專(zhuān)題03二項(xiàng)式定理-《2021-2022高二下學(xué)期數(shù)學(xué)新教材提升訓(xùn)練（人教A版2019選擇性）》

專(zhuān)題03二項(xiàng)式定理一、單選題1．（2022·北京八中高二期末）展開(kāi)式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為（）A．6 B． C．24 D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】由題意，二項(xiàng)式展開(kāi)式中第3項(xiàng)為，所以展開(kāi)式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為.故選：A.2．（2022·四川綿陽(yáng)·二模（理））二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（）A． B． C．10 D．15【答案】A【解析】【分析】首先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)，再令求出，再代入計(jì)算可得；【詳解】解：二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解得，所以，故的系數(shù)為；故選：A3．（2022·福建福州·高三期末）展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件求出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再求指定項(xiàng)作答.【詳解】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，由解得：，則，所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故選：D4．（2022·河南駐馬店·高三期末（理））的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A．－50 B．－10 C．10 D．50【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理得出展開(kāi)式的通項(xiàng)，求出，，進(jìn)而得出的系數(shù).【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，則，，故展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選：A5．（福建省漳州市2022屆高三畢業(yè)班第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）已知二項(xiàng)式的展開(kāi)式的所有項(xiàng)的系數(shù)和為32，則的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)賦值法以及二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式即可求出．【詳解】令，可得展開(kāi)式的所有項(xiàng)的系數(shù)之和，得，所以，其通項(xiàng)，令，得，所以展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為．故選：A．6．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)（理））若的展開(kāi)式中的系數(shù)為75，則（）A．3 B．2 C．2 D．3【答案】A【解析】【分析】結(jié)合二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式以及多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算可得，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為，由題知，，解得．故選：A.7．（2022·遼寧·大連八中高二期末）若，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】設(shè)，計(jì)算出、的值，利用平方差公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)由已知可得，，因此，.故選：D.8．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，若二項(xiàng)式的展開(kāi)式中第二項(xiàng)的系數(shù)是1，則二項(xiàng)式的展開(kāi)式中第三項(xiàng)的系數(shù)是（）A． B．1 C． D．5【答案】C【解析】【分析】由二項(xiàng)展開(kāi)式的公式展開(kāi)可得二項(xiàng)式的展開(kāi)式中第二項(xiàng)的系數(shù)，再由二項(xiàng)式的展開(kāi)式中第三項(xiàng)的系數(shù)為，代入即可得解.【詳解】由二項(xiàng)式的展開(kāi)式中第二項(xiàng)，所以，二項(xiàng)式的展開(kāi)式中第三項(xiàng)，所以.故選：C二、多選題9．（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)高二期末）在的展開(kāi)式中，若第六項(xiàng)為二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，則n的值可能為（）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】ABC【解析】【分析】結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是第項(xiàng)，符合題意，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是第項(xiàng)，符合題意，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是第項(xiàng)，符合題意，當(dāng)或時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)不包括第項(xiàng).故選：ABC10．（2021·江蘇蘇州·高二階段練習(xí)）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》就給出了著名的楊輝三角，由此可見(jiàn)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的．以下關(guān)于楊輝三角的猜想中正確的有（）第一行11第二行121第三行1331第四行14641第五行15101051第六行1615201561A．由“與首末兩端‘等距離’的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等”猜想：B．由“在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它‘肩上’兩個(gè)數(shù)的和”猜想：C．由“第行所有數(shù)之和為”猜想：D．由“”猜想：【答案】ABC【解析】【分析】結(jié)合楊輝三角、合情推理以及二項(xiàng)式有關(guān)知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】由“與首末兩端‘等距離’的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等”猜想：，A正確.由“在相鄰的兩行中，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它‘肩上’兩個(gè)數(shù)的和”猜想：，B正確.由“第行所有數(shù)之和為”猜想：，C正確.，所以D錯(cuò)誤.故選：ABC11．（福建省龍巖市20212022學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)試題）關(guān)于的展開(kāi)式，下列結(jié)論正確的是（）A．各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為32 B．各項(xiàng)系數(shù)之和為C．存在常數(shù)項(xiàng) D．項(xiàng)的系數(shù)為80【答案】ABD【解析】【分析】由二項(xiàng)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)判斷A；取求得所有項(xiàng)的系數(shù)和判斷B；寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)，由的指數(shù)為3和0求得值，可判斷CD．【詳解】的展開(kāi)式的所有二項(xiàng)式系數(shù)和為，故A正確；取，可得所有項(xiàng)的系數(shù)和為，故B正確；展開(kāi)式的通項(xiàng)為，由，得舍去，故不存在常數(shù)項(xiàng)，C錯(cuò)誤，由，得，含項(xiàng)的系數(shù)為，故D正確．故選：ABD．12．（2022·遼寧丹東·高二期末）若的二項(xiàng)展開(kāi)式共有8項(xiàng)，則該二項(xiàng)展開(kāi)式（）A．各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為128B．項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)和為﹣64C．有理式項(xiàng)共有4項(xiàng)D．第4項(xiàng)與第5項(xiàng)系數(shù)相等且最大【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式共有8項(xiàng)，確定n=7，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和為，可判斷A正確；計(jì)算出項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)和為64，可判斷B錯(cuò)誤；根據(jù)通項(xiàng)公式可看到有理項(xiàng)有四項(xiàng)，可判斷C正確；算出第4項(xiàng)與第5項(xiàng)系數(shù)，可判斷D的正誤.【詳解】的二項(xiàng)展開(kāi)式共有8項(xiàng),故n=7;則二項(xiàng)式系數(shù)和為，故A正確；的通項(xiàng)公式為，故項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)和為,故B錯(cuò)誤；根據(jù)，當(dāng)r取0，2，4，6時(shí)，為有理式項(xiàng)，故C正確；，第四項(xiàng)與第五項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，故D錯(cuò)誤，故選：AC.三、雙空題13．（2019·浙江·高考真題）在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)是________；系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是_______.【答案】【解析】【分析】本題主要考查二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)，屬于常規(guī)題目.從寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)入手，根據(jù)要求，考察的冪指數(shù)，使問(wèn)題得解.【詳解】的通項(xiàng)為可得常數(shù)項(xiàng)為，因系數(shù)為有理數(shù)，，有共5個(gè)項(xiàng)14．（2021·浙江·高考真題）已知多項(xiàng)式，則___________，___________.【答案】;.【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式定理，分別求出的展開(kāi)式，即可得出結(jié)論.【詳解】，，所以，，所以.故答案為：.四、填空題15．（2021·遼寧營(yíng)口·高二期末）若，若，則______．【答案】2【解析】【分析】首先利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求，再利用賦值法求系數(shù)的和以及．【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，則，即，故，令，得.又，所以故故答案為：16．（2022·福建漳州·高二期末）若n展開(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)和為163，則展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為_(kāi)______．【答案】5376【解析】【分析】先求展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，由此確定前3項(xiàng)的系數(shù)，根據(jù)前三項(xiàng)的系數(shù)和為163，求參數(shù)n，再列不等式求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).【詳解】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，由題意可得，，解得，設(shè)展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)最大，則解得，又∵，∴，故展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.故答案為：5376.五、解答題17．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）在的展開(kāi)式中，前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開(kāi)式中x的一次項(xiàng)．【答案】【解析】【分析】求出展開(kāi)式通項(xiàng)，根據(jù)前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列建立關(guān)系即可求出，再令的指數(shù)為1即可求出一次項(xiàng).【詳解】的展開(kāi)式通項(xiàng)為，前3項(xiàng)的系數(shù)分別為，因?yàn)榍?項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，所以，即，解得（舍去）或，則，令，解得，所以展開(kāi)式中x的一次項(xiàng)為.18．（2021·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）令，即可求得.（2）令，求得，結(jié)合，即可求解.（3）令和，分別求得和，結(jié)合，即可求解.(1)解：由，令，可得.(2)解：令，可得，所以.(3)解：令，可得，令，可得，所以19．（2022·江西新余·高二期末（理））已知的展開(kāi)式中，第4項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)之比為.(1)求m的值；(2)求展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和.【答案】(1)(2)所有項(xiàng)的系數(shù)和為，二項(xiàng)式系數(shù)和為【解析】【分析】(1)寫(xiě)出展開(kāi)式的通項(xiàng)，求出其第4項(xiàng)系數(shù)和倒數(shù)第4項(xiàng)系數(shù)，列出方程即可求出m的值；(2)令x＝1即可求所有展開(kāi)項(xiàng)系數(shù)之和，二項(xiàng)式系數(shù)之和為2m.(1)展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，∴展開(kāi)式中第4項(xiàng)的系數(shù)為，倒數(shù)第4項(xiàng)的系數(shù)為，∴，即.(2)令可得展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為，展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.20．（2021·河北·武安市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知二項(xiàng)式展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和比各二項(xiàng)式系數(shù)之和大240，(1)求n；(2)求展開(kāi)式中所有含x的有理項(xiàng).【答案】(1)(2)，，【解析】【分析】（1）由于各項(xiàng)系數(shù)之和為，二項(xiàng)式系數(shù)之和為，，解方程求得的值；（2）利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式寫(xiě)出第項(xiàng)，使得的指數(shù)是整數(shù)，列舉出結(jié)果，寫(xiě)出這幾項(xiàng)即可．(1)解：令，則各項(xiàng)系數(shù)之和為，二項(xiàng)式系數(shù)之和為，因?yàn)檎归_(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)之和比各二項(xiàng)式系數(shù)之和大240，所以，所以；(2)解：二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為，由，則，所以展開(kāi)式中所有x的有理項(xiàng)為：.21．（2022·全國(guó)·高二）在(2x－3y)10的展開(kāi)式中，求：(1)二項(xiàng)式系數(shù)的和；(2)各項(xiàng)系數(shù)的和；(3)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和；(4)奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和.【答案】(1)210(2)1(3)29，29(4)奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為【解析】【分析】（1）二項(xiàng)式系數(shù)的和直接使用公式進(jìn)行求解；（3）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，直接利用公式進(jìn)行求解；第（2）問(wèn)和第（4）問(wèn)：設(shè)(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10(*),各項(xiàng)系數(shù)和為a0＋a1＋…＋a10，奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為a0＋a2＋…＋a10，偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為a1＋a3＋a5＋…＋a9.由于(*)是恒等式，故可用“賦值法”求出相關(guān)的系數(shù)和.(1)二項(xiàng)式系數(shù)的和為.(2)令x＝y(tǒng)＝1，各項(xiàng)系數(shù)和為(2－3)10＝(－1)10＝1.(3)奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為.(4)設(shè)(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10令x＝y(tǒng)＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②其中①＋②得：，∴奇數(shù)項(xiàng)系