指對(duì)冪函數(shù)-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（新高考）

考點(diǎn)鞏固卷04指對(duì)嘉函數(shù)（六大考點(diǎn)）

摩考堂先更

考點(diǎn)01：指數(shù)基礎(chǔ)運(yùn)算及特殊運(yùn)算

考點(diǎn)01:指數(shù)基礎(chǔ)運(yùn)算及特殊運(yùn)算

1、有理數(shù)指數(shù)塞的分類(lèi)

“個(gè)

⑴正整數(shù)指數(shù)累?'一一一^~一Y入尸）

a=a-a-a-a-a---a\iisN）

⑵零指數(shù)嘉a°=l（a二0）

⑶負(fù)整數(shù)指數(shù)累口一"=[（a/0,〃eN*）

a

（4）0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)暴等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)塞沒(méi)有意義.

2、有理數(shù)指數(shù)易的性質(zhì)

⑴am-an=am+n（a>0,m,ne°）

⑵("")"=a加(a〉0,加,〃c0)

⑶(仍)"=ambm[a>0,b>0,mGQ)

_____m

⑷Vo?-=an(a>0,m,neQ)

3、根式的定義

一般地，如果x〃=a，那么x叫做。的"次根式，其中(〃〉l,〃eN*)我叫做根式，〃叫做根指數(shù),

a叫做開(kāi)方數(shù).

4、對(duì)于根式出'，要注意以下幾點(diǎn)

⑴〃￡N且〃>1；

(2,6/>0

⑵當(dāng)“為奇數(shù)時(shí)，而=a；當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，'4a"=\a\

-a,a<0

⑶負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根;

⑷0的任何次方根都是0

5、多重根號(hào)問(wèn)題，首先先寫(xiě)成指數(shù)形式

4d?/二

6、指數(shù)的逆運(yùn)算過(guò)程

1

3

特殊運(yùn)算：形如%+求下列各種形式的值的思路.

]1——

(1)；根據(jù)x2+x2=X+》T+2計(jì)算即可；

大I人

k7

(2)X2+X-2；根據(jù)(x+E1)2=12+]-2+2計(jì)算即可；

(3)X2-%-2.由于=±#_婷『=±#+/『_4,進(jìn)而根據(jù)V——=1+/乂》——)

即可求解.

(4)X1-%-1;根據(jù)x—X-=±J(x—x--=±J(x+x-)—4計(jì)算即可

(5)1+x-3根據(jù)(x2+x-2)(x+x-')=x3+x-3+x+x-1計(jì)算即可

(6)X3-X-3根據(jù)(x2+x-2)(x-x-1)=x3-x-3-x+X-1計(jì)算即可

1.下列各式正確的是（）

A.B.V?=戶(hù)

1

2、=1/

C11-1堤，6D.2一-2x3

?a2a4a8=a24

7X

【答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)塞的運(yùn)算性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.

311

【詳解】對(duì)于A,由指數(shù)累的運(yùn)算性質(zhì)，可得.5=二"=07，所以A錯(cuò)誤;

2

對(duì)于B,由指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)，可得3”=戶(hù)，所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)，可CiCt得ct—ct所——ct以C錯(cuò)誤；

J_2A_J_]_L_1_2

對(duì)于D,由指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)，可得2x《=2x^.

（2）2

_l_14

=x^3-4x^=1--,所以D正確.

x

故選：D.

2.用分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的形式表示的結(jié)果是（）

573

4

A.L3IB.uC.aD.Cn*2

【答案】B

【分析】根據(jù)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的互化原則直接化簡(jiǎn)即可.

【詳解】="〉。，/q2=J?=q2,

故選；B.

3.化簡(jiǎn)yjm6（m<0）的結(jié)果為（）

A.m4mB.md—m

C.-mD.-m

【答案】D

【分析】利用根式的運(yùn)算性質(zhì)即可得出答案.

[詳解]m<0,y/m6=J(-加丫=-mj—m.

故選：D

4.計(jì)算2-；+寧二+———J(1-病。,結(jié)果是()

V2V2-1

A.1B.272C.V2D.2T

【答案】B

【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)事的運(yùn)算及根式的意義計(jì)算作答.

【詳解】2-5+三幺+7--7(1--V5）0=百+正+（拒+1）-1=2、

<2V2-1

故選：B

5.函數(shù)y=Jxjx五(X>0)的導(dǎo)數(shù)為（）

171

A?孤B.跖訴

【答案】B

【分析】把函數(shù)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)哥，根據(jù)導(dǎo)數(shù)公式可求出結(jié)果.

77--

【詳解】昨代，則戶(hù)丁、林

故選：B

6.化簡(jiǎn)〔1+2/[1+2-"1+2T]1+2+11+2-1的結(jié)果為（）

1(1（--Y1

A.41-232B.-1-232

2lJ21）

(_J_\T

C.1+2一直D.7

\7

【答案】B

【分析】利用平方差公式化簡(jiǎn)即可

【詳解】11+24][1+2111+2*

_iY_iy(_J_A

1—2一京l+2-i1+2嗎1+2/.1—2一記

八八八7\7

故選：B

3_2

7.已知加《+機(jī)—=4,則的值是（）

m2-m2

A.15B.12C.16D.25

【答案】A

【分析】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的運(yùn)算即可求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?/p>

m2+m2=4f

所以加+m~x=(m*+m_2=16—2=14,

331

2222

m-m2_(m-m)(m+m?

又由立方差公式,叱!2尸)=a+1+/=15,

1i

m2—m2m2—m2

故選：A.

8.化簡(jiǎn)（一）L勺的結(jié)果是（

)

A.y/a-1B.-y/a-1C.D.-\Jl-a

【答案】B

【分析】先分析。的取值范圍，再進(jìn)行根式化簡(jiǎn).

【詳解】由題意得，a-l>0,即a>l,

所以婷?小一

故選：B

9.下列各式中成立的是()

A.[?)=m7JB.，V(Z4)?=V=3

C^x3+y3=(x+yYD.J)=為'

【答案】D

【分析】根據(jù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)可判斷AC選項(xiàng);根據(jù)根式與指數(shù)幕的互化可判斷BD選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，用=m7n7,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)于B選項(xiàng)，0(-3)4=行=3五=3三=將二g，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，(x+y)==#(x+城彳代+丫3,C選項(xiàng)錯(cuò)誤；

,―/r(1

3

對(duì)于D選項(xiàng)，==3=33=看，D選項(xiàng)正確.

故選：D.

10.設(shè)aeR,/(x)=d：2(xeR),/(x)為奇函數(shù)，則a的值為.

【答案】1

【分析】先化簡(jiǎn)已知函數(shù)，再由函數(shù)為奇函數(shù)可得/卜)+/(-x)=0,由此式可解。的值.

【詳解】要使〃x)為奇函數(shù)，；xeR,.?.需/(x)+/(-x)=0,

.?./(x)="Ap/(T)=a--------=a

2-x+l-------2X+1

22X+1

由Q———-+a——~-=0，得2a—=o,a=1.

2》+12X+12X+1

故答案為：1.

考點(diǎn)02:對(duì)數(shù)基礎(chǔ)運(yùn)算

1、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則

①外和內(nèi)乘：10g"("N)=10ga/+10g0N②外差內(nèi)除：10g(NJ=10gaM-10gaN

③提公次方法：log""=21og〃M機(jī),〃eR)④特殊對(duì)數(shù)：log〃l=0

am

bb

⑤指中有對(duì)，沒(méi)心沒(méi)肺，真數(shù)為幾，直接取幾：a°^=6,logfla=b

2、對(duì)數(shù)的定義

一般地，如果a*=N(a〉O,aHl),那么數(shù)無(wú)叫做以。為底N的對(duì)數(shù)，記x=log“N,其中a叫做對(duì)數(shù)的底

數(shù)，N叫做對(duì)數(shù)的真數(shù)(N>0)

3、換底公式

①常用換底log.b=警*②倒數(shù)原理log.b=丁L

log,“alogja

③約分技巧log“b.log&c=42x粵=粵=log,c④具體數(shù)字歸一處理：1g2+1g5=1

IgalgZ)Iga-

11.下列等式正確的是()

2z

A.(Ig5)+21g2-(lg2)=1B.log351og32-log59=3

C.log^2夜+e"+J(兀-5>=7iD.+V0.0625-[(0.0641)-25]?=1

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)累與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)，逐項(xiàng)計(jì)算，即可求解.

【詳解】對(duì)于A中，由(Ig5)2+21g2-(lg2)2=(l_lg2)2+21g2-(lg2)2=l,所以A正確；

對(duì)于B中，由Iog35/og32/og59=髻?譬?售33,所以B錯(cuò)誤；

lg3lg3lg5

對(duì)于C中，由log近2*$/^+e'n~+"(兀—5)I=log78+2+5—兀「兀,所以C錯(cuò)誤；

對(duì)于D中，由6—+K5無(wú)石?[(0.0643)々5「=—+—x(0.4)T=—+—X—片1,所以口錯(cuò)誤.

j422222

故選：A

12.若實(shí)數(shù)加，n,f滿足5M=7"=f且,+工=2,貝曠=()

mn

A.273B.12C.V5D.735

【答案】D

【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)的互化可得加=logst，"=10g7f,代入工+工=2,即可計(jì)算得到，的值.

mn

【詳解】因?yàn)?"=7"=f且!+工=2,易知/>0且twl,

mn

所以加=logs/,n=log71,

所以工=log,5,-=log,7,

mn

所以，+L=log,5+log,7=log,35=2,則/=屈.

mn

故選：D.

13.工廠廢氣排放前要過(guò)濾廢氣中的污染物再進(jìn)行排放，廢氣中污染物含量了（單位：mg/L）與過(guò)濾時(shí)間f

小時(shí)的關(guān)系為y="e%（%,。均為正的常數(shù)）.已知前5小時(shí)過(guò)濾掉了10%污染物，那么當(dāng)污染物過(guò)濾

掉50%還需要經(jīng)過(guò)（）（最終結(jié)果精確到lh,參考數(shù)據(jù)：lg2土0.301,lg3。0.477）

A.43hB.38hC.33hD.28h

【答案】D

【分析】先確定廢氣中初始污染物含量，由題意求出常數(shù)。，即可解出.

【詳解】?..廢氣中污染物含量了與過(guò)濾時(shí)間，小時(shí)的關(guān)系為y=,

令f=0,得廢氣中初始污染物含量為v=%,

又?.?前5小時(shí)過(guò)濾掉了10%污染物，

,_9_112

.?.（1-10%）%=#5",則m記）彳，

CI——

55

.?.當(dāng)污染物過(guò)濾掉50%時(shí)，（1-50%）%,

ln-

In2_5In2_51g2_51g2

貝打=，=?33h

-aa吟吟

當(dāng)污染物過(guò)濾掉50%還需要經(jīng)過(guò)33-5=28h.

故選：D.

14.若a=log35,5"=6,則"6-log32=()

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】A

【分析】本題考查指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、換底公式的應(yīng)用.

【詳解】由5"=6n6=logs6,

-lo2

.§3=log36-log32=log31=log33=1

J5ff^^-log32=log35.log56-log32=log35

故選：A

15.設(shè)Iog23=3o,log35=q,則lg5=()

、.1、3Pq

A.p2+q2B.—(z3p+2q)C.1;D.PQ

51+3pq

【答案】C

【分析】利用換底公式可得3網(wǎng)=獸，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)分析求解.

lg2

【詳解】根據(jù)換底公式有3p=logz3=詈,q=魯，

lg2lg3

3”。=喳=坐=愴53D。

可得以lg2lg1017g5,整理得聯(lián)=市滴.

故C正確，檢驗(yàn)可知其他選項(xiàng)均不符合.

故選：C.

16.已知定義在R上的奇函數(shù)，(x)滿足/(2-x)=f(x),當(dāng)OWxVl時(shí)，f(x)=2x-l,則〃log/2)=()

A.一B.--C.-D.v

3432

【答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)〃x)的周期，再利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性及指對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算即得.

【詳解】在R上的奇函數(shù)"X)滿足〃2-x)=/(x),則/(無(wú))=-〃x-2),

于是f(x)=-f(x-2)=-1-f(x-4)]=/(x-4),即函數(shù)/(x)的周期為4,

x

而8<12<16,則3<臉12<4,-l<log212-4<0,又當(dāng)OVxWl時(shí)，/(x)=2-l,

34iog-1

93

所以/(log2l2)=/(log212-4)=/(log2-)=-/(log2-)=-(2-l)=--.

故選：A

17.已知log23=a,26=7,用a,6表示Iog4z56為()

b+33b八b+3-3b

A.B.------C.----------D.：—-

a+ba-\-ba+b+1a+b+\

【答案】c

【分析】由外=7指對(duì)互化得6=log?7,再把10g4256利用換底公式計(jì)算可得答案.

【詳解】因?yàn)?〃=7,所以6=log27,

,lobg256log27+log28_log,7+3log,2

log4256^-

log242log27+log26log27+log22+log23

6+3

b+a+1

故選：C.

18.(log43+log83)(log32+log92)=

【答案】(

4

【分析】根據(jù)給定條件，利用換底公式及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即得.

(詳解1(log43+10g83)(log32+log,2)=(lg3+lg3)(lg2+lg2)

lg4lg8lg3lg9

1g311g31g2?lg251g3：：31g2_5

21g231g2八lg321g3，61g221g34-

故答案為：—

4

19.方程/3+^4=/5的正實(shí)數(shù)解為.

【答案】e2

可得(|)「+($'"'

【分析】運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)先證*g"=c陶"，可得原方程為3履+4-=5內(nèi)x>0,=1,

再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到方程的解.

【詳解】先證=c"gi(a>0且awl,b>0且bwl,c>0且cwl),

令/。瓦，=m,*g"=〃，兩邊取6為底的對(duì)數(shù)，

loSbC

可得logAm=log6a=log6c-logAa,logAn=10gzic嗨"=log6a?10gzic,

所以10gz，加=log/,所以加=",即儲(chǔ)臉。=*%"，

貝Uxln3+(x>0)即為31nx+4Mx=5山，(x>0),

=1,

可唱飛r

X

34「在R上單調(diào)遞減,

由于y=lnx在(0,+e)上單調(diào)遞增，y=I,y=

InxInx

34

所以y=|,y=I在(0,+")上單調(diào)遞減,

可得y=f|F+在（0,+8）上單調(diào)遞減,

又lnx=2時(shí)，即…2時(shí)，有［J+審=1,

則原方程的解有且只有一個(gè)為》=『.

故答案為：/

115

20.已知。＞1,----------T=--,貝

log8?log“42-

【答案】64

【分析】將bgslog.4利用換底公式轉(zhuǎn)化成log?。來(lái)表示即可求解.

1131,5「，，、2

【詳解】由題------；------T=i----------logtz=--,整理得(log,“)-51og,a-6=0,

2v7

log8aloga4log2a22-

=>log2a=-1或log2a=6,又a>l,

所以Iog2a=6=log226,故。=26=64

故答案為：64.

考點(diǎn)03:指對(duì)數(shù)函數(shù)底數(shù)大小的比較

形如:y=ax,y=bx,y=cx,y=dx

圖象如下：

先畫(huà)一條x=l的直線，明確交點(diǎn)，由下至上底數(shù)越來(lái)越大.

形如：J=10gax,y=10gz,x,y=logcx,y=log,x確定a,b,c,d大小關(guān)系

先畫(huà)一條歹=1的直線，明確交點(diǎn)，由左至右底數(shù)越來(lái)越大.故c<d<a<b

21.圖中曲線分別表示y=log“x,y=logbX,ynlogcX/nlog/X的圖像，a,b,c,d,的關(guān)系是（）

A.0<a<b<l<d<cB.0<b<a<1<c<d

C.0<c<d<l<a<bD.0<c<d<l<b<a

解：如圖所示：

當(dāng)y=1時(shí)，xr=c,x2=d.x3=a,x4=b,因?yàn)?<xx<x2<1<x3<x4,

所以0<c<d<1vQvb故選：C

22.圖中曲線分別表示y=log6x,y=logcx,y=log/X的圖象，a,4c,d的關(guān)系是（）

I

A.a<b<d<cB.b<a<c<d

C.d<c<a<bD.c<d<a<b

解：如圖所示，在第一象限中，隨著底數(shù)的增大，函數(shù)的圖象向x軸靠近，

可知OVcVdVIVaVb,故選：D.

23.如圖，曲線G，C2,C3,C4分別對(duì)應(yīng)函數(shù)歹=l°g%x，J=logfl2x,y=log〃產(chǎn)，歹=log“產(chǎn)的圖

A.%〉。3〉1〉。2〉％〉0B.%〉。4>1>%〉。2〉0

C.4〉％〉1〉。4〉。3〉0D.%〉出>1>。3〉。4〉0

解：作直線y=i,它與各曲線G，C2,C3,C4的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是各對(duì)數(shù)的底數(shù)，由此可判斷出各底數(shù)

的大小必有：％〉。3〉1〉。2〉。1〉°?故選：A

24.如圖所示的曲線G，C2,C3,C4分別是函數(shù)y=log.x,J=log；,%,j=logfx,y=log/X的圖象,

則a,仇c,d的大小關(guān)系是（

Ci

7G

i

X

O

-1

A.d<c<b<aB.c<d<a<b

C.b<a<c<dD.c<d<b<a

解：作直線y=l,分別與這四條曲線交于點(diǎn)4民C。，如下圖所示

由log.x=l,解得x=a；log/=l,解得X=b；log°x=l,解得x=c；log,/X=l,解得x=d則

A(c,1),C(a,l),D(b,1)由圖象可知，對(duì)應(yīng)的底數(shù)為c<d<a<b.

故選：B

25、如圖是指數(shù)函數(shù)①歹=/；②>=公；③y=-；④y=小的圖象，則“c,d與1的大小關(guān)系是(

A.a<b<\<c<dB.b<a<\<d<cC.\<a<b<c<dD.a<b<1<d<c

解：根據(jù)函數(shù)圖象可知函數(shù)①y=優(yōu)；②>=//為減函數(shù)，且x=l時(shí)，②y=Z/(①y=

所以b<a<l,

根據(jù)函數(shù)圖象可知函數(shù)③歹=/；④y=為增函數(shù)，且x=l時(shí)，③>=〃>④>=4，

所以c>d>1故選：B

26.已知在同一坐標(biāo)系下，指數(shù)函數(shù)）/=^和》=//的圖象如圖，則下列關(guān)系中正確的是（）

考點(diǎn)04:指對(duì)數(shù)函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題

指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

函數(shù)y=axy=ax

a>l0<a<l

Viy=ax

圖象__y=1

O|1~~*oi~~*

最特殊點(diǎn)a"=a即x==a圖象都過(guò)(1,a)

①定義域R值域（0,+s）

性質(zhì)②/=1即當(dāng)x=0,y=l圖象都過(guò)定點(diǎn)（0,1）,

③即不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

對(duì)數(shù)④當(dāng)x>0時(shí)，y>l；當(dāng)x<0時(shí)，0勺<1④當(dāng)x<0時(shí)，y>l；當(dāng)x>0時(shí)，0勺<1函數(shù)

的圖象與

⑤在(一8,+8)上是增函數(shù)⑤在(一CO,+00)上是減函數(shù)

性質(zhì)

由于對(duì)數(shù)圖象是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，所以對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象只需由相應(yīng)的指數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)即可,

當(dāng)然也分a>1和0<a<1兩種情況討論，討論如下

a>\OVQVI

學(xué)

｝X=1

［尸=log,rr1

圖象'0())

。心0)*o

1)=log/

①定義域：(0,+◎

②值域：R

性質(zhì)③當(dāng)x=l時(shí)，y=0,即過(guò)定點(diǎn)(1,0)

④當(dāng)%>1時(shí)，y>0；當(dāng)時(shí)，產(chǎn)0④當(dāng)%>1時(shí)，y<0；當(dāng)時(shí)，y>0

⑤在(0,+8)上是增函數(shù)⑤在(0,+◎上是減函數(shù)

27.函數(shù)/1(x)=aZ-3的圖象過(guò)定點(diǎn)A,且定點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程+即+2=0,其中加>0,〃>0,則

工1+34的最小值為()

mn

A.6+4亞B.9C.5+2V2D.8

【答案】B

【分析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出定點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可得到機(jī)+力=1,再由乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.

【詳解】對(duì)于函數(shù)/(力=優(yōu)+2-3,令x+2=0,即》=-2時(shí)/(-2)=尸+2一3=-2,

所以函數(shù)〃x)=/2-3的圖象恒過(guò)定點(diǎn)4-2,-2),

又定點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程加x+即+2=0,所以-2%-2"+2=0,即加+〃=1,

又心0,〃>0,所以工+色=(加+”)[工+3]=5+，+網(wǎng)25+2,^^=9,

mnn)mn\mn

當(dāng)且僅當(dāng)己Yl=劃4H7，即時(shí)1取2等號(hào)，

mn33

14

.??〃+總的最小值為9.

mn

故選：B.

28.已知函數(shù)/（x）=2+/i（a＞。且的圖象恒過(guò)定點(diǎn)尸，則尸點(diǎn)的坐標(biāo)為（）.

A.（0,2）B.（2,3）

C.（2,4）D.（4,0）

【答案】B

【分析】

由指數(shù)型函數(shù)所過(guò)的定點(diǎn)求解即可.

【詳解】令2》一4=0,解得x=2,貝1]/（2）=2+/*2-4=2+?！?3,即過(guò)定點(diǎn)（2,3）.

故選：B

29.函數(shù)〃x）=2/T-l（a＞0,且恒過(guò)定點(diǎn)（）

A.（1,-1）B.（1,1）C.（0,1）D.（0,-1）

【答案】B

【分析】

根據(jù)/=1（。＞0,月.awl）求出x的值，代入/（x）求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即可得出函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo).

【詳解】由己知得==

由此可知函數(shù)/（x）恒過(guò)定點(diǎn)（U）,

故選：B.

30.函數(shù)=且的圖象恒過(guò)定點(diǎn)加，則2為（）

A.B.（0,2）C.（0,1）D.加

【答案】A

【分析】令"上的指數(shù)為0即可得到答案.

【詳解】對(duì)于函數(shù)/（x）,令2xT=0,可得x=；,則a。+1=2,

所以，函數(shù)=a*+1（。＞0且。力1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)為1g2].

故選：A

31.已知函數(shù)歹=2+1。8“(％-1)(0>0且。力1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)人，且A點(diǎn)在直線〃叱-歹+”=0(〃2,〃>0)上,

則2加+(血)”的最小值是()

萬(wàn)

A.472B.272C.2D.—

2

【答案】B

【分析】函數(shù)y=bg.(x-l)+2的圖象恒過(guò)定點(diǎn)4(2,2),進(jìn)而可得2加+〃=2,結(jié)合基本不等式和指數(shù)的運(yùn)

算性質(zhì)進(jìn)而得到答案.

【詳解】當(dāng)x=2時(shí)，log,(x-l)+2=2,

故函數(shù)y=log.(x-1)+2的圖象恒過(guò)定點(diǎn)”(2,2),

由點(diǎn)/(2,2)在直線加x-y+”=0上，則2加+”=2,

故2a+(何=2旭+2己22獷工2后，

當(dāng)且僅當(dāng)〃?=；=g等號(hào)成立，故2"+(直)”的最小值是2后.

故選：B

32.函數(shù)了=。㈤-2(°>0,。片1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A,且點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程優(yōu)x+盯+1=0,其中加>0,

21

?>0,則一+一的最小值為()

mn

A.7B.6C.3+2亞D.2+72

【答案】C

【分析】先利用必過(guò)定點(diǎn)確定A的坐標(biāo)，后利用基本不等式T的代換處理即可.

【詳解】在了=。加一2伍>0,。*1)中，當(dāng)x=-l時(shí),了=一1,故

將代入直線方程中，化簡(jiǎn)得加+〃=1,

故(加+〃)(2+!)=2+1+也+323+2心?竺=3+2后,

mnmn\mn

7i

當(dāng)且僅當(dāng)'加2=2n2，時(shí)取等，即一+一的最小值為3+2/.

mn

故選：C

33.當(dāng)a>0且g1時(shí)，函數(shù)/(力=/2。23+2023恒過(guò)定點(diǎn)()

A.(2022,2023)B.(2023,2024)C.(2024,2025)D.(2025,2026)

【答案】B

【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】當(dāng)x=2023時(shí)，/（2023）=/。23-2。23+2023=2024,與a無(wú)關(guān),

則函數(shù)/（x）恒過(guò)定點(diǎn)（2023,2024）.

故選：B.

22

34.已知函數(shù)/3=108“（3》-2）+百（°>0,叱1）圖象恒過(guò)的定點(diǎn)在雙曲線上-乙=1的一條漸近線上，雙

2m

曲線離心率為e,則機(jī)-e等于（）.

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】先利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)“X）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)小月），代入雙曲線的漸近線方程，求得

"=6,結(jié)合離心率的定義，即可求解.

【詳解】由函數(shù)/（x）=logo（3x-2）+g（a>0,aNl）,

令3x-2=l,可得x=l,M/（1）=V3,所以函數(shù)/'（x）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)（1,6）,

又由雙曲線=1的一條漸近線方程為>=半工，

2m72

將點(diǎn)（1,追）代入漸近線方程，可得力=解得m=6,

所以雙曲線的離心率為e=￡=且*=2,所以力-e=4.

aV2

故選：C.

22

35.若函數(shù)y=log“（x-2）+l（a>0,且。w1）的圖象所過(guò)定點(diǎn)恰好在橢圓上+匕=1（機(jī)>0,〃>0）上，則加+〃

mn

的最小值為（）

A.6B.12C.16D.18

【答案】C

【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)求出定點(diǎn)，根據(jù)定點(diǎn)在橢圓上，將定點(diǎn)代入橢圓方程，得到m與n的等量關(guān)系,

再利用基本不等式即可求解.

【詳解】由題意得，函數(shù)y=log“（x-2）+l（a>0,且。片1）的圖象所過(guò)定點(diǎn)為（3,1）,貝仁+上=1,

mn

匚匚I、I(9119nm。9〃冽

所以加+〃=(機(jī)+〃)——F—=1A0H----1——>10+2./——=16,

\mn)mn\mn

9Hm

當(dāng)且僅當(dāng)把=竺，即加=12,”=4時(shí)等號(hào)成立.

mn

故選：C.

36.函數(shù)〃x)=log,(4x-3)(a>0且"1)的圖象所過(guò)的定點(diǎn)為()

A.(1,0)c.(M)

【答案】A

【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=log/4x-3)(a>0且"1),

令4x-3=l,解得x=l,則/(l)=log,l=0,

所以/(x)的圖象所過(guò)的定點(diǎn)為(1,0).

故選：A.

考點(diǎn)05:涉及指對(duì)數(shù)分段函數(shù)判斷參數(shù)的取值范圍

形如：G(如=<(、

g(x),x>m

①如果G(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，滿足：/(x)為遞增函數(shù)，g(x)為遞增函數(shù),g{m)>f(m).

②如果G(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，滿足：/(x)為遞減函數(shù)，g(x)為遞減函數(shù)，g(m)<f(m).

③如果G(x)由最大值，滿足：/(x)為遞增函數(shù)，g(x)為遞減函數(shù)，g(m)<f(m).

④如果G(x)由最小值，滿足：/(x)為遞減函數(shù),g(x)為遞增函數(shù),g[m)>f{m).

形如：G\x)—/\

g[xyx>m

①如果G(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，滿足：/(X)為遞增函數(shù)，g(x)為遞增函數(shù)，g(m)>f(m).

②如果G(x)為單調(diào)遞減函數(shù)，滿足：/(x)為遞減函數(shù)，g(x)為遞減函數(shù)，g(m)</(m).

③如果G(x)由最大值，滿足：/(x)為遞增函數(shù)，g(x)為遞減函數(shù)，g(m)<f(m).

④如果G(x)由最小值，滿足：/(x)為遞減函數(shù)，g(x)為遞增函數(shù)，g(m)>f(m).

[3、logJax--4x+4,X>1/(x,)-/(x.)

37.已知/(x)=')在(—00,+oo)上滿足/、2/J、"〉0,則b的取值范圍為

(3-a)x+b,x<1x2-xx

()

A.(-0o,0)B.[1,+℃)C.(-1,1)D.

解：第一步：因?yàn)?(x)在(-叫+°°)上滿足/(％)_/("J〉0,即函數(shù)/(X)在(-00,+00)上單調(diào)遞增，

一

a

第二步：所以?！?恒成立，即24a<3且—2恒成立，即b的取值范圍為(—8,1),故

logaa>3-a-\-b

3—>0

選D.

“、(l-2a)x+a,x<2

38.函數(shù)/(x)=〈、、在及上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

loga(x-V),x>2

2

B.C.D.

23

(1—2Q)X+Q,x<2

解：第一步：函數(shù)/(x)=<在7?上單調(diào)遞減,

x>2

1—2。<0

1?

第二步：需〈0<6Z<1,解得一<aS—.故選:B.

23

2—3a20

w

log1(3-x),x<l5

39.若函數(shù)/(x)=\3的值域?yàn)镽,則加的取值范圍為()

%2一6%+加,工21

9Q

A.(0,8]B.(0,—]C.[―,8]D.(—00,—1]D(O,

解：第一步：①若根>0時(shí)，則當(dāng)x<l時(shí)，/(x)=/°gL(3-x)“'單調(diào)遞增，

2

當(dāng)工21時(shí),/(x)=x2-6x+m=(x-3)2+加一9在(3,+oo)上單調(diào)遞增，

在［1,3)上單調(diào)遞減，

若函數(shù)值域?yàn)镽則需〃3)=嚕/初。臥3—)=?！獾谩?聯(lián)g

第二步：②若加WO時(shí)，則當(dāng)X<1時(shí)，/（x）=/og[（3_x）m單調(diào)遞減,

2

當(dāng)x2l時(shí)，/（》）=》2-6%+機(jī)=（》-3）2+機(jī)-9在（3,+8）上單調(diào)遞增，在[1,3）上單調(diào)遞減，不滿足函

數(shù)值域?yàn)榛穑环项}意，舍去,

9

綜上：陽(yáng)的取值范圍為（0,

故選：B

40.已知函數(shù)/（x）=Sa—:在R上單調(diào)，則。的取值范圍為（

)

[~x+a,x<1

、

B.。,+8)C.D.[l,+oo)

7

八/、[log,,x-3a,x>1八/、

解：；/(x)={°又?.?當(dāng)xWl時(shí),/(x)=T+a是單調(diào)遞減函數(shù)

—X+6Z,XS1

/（X）在火上是單調(diào)遞減函數(shù)根據(jù)分段函數(shù)的在定義域單調(diào)遞減，即要保證每段函數(shù)上單調(diào)遞減,也要保

證在分界點(diǎn)上單調(diào)遞減可得：

第二步：二工八?！?解得：.故選:A.

（logfll）-3a<-l+a4J

2m2-x+l,x>0

41.已知函數(shù)/（x）=L…1八的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

2

logA（x+-）,x<0

A.（0,—）B.（0,—]C.（―,+co）D.中+°°）

解：由題，當(dāng)xWO時(shí),％2+,之工則/（x）=logi―+=〈log]￡=1,

22八j2

因?yàn)?（X）的值域?yàn)镽,則當(dāng)X>0時(shí)，需滿足/（x）mm<1,即（蘇-X+l）^<0，且/（x/x-+以當(dāng)

a=o時(shí),/（力=2-a飛（0,2）,舍去；

當(dāng)a>0時(shí)，設(shè)t^ax--x+l，則對(duì)稱(chēng)軸為/=,〉0,則A=1—4a20,即aVL

2a4

當(dāng)a<0時(shí),/（x）有最大值，故舍去綜上,0<a故選：B

“、2x+a+2(x<l)

42、設(shè)函數(shù)/(x)=有最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

-log2(x+l),(x>l)

A.[0,oo]B.[-5,1]