專題11導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題（原卷版）

專題11導(dǎo)數(shù)中的同構(gòu)問題【考點(diǎn)預(yù)測】知識點(diǎn)一、常見的同構(gòu)函數(shù)圖像函數(shù)表達(dá)式圖像函數(shù)表達(dá)式圖像函數(shù)極值點(diǎn)函數(shù)極值點(diǎn)函數(shù)極值點(diǎn)函數(shù)極值點(diǎn)過定點(diǎn)函數(shù)極值點(diǎn)函數(shù)極值點(diǎn)函數(shù)極值點(diǎn)函數(shù)極值點(diǎn)知識點(diǎn)二：同構(gòu)式的基本概念與導(dǎo)數(shù)壓軸題1、同構(gòu)式：是指除了變量不同，其余地方均相同的表達(dá)式2、同構(gòu)式的應(yīng)用：（1）在方程中的應(yīng)用：如果方程和呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可視為方程的兩個根（2）在不等式中的應(yīng)用：如果不等式的兩側(cè)呈現(xiàn)同構(gòu)特征，則可將相同的結(jié)構(gòu)構(gòu)造為一個函數(shù)，進(jìn)而和函數(shù)的單調(diào)性找到聯(lián)系?？杀容^大小或解不等式。<同構(gòu)小套路>①指對各一邊，參數(shù)是關(guān)鍵；②常用“母函數(shù)”：，；尋找“親戚函數(shù)”是關(guān)鍵；③信手拈來湊同構(gòu)，湊常數(shù)、、參數(shù)；④復(fù)合函數(shù)（親戚函數(shù)）比大小，利用單調(diào)性求參數(shù)范圍.（3）在解析幾何中的應(yīng)用：如果滿足的方程為同構(gòu)式，則為方程所表示曲線上的兩點(diǎn)。特別的，若滿足的方程是直線方程，則該方程即為直線的方程（4）在數(shù)列中的應(yīng)用：可將遞推公式變形為“依序同構(gòu)”的特征，即關(guān)于與的同構(gòu)式，從而將同構(gòu)式設(shè)為輔助數(shù)列便于求解3、常見的指數(shù)放縮：4、常見的對數(shù)放縮：5、常見三角函數(shù)的放縮：6、學(xué)習(xí)指對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)時，曾經(jīng)提到過兩個這樣的恒等式：（1）且時，有（2）當(dāng)且時，有再結(jié)合指數(shù)運(yùn)算和對數(shù)運(yùn)算的法則，可以得到下述結(jié)論（其中）（3）（4）（5）（6）再結(jié)合常用的切線不等式lnxx1，等，可以得到更多的結(jié)論，這里僅以第（3）條為例進(jìn)行引申：（7）；（8）；【題型歸納目錄】題型一：不等式同構(gòu)題型二：同構(gòu)變形題型三：零點(diǎn)同構(gòu)題型四：利用同構(gòu)解決不等式恒成立問題題型五：利用同構(gòu)求最值題型六：利用同構(gòu)證明不等式【典例例題】題型一：不等式同構(gòu)例1．（2022·陜西·西安中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知，且，，，則（

）A． B．C． D．例2．（2022·河南焦作·三模（理））設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．例3．（2022·四川·廣安二中模擬預(yù)測（理））已知，且，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，則下列選項(xiàng)中一定成立的是（

）A． B．C． D．題型二：同構(gòu)變形例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）對下列不等式或方程進(jìn)行同構(gòu)變形，并寫出相應(yīng)的同構(gòu)函數(shù)．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)．題型三：零點(diǎn)同構(gòu)例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)有兩個零點(diǎn)，則a的最小整數(shù)值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3例6．（2021·全國·模擬預(yù)測）在數(shù)學(xué)中，我們把僅有變量不同，而結(jié)構(gòu)、形式相同的兩個式子稱為同構(gòu)式，相應(yīng)的方程稱為同構(gòu)方程，相應(yīng)的不等式稱為同構(gòu)不等式．若關(guān)于的方程和關(guān)于的方程（，，）可化為同構(gòu)方程，則________，________．例7．（2021·安徽安慶·高三階段練習(xí)（理））在數(shù)學(xué)中，我們把僅有變量不同，而結(jié)構(gòu)?形式相同的兩個式子稱為同構(gòu)式，相應(yīng)的方程稱為同構(gòu)方程，相應(yīng)的不等式稱為同構(gòu)不等式.若關(guān)于的方程和關(guān)于的方程可化為同構(gòu)方程.（1）求的值；（2）已知函數(shù).若斜率為的直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，求證：.例8．（2022·遼寧·大連市普蘭店區(qū)高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．題型四：利用同構(gòu)解決不等式恒成立問題例9．（2022·陜西·長安一中模擬預(yù)測（理））若對任意，恒有，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．例10．（2022·河南·高三期末（理））若關(guān)于x的不等式恒成立，則a的取值范圍是______．例11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，對任意的，不等式恒成立，則的最小值為___________.例12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________．例13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)m的最小值為__________.例14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，若存在正實(shí)數(shù)，使得不等式成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．例15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，不等式對任意恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．例16．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））若關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．例17．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)，對，恒有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．例18．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知函數(shù)，當(dāng)時，不等式恒成立，則k的取值范圍是（

）A． B． C． D．例19．（2022·安徽亳州·高三期末（理））已知，若時，恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．例20．（2022·安徽合肥·高三期末（理））若不等式對恒成立（為自然對數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)a的最大值為（

）A． B． C． D．例21.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知不等式對恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．題型五：利用同構(gòu)求最值例22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若，，則的最小值為（

）．A． B． C． D．例23．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））設(shè)大于1的兩個實(shí)數(shù)a，b滿足，則正整數(shù)n的最大值為（

）．A．7 B．9 C．11 D．12題型六：利用同構(gòu)證明不等式例24．（2022·福建南平·三模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，求證：函數(shù)有兩個零點(diǎn)，且.例25．（2022·四川眉山·三模（文））已知函數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：當(dāng)時，.例26．（2022·河北·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)設(shè)a，b為兩個不