《OR動態(tài)規(guī)劃》課件

運籌學動態(tài)規(guī)劃運籌學是一個重要的學科，它涵蓋了對復雜決策問題的分析和優(yōu)化。動態(tài)規(guī)劃是一種強大的技術(shù)，可用于解決各種問題，例如資源分配、生產(chǎn)計劃和投資決策。課程概述優(yōu)化問題求解運籌學中，如何找到最優(yōu)解？動態(tài)規(guī)劃算法高效解決復雜優(yōu)化問題。應用場景豐富從背包問題到最短路徑，廣泛應用。動態(tài)規(guī)劃的定義和特點最優(yōu)子結(jié)構(gòu)問題的最優(yōu)解包含其子問題的最優(yōu)解。重疊子問題不同的子問題可能重復出現(xiàn)，可以使用表格存儲計算結(jié)果。自底向上從小的子問題開始，逐步解決更大的子問題。動態(tài)規(guī)劃的適用條件1最優(yōu)子結(jié)構(gòu)問題可以分解成子問題，子問題的最優(yōu)解能夠組合成原問題的最優(yōu)解。2重疊子問題多個子問題之間存在重復計算，可以使用存儲結(jié)果避免重復計算。3狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程可以利用子問題的解，根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程推導出原問題的解。動態(tài)規(guī)劃是一種將問題分解成子問題，并通過子問題的解來推導出原問題解的算法。動態(tài)規(guī)劃的基本步驟1.確定狀態(tài)明確問題中的狀態(tài)變量，它通常代表子問題的解。2.確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程找到狀態(tài)之間的關(guān)系，通過遞推或遞歸的方式計算當前狀態(tài)的值。3.初始化狀態(tài)為狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程提供初始值，以便開始遞推或遞歸過程。4.計算目標狀態(tài)根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程，逐步計算所有狀態(tài)的值，最終得到目標狀態(tài)的解。動態(tài)規(guī)劃的應用場景動態(tài)規(guī)劃是一種強大的算法技術(shù)，在許多領(lǐng)域都有廣泛的應用。它可以解決各種優(yōu)化問題，如最優(yōu)路徑規(guī)劃、資源分配和投資組合管理。01背包問題1問題描述給定一個背包，容量為C。有n個物品，每個物品都有重量wi和價值vi。2目標選擇一些物品放入背包，使得背包中物品的總價值最大。3約束背包的容量有限制，不能超過C。01背包問題的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程01背包問題是一個經(jīng)典的動態(tài)規(guī)劃問題，其狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程是解決問題的關(guān)鍵。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程描述了在不同狀態(tài)下，背包的容量和物品選擇之間的關(guān)系。1dp[i][j]表示容量為j的背包，在考慮前i件物品時能取得的最大價值2w[i]表示第i件物品的重量3v[i]表示第i件物品的價值4dp[i-1][j]表示容量為j的背包，在考慮前i-1件物品時能取得的最大價值狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程如下：dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i])01背包問題的代碼實現(xiàn)利用動態(tài)規(guī)劃解決01背包問題，需要定義一個二維數(shù)組dp，dp[i][j]表示從前i個物品中選擇總重量不超過j的物品的最大價值。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i])，其中w[i]表示第i個物品的重量，v[i]表示第i個物品的價值。defknapsack(w,v,C):n=len(w)dp=[[0for_inrange(C+1)]for_inrange(n+1)]foriinrange(1,n+1):forjinrange(1,C+1):ifj>=w[i-1]:dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1])else:dp[i][j]=dp[i-1][j]returndp[n][C]w=[10,20,30]v=[60,100,120]C=50max_value=knapsack(w,v,C)print(f"最大價值為：{max_value}")完全背包問題問題描述完全背包問題是指，給定一個容量為W的背包，以及n種物品，每種物品有無限個，每種物品的重量為wi，價值為vi，求解將哪些物品裝入背包，可以使背包中物品的總價值最大。狀態(tài)定義用dp[i][j]表示前i種物品中，裝入容量為j的背包所能得到的最大價值。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程當?shù)趇種物品的重量為wi，價值為vi時，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-wi]+vi)。邊界條件當i=0或j=0時，dp[i][j]=0。最終結(jié)果最終結(jié)果為dp[n][W]，表示裝入容量為W的背包所能得到的最大價值。完全背包問題的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程解釋dp[i][j]=max(dp[i][j-v[i]],dp[i-1][j])表示在容量為j的情況下，前i個物品所能取得的最大價值。完全背包問題的代碼實現(xiàn)完全背包問題是指，每個物品可以無限次地選取。代碼實現(xiàn)的關(guān)鍵在于如何有效地利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程來更新狀態(tài)數(shù)組。多重背包問題1問題描述多重背包問題是指每個物品都有多個，每個物品都有自己的重量和價值，求解在背包容量限制下，如何選擇物品才能使總價值最大化。2狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程定義dp[i][j]為前i個物品，在背包容量為j的情況下，所能得到的最大價值。dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-k*w[i]]+k*v[i])，其中k為物品i的個數(shù)，w[i]為物品i的重量，v[i]為物品i的價值。3代碼實現(xiàn)可以使用動態(tài)規(guī)劃算法進行求解，代碼實現(xiàn)可以使用二維數(shù)組進行存儲狀態(tài)，并進行循環(huán)遍歷計算。多重背包問題的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程多重背包問題是指每個物品有數(shù)量限制的背包問題，每個物品有數(shù)量限制，需要考慮每個物品的數(shù)量選擇，狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程也需要考慮數(shù)量因素。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為：dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i])，其中dp[i][j]表示前i個物品放入容量為j的背包中所能獲得的最大價值，v[i]表示第i個物品的體積，w[i]表示第i個物品的價值，k表示選擇第i個物品的數(shù)量。多重背包問題的代碼實現(xiàn)多重背包問題使用動態(tài)規(guī)劃解決，代碼實現(xiàn)通常涉及二維數(shù)組。外層循環(huán)遍歷物品，內(nèi)層循環(huán)遍歷背包容量，通過狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程更新數(shù)組值。最長公共子序列問題在計算機科學中，最長公共子序列問題（LCS）是一個經(jīng)典的問題，它涉及找出兩個序列的最長公共子序列。子序列不一定要連續(xù)出現(xiàn)，但必須保持其原始序列中的相對順序。1定義找出兩個序列的最長公共子序列2應用基因序列比對、文本編輯、文件差異分析3算法動態(tài)規(guī)劃，遞歸最長公共子序列問題的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程最長公共子序列問題的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程表示了子問題之間的關(guān)系。dp[i][j]表示字符串X的前i個字符和字符串Y的前j個字符的最長公共子序列長度。1dp[i][j]X的前i個字符和Y的前j個字符的最長公共子序列長度2X[i]字符串X的第i個字符3Y[j]字符串Y的第j個字符當X[i]等于Y[j]時，dp[i][j]等于dp[i-1][j-1]加1。否則，dp[i][j]等于dp[i-1][j]和dp[i][j-1]中的較大值。最長公共子序列問題的代碼實現(xiàn)動態(tài)規(guī)劃的代碼實現(xiàn)是將狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程轉(zhuǎn)化為代碼，通過循環(huán)遍歷所有狀態(tài)，最終得到最優(yōu)解。代碼實現(xiàn)通常涉及二維數(shù)組來存儲狀態(tài)，以及循環(huán)語句來實現(xiàn)狀態(tài)轉(zhuǎn)移。最短路徑問題1定義在給定圖中，找到從起點到終點的最短路徑。2應用導航系統(tǒng)、網(wǎng)絡路由、交通規(guī)劃。3算法Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法。最短路徑問題是圖論中的一個經(jīng)典問題，在現(xiàn)實生活中有著廣泛的應用。它可以通過多種算法求解，例如Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法等。這些算法根據(jù)圖的結(jié)構(gòu)和邊權(quán)的特點，找到最短路徑。最短路徑問題的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程描述dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+w[k][j])從起點i到終點j的最短路徑長度，等于從起點i到中間點k的最短路徑長度加上從中間點k到終點j的邊權(quán)w[k][j]的最小值。最短路徑問題的代碼實現(xiàn)動態(tài)規(guī)劃算法的核心思想是將復雜問題分解成子問題，并利用子問題的解來解決原問題。代碼實現(xiàn)中需要使用二維數(shù)組來存儲所有節(jié)點之間的最短路徑，并使用循環(huán)來迭代地更新每個節(jié)點的最短路徑。矩陣連乘問題問題描述給定n個矩陣A1,A2,...,An，要求計算它們的乘積A1A2...An，并且要求在計算乘積時，盡可能減少矩陣乘法的次數(shù)。狀態(tài)定義dp[i][j]表示從矩陣Ai到Aj的最少乘法次數(shù)。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k+1][j]+A[i-1].row*A[k].col*A[j].col)代碼實現(xiàn)可以使用動態(tài)規(guī)劃的思想來求解矩陣連乘問題，并利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程進行遞推計算，最后得到最少乘法次數(shù)。矩陣連乘問題的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程動態(tài)規(guī)劃求解矩陣連乘問題，需要定義狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程。狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程是指，當前狀態(tài)的最優(yōu)解如何由之前狀態(tài)的最優(yōu)解推導出來。矩陣連乘問題的狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程如下：dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j])其中，dp[i][j]表示從矩陣Ai開始到矩陣Aj的最小乘法次數(shù)，p[i]表示矩陣Ai的行數(shù)和Ai+1的列數(shù)。矩陣連乘問題的代碼實現(xiàn)1動態(tài)規(guī)劃利用動態(tài)規(guī)劃的思想解決矩陣連乘問題，可以使用遞歸或迭代方法來實現(xiàn)。2遞歸方法通過遞歸函數(shù)來計算最優(yōu)解，遞歸調(diào)用自身來計算子問題的最優(yōu)解，最終得到整個問題的最優(yōu)解。3迭代方法使用迭代的方式來計算最優(yōu)解，