河北省2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）-A4

第頁高二調(diào)研考試數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2．請按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．4．考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交．5．本卷主要考查內(nèi)容：選擇性必修第一冊第二章~第三章．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為（）A. B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】將拋物線方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程求解.【詳解】解：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其準(zhǔn)線方程為，所以拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，故選：B2.已知橢圓上有一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為4，則點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為（）A.6 B.3 C.4 D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義即可求出.【詳解】由橢圓，得，即，設(shè)左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，則，因?yàn)椋?，即點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為2.故選:D.3.雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】由雙曲線，可得，則，且雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：D.4.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若的面積的最大值為，則（）A.7 B.3 C. D.9【答案】A【解析】【分析】利用點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示的面積，再借助范圍求出最大值即可.【詳解】依題意，橢圓半焦距，設(shè)點(diǎn)，則，因此面積，則，即，而，解得，所以.故選：A5.若方程表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】原方程可變形為，根據(jù)已知有，解出即可.【詳解】因?yàn)榉匠瘫硎窘裹c(diǎn)在y軸上的雙曲線，可變形為.所以有，即，解得.故選：A.6.已知點(diǎn)在拋物線上，若點(diǎn)到拋物線的對稱軸的距離是6，到焦點(diǎn)的距離是10，則的值是（）A.2或4 B.6或12 C.4或16 D.2或18【答案】D【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)拋物線的定義求解；【詳解】設(shè)，代入拋物線，解得：，又因?yàn)辄c(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是10，根據(jù)拋物線的定義，得：化簡得：解得：或18.故選：D.7.如圖，這是一個(gè)落地青花瓷，其中底座和瓶口的直徑相等，其外形被稱為單葉雙曲面，可以看成是雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面.若該花瓶橫截面圓的最小直徑為，最大直徑為，雙曲線的離心率為，則該花瓶的高為（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由關(guān)系以及離心率、可得雙曲線方程，進(jìn)一步代入即可求解.【詳解】由該花瓶橫截面圓的最小直徑為，有，又由雙曲線的離心率為，有，可得雙曲線的方程為，代入，可得，故該花瓶的高為.故選：B.8.已知橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為A，B，且橢圓C的離心率為，點(diǎn)P是橢圓C上的一點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)是橢圓上的點(diǎn)，設(shè)，求出為定值，從而能求出的值，然后根據(jù)求解.【詳解】設(shè)代入橢圓方程，則整理得：設(shè)，又，,所以而，所以，所以故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.關(guān)于雙曲線與雙曲線，下列說法不正確的是（）A.實(shí)軸長相等 B.離心率相等C.焦距相等 D.焦點(diǎn)到漸近線的距離相等【答案】ABD【解析】【分析】利用雙曲線的性質(zhì)對每個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可【詳解】雙曲線中，實(shí)軸長為，虛軸長為，焦距長為，右焦點(diǎn)為，所以離心率，漸近線方程為，不妨取即，所以焦點(diǎn)到漸近線的距離為，雙曲線中實(shí)軸長為，虛軸長為，焦距長為，右焦點(diǎn)為，所以離心率，漸近線方程為，不妨取即，所以焦點(diǎn)到漸近線的距離為，綜上，兩條雙曲線只有焦距相等，故選：ABD10.設(shè)點(diǎn)，分別為橢圓：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，若使得成立的點(diǎn)恰好是4個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值可以是（）A.1 B.3 C.5 D.4【答案】BD【解析】【分析】首先設(shè)點(diǎn)，得到，，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上得到，若成立的點(diǎn)有四個(gè)，則在有兩實(shí)數(shù)解，則有，解出其范圍結(jié)合選項(xiàng)即得.【詳解】設(shè)，∵，，∴，，由可得，又∵點(diǎn)在橢圓上，即，∴，要使得成立的點(diǎn)恰好是4個(gè)，則，解得.故選：BD11.已知拋物線C：，點(diǎn)F是拋物線C的焦點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線C上的一點(diǎn)，點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.拋物線C的準(zhǔn)線方程為B.若，則△PMF的面積為2C.|的最大值為D.△PMF的周長的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得準(zhǔn)線方程為，即可判斷A，根據(jù)拋物線定義得到，故點(diǎn)可能在第一象限也可能在第三象限，分情況計(jì)算三角形面積即可判斷B，利用三角形任意兩邊之差小于第三邊結(jié)合三點(diǎn)一線的特殊情況即可得到，計(jì)算即可判斷C，三角形的周長，再結(jié)合拋物線定義即可求出的最小值，即得到周長最小值.【詳解】，，，準(zhǔn)線方程為，故A正確；根據(jù)拋物線定義得，，,軸，當(dāng)時(shí)，，若點(diǎn)在第一象限時(shí)，此時(shí),故，的高為1，故，若點(diǎn)在第四象限，此時(shí)，故，的高為1，故，故B錯(cuò)誤；，,故C正確；（連接，并延長交于拋物線于點(diǎn)，此時(shí)即為最大值的情況，圖對應(yīng)如下）過點(diǎn)作準(zhǔn)線，垂足為點(diǎn)，的周長，若周長最小，則長度和最小，顯然當(dāng)點(diǎn)位于同一條直線上時(shí)，的和最小，此時(shí),故周長最小值為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為______【答案】【解析】【分析】由雙曲線的方程可得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，由拋物線的方程可得準(zhǔn)線方程，再由題意可得的值，進(jìn)而求出拋物線的方程．【詳解】由雙曲線的方程可得，解得，所以雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線準(zhǔn)線方程為，由題意可得，解得，所以拋物線的方程為：，故答案為：．13.已知橢圓，偶函數(shù)，且，則橢圓離心率的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇偶性求m，由可得b的范圍，然后可得離心率范圍.【詳解】是偶函數(shù)，，，解得，，，又，，．故答案為：14.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微：數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休”，包含的意思是：幾何圖形中都蘊(yùn)藏著一定的數(shù)量關(guān)系，數(shù)量關(guān)系又常常可以通過幾何圖形做出直觀的反映和描述，通過“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化，常?？梢郧擅畹亟鉀Q問題，所以“數(shù)形結(jié)合”是研究數(shù)學(xué)問題的重要思想方法之一.比如：這個(gè)代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點(diǎn)可得，方程的解為__________.【答案】【解析】【分析】將原方程配方，方程的解轉(zhuǎn)化為直線與雙曲線的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)。【詳解】原方程可化為，其幾何意義為點(diǎn)到0,4，距離之差的絕對值等于，則該點(diǎn)的軌跡滿足雙曲線的定義，根據(jù)雙曲線的定義得：，，，所以，又因?yàn)殡p曲線焦點(diǎn)在軸上，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，令得，所以原方程的解為。故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）經(jīng)過，兩點(diǎn)；（2）長軸長等于20，離心率等于．【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）設(shè)出橢圓方程,根據(jù)橢圓經(jīng)過點(diǎn),,得出,代入方程即可.（2）由條件可得,則可得,根據(jù)焦點(diǎn)所在的軸代入對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【詳解】解:（1）設(shè)橢圓方程為:,因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn),,,分別為左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn),所以得,所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）橢圓的長軸長等于20,離心率等于依題意:,所以，由即所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為:或.16.已知圓的方程為．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若圓與直線交于M，N兩點(diǎn)，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將圓的一般方程用配方法化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而得到，解之即可；（2）利用弦長公式求得，進(jìn)而得到，易得的值.【小問1詳解】方程可化為，∵此方程表示圓，∴，即，即.【小問2詳解】由（1）可得圓心，半徑，則圓心到直線的距離為，由弦長公式及，得，解得，∴，得．17.已知點(diǎn)，，中恰有兩個(gè)點(diǎn)在拋物線上，（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)，在上，且，證明：直線過定點(diǎn)．【答案】（1）（2）證明見詳解.【解析】【分析】（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程，取相同的值，得到標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組化簡為一元二次方程，由韋達(dá)定理求得參數(shù)的值，得到直線的定點(diǎn).【小問1詳解】將代入拋物線方程，解得，將代入拋物線方程，解得，將代入拋物線方程，解得，根據(jù)題意可知，∴的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】∵，∴，∴設(shè)直線，則聯(lián)立方程組得，即，∴，∴，∴，∴直線過動(dòng)點(diǎn).18.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)與到直線的距離之比為，記點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若點(diǎn)是圓上的一點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），過點(diǎn)作曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為，記直線的斜率分別為，且，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的第二定義列出等式，整理即可得曲線的方程為；（2）設(shè)直線方程為并于橢圓方程聯(lián)立，由直線與橢圓相切可得，同理可知是關(guān)于方程的兩個(gè)根，可求得直線的方程為.【小問1詳解】根據(jù)題意可得，即，整理可得，因此曲線的方程為；【小問2詳解】如下圖所示：設(shè)，則，又點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，所以且；因此直線的方程為，直線的方程為，又直線與橢圓相切與點(diǎn)，聯(lián)立整理可得可得，即，整理可得，又，可得；直線與橢圓相切與點(diǎn)，同理可得，所以是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，因此，再由可得，即；所以直線的斜率為，因此直線的方程為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在求解直線與橢圓相切問題時(shí)，可聯(lián)立直線和橢圓方程再利用判別式為0可得關(guān)系式，再由韋達(dá)定理可求得參數(shù)之間的關(guān)系，即可求得直線的斜率為，可得直線方程.19.已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，的焦距為8．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過右焦點(diǎn)F的直線l與雙曲線C交于M，N兩點(diǎn)，．求證：點(diǎn)A在以線段為直徑的圓上．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由漸近線方程，焦距，