編寫好程序以后需要對(duì)程序進(jìn)行測(cè)試．程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路徑（程序從開始到結(jié)束的路線），以便知道需要提供多少個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)．一般地，一個(gè)程序模塊由許多子模塊組成．如圖6.1一4，它是一個(gè)具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊．它有多少條執(zhí)行路徑？分析：整個(gè)模塊的任意一條路徑都分兩步完成：第1步是從開始執(zhí)行到A點(diǎn)；第2步是從A點(diǎn)執(zhí)行到結(jié)束.而第1步可由子模塊1、子模塊2、子模塊3中任何1個(gè)來完成；第2步可由子模塊4、子模塊5中任何一個(gè)來完成.因此，分析一條指令在整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理.解：整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑條數(shù)共為91×81=7371.另外，為了減少測(cè)試時(shí)間，程序員需要設(shè)法減少測(cè)試次數(shù).你能幫助程序員設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)試方法，以減少測(cè)試次數(shù)嗎？在實(shí)際測(cè)試中，程序員總是把每一個(gè)子模塊看成是一個(gè)黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測(cè)試整個(gè)模塊.這樣，他可以先分別單獨(dú)測(cè)試5個(gè)模塊，以考察每個(gè)子模塊的工作是否正常.總共需要的測(cè)試次數(shù)為18+45+28+38+43=172.再測(cè)試各個(gè)模塊之間的信息交流是否正常，只需要測(cè)試程序第1步中的各個(gè)子模塊和第2步中的各個(gè)子模塊之間的信息交流是否正常，需要的測(cè)試次數(shù)為3×2=6.這樣，測(cè)試整個(gè)模塊的次數(shù)就變?yōu)?72+6=178.思考：你看出了程序員是如何實(shí)現(xiàn)減少測(cè)試次數(shù)的嗎？【設(shè)計(jì)意圖】：本題是兩個(gè)計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用.通過這個(gè)問題的解決，可以使學(xué)生了解兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的實(shí)際意義，即通過比較不同測(cè)試方法所需要的測(cè)試次數(shù)差異，使學(xué)生感受改進(jìn)測(cè)試方法重要性.例5通常，我國(guó)民用汽車號(hào)牌的編號(hào)由兩部分組成：第一部分為用漢字表示的省、自治區(qū)、直轄市簡(jiǎn)稱和用英文字母表示的發(fā)牌機(jī)關(guān)代號(hào)，第二部分為由阿拉伯?dāng)?shù)字和英文字母組成的序號(hào)，如圖6.1-5所示.其中，序號(hào)的編碼規(guī)則為：（1）由10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字和除O，I之外的24個(gè)英文字母組成；（2）最多只能有2個(gè)英文字母.如果某地級(jí)市發(fā)牌機(jī)關(guān)采用5位序號(hào)編碼，那么這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放多少?gòu)埰囂?hào)牌？分析：按序號(hào)編碼規(guī)則可知，每個(gè)序號(hào)中的數(shù)字、字母都是可重復(fù)的，并且可將序號(hào)分為3類：沒有字母，有1個(gè)字母，有2個(gè)字母.以字母所在位置為分類標(biāo)準(zhǔn)，可將有1個(gè)字母的序號(hào)分為5個(gè)子類，將有2個(gè)字母的序號(hào)分為10個(gè)子類.【設(shè)計(jì)意圖】：本題的背景是真實(shí)的，其目的一方面是理解兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，另一方面是引出下一節(jié)排列.本題的解法比較繁瑣，之所以如此不厭其煩地把步驟一一列出