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認(rèn)證類型：個(gè)人認(rèn)證

認(rèn)證主體：李**（實(shí)名認(rèn)證）

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IP屬地：河北 上傳時(shí)間：2024-11-10 格式：DOCX 頁(yè)數(shù)：34 大小：489.17KB 積分：6 舉報(bào) 版權(quán)申訴

PAGE1第04講函數(shù)的概念及其表示（7類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析2024年天津卷，第15題,5分函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍已知方程求雙曲線的漸近線2023年天津卷，第15題,5分根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍2021年天津卷，第9題,5分根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍2020年天津卷，第9題,5分根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題靈活，難度有高有低，分值為5分及以上【備考策略】1.理解、掌握函數(shù)的概念，能夠判斷相同函數(shù)2.能掌握函數(shù)解析式的就發(fā)以及分段函數(shù)的求值與不等式等問題3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)，會(huì)借助函數(shù)圖像，分析最值與值域問題【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容，一般給出函數(shù)的解析式，要求函數(shù)值與取值范圍等.知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)一.函數(shù)的概念1.定義函數(shù)兩集合A、B設(shè)A，B是兩個(gè)非空數(shù)集對(duì)應(yīng)關(guān)系f：A→B如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)名稱稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)記法y＝f(x)，x∈A2.函數(shù)的有關(guān)概念（1）函數(shù)的定義域、值域：在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．（2）函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域．（3）函數(shù)的表示法：表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法．知識(shí)點(diǎn)二.分段函數(shù)的定義定義：在函數(shù)的定義域內(nèi)，對(duì)于自變量x的不同取值區(qū)間，函數(shù)有不同的解析式，這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)．分段函數(shù)因其特點(diǎn)可以分成兩個(gè)或多個(gè)區(qū)間及其相應(yīng)的解析式，分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)．分段函數(shù)的定義域是各段x取值集合的并集．考點(diǎn)一、函數(shù)關(guān)系的判斷1.（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若函數(shù)y=fx的定義域?yàn)锳=x0≤x≤2，值域?yàn)锽=A． B．C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)定義判斷即可得.【詳解】由函數(shù)定義可排除C，由值域?yàn)锽=y只有D選項(xiàng)為定義域?yàn)锳=x0≤x≤2，值域?yàn)楣蔬x：D.2.（23-24高三上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A為某封閉圖形邊界上一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿其邊界順時(shí)針勻速運(yùn)動(dòng)一周．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x，線段AP的長(zhǎng)度為y，表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖所示，則該封閉圖形可能是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圖形的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)圖象的特點(diǎn)逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象可知：函數(shù)圖象具有對(duì)稱性，故C錯(cuò)誤；對(duì)于A：由等邊三角形可知：線段AP的長(zhǎng)度先增大再減小，再增大，后減小，故A錯(cuò)誤；對(duì)于D：由圓可知：線段AP的長(zhǎng)度不會(huì)是線性變化，故D錯(cuò)誤；對(duì)于C：由正方形可知：線段AP的長(zhǎng)度先增大再減小，且一開始線性增大，符合題意，故B正確；故選：B.1.（22-23高三·全國(guó)·對(duì)口高考）已知函數(shù)f(x),x∈F，那么集合{(x,y)|y=f(x),x∈F}∩{(x,y)|x=1}中所含元素的個(gè)數(shù)有.【答案】0或1.【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為x=1與y=f(x),x∈F的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的定義，即可求解.【詳解】由集合{(x,y)|y=f(x),x∈F}∩{(x,y)|x=1}中所含元素的個(gè)數(shù)，即為直線x=1與y=f(x),x∈F的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)1∈F時(shí)，此時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖象有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)1?F時(shí)，此時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖象沒有公共點(diǎn)，所以集合{(x,y)|y=f(x),x∈F}∩{(x,y)|x=1}中所含元素的個(gè)數(shù)為0個(gè)或1個(gè).故答案為：0或1.2.（湖南·高考真題）給定k∈N?，設(shè)函數(shù)f:N?→N?(1)設(shè)k=1，則其中一個(gè)函數(shù)f在n=1處的函數(shù)值為；(2)設(shè)k=4，且當(dāng)n≤4時(shí)，2≤f(n)≤3，則不同的函數(shù)f的個(gè)數(shù)為．【答案】正整數(shù)16【分析】(1)n=k=1，題中給出的條件“大于k的正整數(shù)n”不適合，但函數(shù)值必須是一個(gè)正整數(shù)，故f(1)的值是一個(gè)正整數(shù)；(2)k=4，且n?4，與條件“大于k的正整數(shù)n”不適合，故f(n)的值在2、3中任選其一，求出所有可能的組合數(shù)即可得不同函數(shù)的個(gè)數(shù)．【詳解】(1)∵函數(shù)f:N?→N?(2)∵函數(shù)f:N?→又n≤4時(shí)，2≤f(n)≤3，故n≤4時(shí)，f(n)∈{2，3}，即f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的取值可能是2或3，則共2×2×2×2＝24∴不同的函數(shù)f的個(gè)數(shù)為16.故答案為：正整數(shù)；16．3.（23-24高三上·上海閔行·期中）設(shè)曲線C與函數(shù)f(x)=324x3(0<x≤t)的圖像關(guān)于直線y=3x【答案】(0,【分析】設(shè)l是f(x)=324x3(0<x≤t)在點(diǎn)Mt,324t3處的切線，進(jìn)而根據(jù)題意得直線l關(guān)于y=3【詳解】設(shè)l是f(x)=324x因?yàn)榍€C與函數(shù)f(x)=324x所以直線l關(guān)于y=3x對(duì)稱后的直線方程必為x=a，曲線如圖所示直線y=3x與x=a的角為π6，所以l

所以l的方程為l:y=故聯(lián)立方程得y=33(x?t)+則(x?t)(x2+xt+t2所以t=所以t的取值范圍為(0,2故答案為：(0,4.（22-23高三上·上海靜安·期中）已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)閧a,b,c}，值域?yàn)閧?2,?1,0,1,2}的子集，則滿足f(a)+f(b)+f(c)=0的函數(shù)y=f(x)的個(gè)數(shù)為（

）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】D【分析】對(duì)fa、fb、fc【詳解】解：分以下幾種情況討論：①當(dāng)fa、fb、fc全為0②當(dāng)fa、fb、fc中有兩個(gè)為?1，一個(gè)為2③當(dāng)fa、fb、fc中有兩個(gè)為1，一個(gè)為?2④當(dāng)fa、fb、fc三者都不相等時(shí)，可分別取值為?1、0、1⑤當(dāng)fa、fb、fc三者都不相等時(shí)，可分別取值為?2、0、2綜上所述，滿足條件的函數(shù)y=fx的個(gè)數(shù)為1+3+3+6+6=19故選：D.考點(diǎn)二、相同函數(shù)的判斷1.（全國(guó)·高考真題）與函數(shù)y=x有相同圖象的一個(gè)函數(shù)是（

）A．y=x2 C．y=alogax，其中a>0,a≠1 【答案】D【分析】選項(xiàng)A圖象為折線判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B圖象上無(wú)原點(diǎn)(0,0)判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)圖象為無(wú)端點(diǎn)射線判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D可化為y=x與函數(shù)y=x有相同圖象判斷正確.【詳解】選項(xiàng)A：y=x選項(xiàng)B：y=x2x選項(xiàng)C：y=a選項(xiàng)D：y=logaa故選：D2.（23-24高三上·河南濮陽(yáng)·階段練習(xí)）下列函數(shù)中，與函數(shù)fxA．fx=(C．fx=3【答案】C【分析】由同一函數(shù)的定義依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】解：函數(shù)fx=x，定義域?yàn)檫x項(xiàng)A中fx=(選項(xiàng)B中fx=x選項(xiàng)C中fx=3x3選項(xiàng)D中ft=t故選：C.1.（2020·天津·模擬預(yù)測(cè)）下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（

）A．y=x+1與y=x2+xx C．fx=∣x∣與gx=n【答案】D【分析】對(duì)于A：由定義域不同,即可判斷；對(duì)于B：由定義域不同，即可判斷；對(duì)于C：由對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，即可判斷；對(duì)于D：對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，定義域相同，可以判斷為同一函數(shù).【詳解】對(duì)于A：y=x+1的定義域?yàn)镽，y=x2+x對(duì)于B：fx=x2(對(duì)于C：fx=∣x∣，對(duì)于對(duì)于D：fx=x定義域?yàn)镽,故選：D2．（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）下列選項(xiàng)中表示同一函數(shù)的是（

）A．fx=B．fx=xC．fx=D．fx=【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)三要素，即定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域，三者只要有一個(gè)不相同，函數(shù)即不是同一函數(shù)，由此一一判斷各選項(xiàng)，即得答案.【詳解】對(duì)于A，fx=x0的定義域?yàn)楣识卟皇峭缓瘮?shù)；對(duì)于B，fx=x的定義域?yàn)镽，與gx故二者不是同一函數(shù)；對(duì)于C，fx=x?2023故二者不是同一函數(shù)；對(duì)于D，gx=x故二者為同一函數(shù)，故選：D3．（2023高三·全國(guó)·專題練習(xí)）下列每組中的函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（

）A．fx=x，gx=C．fx=?2x3，g【答案】B【分析】根據(jù)相同函數(shù)的定義進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A，函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，函數(shù)g對(duì)于B，因?yàn)間x=x2=對(duì)于C，fx=?2x3對(duì)于D，函數(shù)fx的定義域?yàn)閧xx∈R，且x≠3}，函數(shù)所以這兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù).故選：B.4．（22-23高三·全國(guó)·課后作業(yè)）以下四個(gè)命題：①當(dāng)n=0時(shí)，函數(shù)y=x②函數(shù)y=x2和③若定義域?yàn)镽的函數(shù)y=fx是奇函數(shù)，則f④已知函數(shù)y=fx在區(qū)間a,b上的圖象是一段連續(xù)曲線，若fa?fb>0其中，真命題的個(gè)數(shù)為（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】判斷n=0是函數(shù)y=xn的圖象形狀，判斷①；根據(jù)函數(shù)y=x2和y=elnx【詳解】當(dāng)n=0時(shí)，函數(shù)y=x0,定義于為故此時(shí)函數(shù)圖象為直線y=1上挖去點(diǎn)(0,1)，①錯(cuò)誤；函數(shù)y=x2的定義域?yàn)镽，函數(shù)y=e故函數(shù)y=x2和y=e若定義域?yàn)镽的函數(shù)y=fx是奇函數(shù)，則f(?0)=?f(0)，則f0=0函數(shù)y=fx在區(qū)間a,b上的圖象是一段連續(xù)曲線，若f不妨取fx=x2?3x當(dāng)fx=x2?3x故真命題的個(gè)數(shù)為1，故選：A考點(diǎn)三、函數(shù)解析式的求法1.（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x+1)=x?4，則【答案】x【分析】利用換元法，結(jié)合已知函數(shù)解析式，即可求得fx【詳解】令x+1=t(t≥1)，則x=于是有f(t)=(t?1)2?4=故答案為：x2.（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知fx滿足2f(x)+f(?x)=3x，求f【答案】f(x)=3x【分析】列方程組法求函數(shù)的解析式.【詳解】對(duì)于任意的x都有2f(x)+f(?x)=3x，所以將x替換為?x，得2f(?x)+f(x)=?3x，聯(lián)立方程組：2f(x)+f(?x)=3x2f(?x)+f(x)=?3x，消去f(?x)，可得f(x)=3x1.（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知fx為二次函數(shù)且f0=3，fx+2?f【答案】x【分析】根據(jù)條件設(shè)二次函數(shù)為fx【詳解】設(shè)fx∵fx+2∴fx+2∴4a=4又f0∴fx故答案為：x2.（23-24高三下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）若函數(shù)fcosx=A．?2 B．?1 C．1 D．2【答案】B【分析】由二倍角公式結(jié)合換元法求出函數(shù)解析式即可求解.【詳解】因?yàn)閒所以fx則f1所以f(f(1故選：B.3.（安徽·高考真題）若f(sinx)=2?cosA．2?sin2x B．2+sin2x C．【答案】D【分析】首先利用二倍角公式化簡(jiǎn)求出fx，再利用二倍角變形即可求得f(【詳解】∵fsin∴fx=1+2x故選：D4.（湖北·高考真題）已知f(1?x1+x)=A．f(x)=x1+xC．f(x)=2x1+x【答案】C【解析】令1?x1+x【詳解】令1?x1+x得x=1?t∴f(t)=1?∴f(x)=2x故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查利用換元法求函數(shù)解析式，屬簡(jiǎn)單題.5.（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知fx為定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)?x∈R,ffxA．3ln2 C．3?ln2 【答案】B【分析】根據(jù)題意，設(shè)fx?ex=t，用ft求【詳解】設(shè)fx?e所以ft=e設(shè)gx=x+lnx(x>0)，易知所以et=2，即故fx=e故選：B．6.（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）設(shè)fx是定義在R上的單調(diào)增函數(shù)，且滿足f?1?x+fx=?7，若對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)x都有f【答案】2021【分析】利用賦值法求解，令t=fx+1fx+3?x?1x【詳解】令t=fx+1令x=t，則t=ft+1ft而f?1?x+fx=?7，則f?1?則?1=fx即fx因此fx+3?x=0或當(dāng)xfx+3=1時(shí)，當(dāng)fx則f2024故答案為：2021【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解抽象函數(shù)解析式問題的方法：（1）若根據(jù)已知可推知函數(shù)模型時(shí)，可利用待定系數(shù)法求解；（2）若無(wú)法推知函數(shù)模型，一般結(jié)合賦值法，通過解方程（組）法求解．其中，方程或者是已知的，或者是利用已知的抽象函數(shù)性質(zhì)列出的，或者是利用已知方程變換出來的．考點(diǎn)四、分段函數(shù)求值1.（山東·高考真題）設(shè)fx=2A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，先計(jì)算f(2)的值，再根據(jù)其大小范圍代入相應(yīng)的解析式中求得答案.【詳解】f(2)=log故ff故選：C2.（2024·上?！じ呖颊骖}）已知fx=x,x>01,x≤0【答案】3【分析】利用分段函數(shù)的形式可求f3【詳解】因?yàn)閒x=x故答案為：3.1.（2022·浙江·高考真題）已知函數(shù)f(x)=?x2+2,????x≤1,x+1x?1,????x>1,則【答案】37283+3【分析】結(jié)合分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值，由條件求出a的最小值,b的最大值即可.【詳解】由已知f(12)=?所以ff(當(dāng)x≤1時(shí)，由1≤f(x)≤3可得1≤?x2+2≤3當(dāng)x>1時(shí)，由1≤f(x)≤3可得1≤x+1x?1≤31≤f(x)≤3等價(jià)于?1≤x≤2+3，所以[a,b]?[?1,2+所以b?a的最大值為3+3故答案為：3728，3+2.（2021·浙江·高考真題）已知a∈R，函數(shù)f(x)=x2?4,x>2x?3+a,x≤2,若【答案】2【分析】由題意結(jié)合函數(shù)的解析式得到關(guān)于a的方程，解方程可得a的值.【詳解】ff6=f故答案為：2.3.（23-24高三下·遼寧丹東·開學(xué)考試）已知函數(shù)fx=12【答案】45/【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)閒x所以f2020故答案為：44.（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=2x,x<0sin(2x+【答案】2【分析】判斷所在區(qū)間，再代入計(jì)算即得.【詳解】依題意，f(π所以f[f(π故答案為：25.（23-24高三上·北京海淀·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=2x?1,x≤0【答案】0【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式進(jìn)行求值.【詳解】依題意，fx所以f=log故答案為：06.（22-23高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=log31?x【答案】6【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，代入自變量，化簡(jiǎn)求值.【詳解】f?2=log所以f(?2)+flog故答案為：67.（23-24高三上·天津南開·階段練習(xí)）設(shè)fx=ax,x≥0logax2+a【答案】23【分析】根據(jù)f2=4求出a=2，從而fx【詳解】∵fx=ax,x≥0logax2+a∴f?2故答案為：2，3.考點(diǎn)五、分段函數(shù)的應(yīng)用1.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=sinπA．?1 B．0 C．12 【答案】D【分析】結(jié)合函數(shù)的周期性和正弦函數(shù)值解出即可.【詳解】由題意知f2024故選：D．2.（2022·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)f(x)=?ax+1,????x<a,(x?2)2,????【答案】0（答案不唯一）1【分析】根據(jù)分段函數(shù)中的函數(shù)y=?ax+1的單調(diào)性進(jìn)行分類討論，可知，a=0符合條件，a<0不符合條件，a>0時(shí)函數(shù)y=?ax+1沒有最小值，故f(x)的最小值只能取y=(x?2)2的最小值，根據(jù)定義域討論可知?a2+1≥0【詳解】解：若a=0時(shí)，f(x)={1(x?2)2,x<0若a<0時(shí)，當(dāng)x<a時(shí)，f(x)=?ax+1單調(diào)遞增，當(dāng)x→?∞時(shí)，f(x)→?∞，故若a>0時(shí)，當(dāng)x<a時(shí)，f(x)=?ax+1單調(diào)遞減，f(x)>f(a)=?a當(dāng)x>a時(shí)，f∴?a2+1≥0解得0<a≤1，綜上可得0≤a≤1；故答案為：0（答案不唯一），11.（2018·浙江·高考真題）已知λ∈R，函數(shù)f(x)=x?4,x≥λx2?4x+3,x<λ，當(dāng)λ=2時(shí)，不等式f(x)<0的解集是【答案】(1,4)(1,3]∪(4,+∞)【詳解】分析:根據(jù)分段函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)不等式組，分別求解，最后求并集.先討論一次函數(shù)零點(diǎn)的取法，再對(duì)應(yīng)確定二次函數(shù)零點(diǎn)的取法，即得參數(shù)λ的取值范圍.詳解：由題意得x≥2x?4<0或x<2x2?4x+3<0，所以2≤x<4或1<x<2當(dāng)λ>4時(shí)，f(x)=x?4>0，此時(shí)f(x)=x2?4x+3=0,x=1,3，即在(?∞,λ)上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)λ≤4時(shí)，f(x)=x?4=0,x=4，由f(x)=x2?4x+3在(?∞,λ)上只能有一個(gè)零點(diǎn)得點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．2.（2024·天津·二模）設(shè)a∈R，函數(shù)fx=1x?a+1+a,x<ax2?2【答案】0,【分析】對(duì)不同情況下的a分類，然后分別討論fx相應(yīng)的零點(diǎn)分布，即可得到a【詳解】本解析中，“至多可能有1個(gè)零點(diǎn)”的含義是“零點(diǎn)個(gè)數(shù)不超過1”，即不可能有2個(gè)不同的零點(diǎn)，并不意味著零點(diǎn)一定在某些時(shí)候存在1個(gè).當(dāng)a≤0時(shí)，只要x≠a+1，就有x2故fx在a,+∞上至多可能有1個(gè)零點(diǎn)，從而在當(dāng)a>3時(shí)，有x2所以fx在a,+而若1x?a+1+a=0，則只可能x=a?1a?1故fx在R上至多可能有1個(gè)零點(diǎn)，從而在0,+當(dāng)0<a<3時(shí)，解1x?a+1+a=0可得到x=a?1a?1從而x=a?1a?1確為f再解方程x2?2a+1可得兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x=a+1±a而fa=a故x=a+1+a3?a確為fx而當(dāng)且僅當(dāng)a2?3a+1≥0時(shí)，另一根x=a+1?a3?a是條件為fx在區(qū)間0,+∞內(nèi)恰有2個(gè)零點(diǎn)，從而此時(shí)恰有兩種可能：a?1解得a∈0,當(dāng)a=3時(shí)，驗(yàn)證知fx恰有兩個(gè)零點(diǎn)53和綜上，a的取值范圍是0,3?故答案為：0,【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于需要分較多的情況討論，不重不漏、細(xì)致討論方可得解.3.（2024·北京西城·二模）已知函數(shù)fx=x2+2x,x<?2①若函數(shù)g(x)無(wú)零點(diǎn)，則a的一個(gè)取值為；②若函數(shù)g(x)有4個(gè)零點(diǎn)xi?(?i=1【答案】???1【分析】①結(jié)合函數(shù)fx的圖象，函數(shù)g(x)無(wú)零點(diǎn)，即y=f(x)與y=a的圖象無(wú)交點(diǎn)，所以可得到a的一個(gè)取值；②由圖象對(duì)稱，即可算出x【詳解】畫函數(shù)fx①函數(shù)g(x)=f(x)?a無(wú)零點(diǎn)，即f(x)?a=0無(wú)解，即y=f(x)與y=a的圖象無(wú)交點(diǎn)，所以a<0，可取a=?1；②函數(shù)g(x)有4個(gè)零點(diǎn)，即f(x)?a=0有4個(gè)根，即y=f(x)與y=a的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，由x1、x4關(guān)于x2、x3關(guān)于所以x1故答案為：?1；?2.4.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=?1x,x<0ex?2,x≥0【答案】2【分析】設(shè)fx1=fx2=t，可得【詳解】設(shè)fx1=fx2=t，即?1所以x1=?1t，令gt則g'所以當(dāng)t∈0,2時(shí)，g't當(dāng)t∈2,+∞時(shí)，g'所以當(dāng)t=2時(shí)，gt取得最小值，為g即x2?x故答案為：2ln5.（22-23高三上·河北衡水·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=1,x<0x2【答案】x【分析】根據(jù)題意,先將f1?【詳解】f1?x2當(dāng)x<?1時(shí),f1?x2當(dāng)?1≤x<0時(shí),1=1?x2當(dāng)x>1時(shí),x2當(dāng)0≤x≤1時(shí),x2+1=1?所以方程f1?x2=fx故答案為:xx=考點(diǎn)六、分段函數(shù)不等式1.（2024·江西南昌·二模）已知fx=?A．(?∞,2) B．(?∞,3) C．【答案】B【分析】分別在x<0,x≥0條件下化簡(jiǎn)不等式求其解可得結(jié)論.【詳解】當(dāng)x<0時(shí)，不等式f(x)<2可化為?x所以x2+2x+2>0，可得當(dāng)x≥0時(shí)，不等式f(x)<2可化為log2所以x+1<4，且x+1>0，所以0≤x<3，所以不等式f(x)<2的解集是(?∞故選：B.2.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=x+3,x<14xA．?32,1C．?1,12 【答案】A【分析】首先將不等式化為12fa2+2<f3?【詳解】由題意，得函數(shù)fx在R上單調(diào)遞增．由f得12fa所以12fa從而不等式轉(zhuǎn)化為fa所以a2+3故選:A．1.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=cosx+xA．0∪1,+∞C．0,1 D．?【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，借助導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，并分段求解不等式即得.【詳解】當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)=cosx+x22求導(dǎo)得?'(x)=1?cosx≥0，則函數(shù)?(x)，即f'函數(shù)f(x)在?∞,0上單調(diào)遞減，而f(0)=1，當(dāng)x≤0時(shí)，不等式fx當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x3+3x2?3=(x?1)(x+2)所以不等式f(x)≥1的解集為?∞故選：D2.（2024·北京東城·二模）設(shè)函數(shù)fx=1,x<1x2,【答案】1?【分析】根據(jù)題中分段函數(shù)解析式直接代入即可求ff12；分2x<1、【詳解】由題意可知：ff因?yàn)閒(x)<f(2x)，當(dāng)2x<1，即?12<x<1當(dāng)2x≥1x<1，即x∈解得x>12或x<?1當(dāng)x≥1，即x≥1或x≤?1時(shí)，則2x=2x綜上所述：不等式f(x)<f(2x)的解集是?∞故答案為：1；?∞3.（2024·湖北·一模）已知函數(shù)fx=x+1,x≤0lnx+1【答案】?【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)x≤0時(shí)，fx=x+1≤1得x≤0當(dāng)x>0時(shí)，fx=lnx+1≤1綜上：fx≤1的解集為故答案為：?∞4.（22-23高三上·北京·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=12x,x≤01?3x,x>0，則ff?1【答案】?5?【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，先求出f?1，即可得解，證明函數(shù)fx是R上的減函數(shù)，再解關(guān)于【詳解】解：由fx=1所以ff因?yàn)閥=1且當(dāng)x=0時(shí)，y=1所以函數(shù)fx是R則f2即為2a2?3<5a故答案為：?5；?15.（22-23高三上·北京海淀·期末）已知函數(shù)fx=log14x,x>02【答案】?1,【分析】對(duì)a分類討論，結(jié)合指數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式即可.【詳解】當(dāng)a>0，fa>12即當(dāng)a≤0，fa>12即故實(shí)數(shù)a的取值范圍是?1,1故答案為：?1,6.（22-23高三上·天津和平·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=2-12【答案】1,+∞【分析】分別在條件3x-1>0，3x【詳解】當(dāng)3x-1≤0時(shí)，即x≤0時(shí)，f3x-1=2-123x即當(dāng)x≤0當(dāng)3x-1>0時(shí)，即x>0時(shí)，f3x-1=123x所以不等式f3x-1故答案為：1,+∞.7.（23-24高三上·天津河北·期中）已知函數(shù)fx=21?x?2,x≤11?log【答案】[?1,1]∪[【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)，分段解不等式，即可得答案.【詳解】當(dāng)x≤1時(shí)，fx≤2即21?x當(dāng)x>1時(shí)，fx≤2即1?log2x?1故滿足fx≤2的x的取值范圍是故答案為：[?1,1]∪[考點(diǎn)七、分段函數(shù)的值域與最值1.（23-24高三下·江西吉安·期中）已知函數(shù)fx=sin12x+πA．1e B．e C．e2 【答案】C【分析】利用三角函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】易知x≤2π3時(shí)，12又y=log所以2π3<x≤c時(shí)，而?1<?ln2π3<0則c=e故選：C2.（2024·北京西城·一模）已知函數(shù)fx=x2+x,?2<x<0A．116 B．18 C．14【答案】A【分析】運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求得?2<x<0的最小值，再結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性，由題意列出不等式，求解即可.【詳解】當(dāng)?2<x<0時(shí)，f(x)=x2+x=x+1220≤x<c時(shí)，f(x)=?x單調(diào)遞減，所以?由題意f(x)存在最小值，則?c≥?14，解得0<c≤1故選：A1.（23-24高三下·內(nèi)蒙古赤峰·開學(xué)考試）已知函數(shù)fx=x2【答案】2【分析】由題意得出函數(shù)y=x2+ax【詳解】當(dāng)x≥0時(shí)，y=?x因?yàn)閒x的最小值為-1，所以函數(shù)y=x2則?a2<0故答案為：2.2.（23-24高三下·北京西城·開學(xué)考試）設(shè)定義在?1,3函數(shù)fx=1?x2,x∈?1,a,ax?1,x∈a,3.當(dāng)a=0【答案】0,1∪?1【分析】當(dāng)a=0時(shí)，分別求出各段上函數(shù)值的范圍后可得函數(shù)的值域，若fx的最大值為1，則可就?1<a<0、0<a≤1分類討論后可得實(shí)數(shù)a【詳解】因?yàn)??x2≥0，故?1≤x≤1當(dāng)a=0時(shí)，fx當(dāng)x∈?1,0時(shí)，fx=1?x2，故當(dāng)a=0時(shí)，fx的值域?yàn)?,1若fx的最大值為1，則a≠0，又?1<a≤1，故?1<a<0或0<a≤1若?1<a<0，當(dāng)x∈?1,a時(shí)，fx∈0,1?因?yàn)?1<a<0，故a2?1<0<1?若0<a≤1，當(dāng)x∈?1,a時(shí)，fx∈0,1，當(dāng)因?yàn)閒x的最大值為1，故3a?1≤1，即a≤23綜上0<a≤2故答案為：0,1∪?1；3.（23-24高三上·北京朝陽(yáng)·期末）設(shè)函數(shù)fx=1?x2,x∈?1,12x?a?2,x∈1,3，當(dāng)a=0【答案】43（答案不唯一）【分析】當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=1?x2,x∈[?1,1]2x?2,x∈(1,3]，分別求解兩部分函數(shù)最大值，然后求出函數(shù)f(x)【詳解】當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=1?當(dāng)x∈[?1,1]時(shí)，x2∈[0,1]，有1?x即當(dāng)x=0時(shí)，y=1?當(dāng)x∈(1,3]時(shí)，y=2x?2∈(0,4]，即當(dāng)x=3時(shí)，y=2x?2有最大值4；綜上，當(dāng)x=3時(shí)，f(x)=1?當(dāng)a≤1時(shí)，函數(shù)y=2x?a?2在(1,3]上單調(diào)遞增，則fx當(dāng)1<a<3時(shí)，函數(shù)y=2x?a?2在若函數(shù)f(x)無(wú)最大值，則21?a?2>23?a當(dāng)a≥3時(shí)，函數(shù)y=2x?a?2在若函數(shù)f(x)無(wú)最大值，則21?a?2>f0綜上，當(dāng)f(x)無(wú)最大值時(shí)，a>52，故實(shí)數(shù)a的一個(gè)取值為故答案為：4；3（答案不唯一）4.（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)fx=x2?2，x>a【答案】1（答案不唯一）【分析】分a<0，a≥0兩種情況分類討論可求得【詳解】當(dāng)x≤a時(shí)，fx=x3?2≤a3要使fx的值域?yàn)镽，需a3?2≥?2，即a≥0若a≥0，則當(dāng)x>a時(shí)，fx=x2?2>則a3?2≥a2?2可取a的一個(gè)值為1，答案不唯一，滿足a=0或a≥1的數(shù)都可以．故答案為：1(答案不唯一)．5.（2023·上海青浦·一模）已知函數(shù)y=x2?2x+2?,?x≥0【答案】?【分析】先求解出x≥0時(shí)fx的值域，然后根據(jù)a=0,a>0,a<0分類討論x<0時(shí)fx的值域，由此確定出【詳解】當(dāng)x≥0時(shí)，fx=x當(dāng)a=0且x<0時(shí)，fx此時(shí)fx∈?當(dāng)a>0且x<0時(shí)，fx由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性可知fx在?∞,?所以fxmax=f若要滿足fx的值域?yàn)镽，只需要3a?2a≥1當(dāng)a<0且x<0時(shí)，因?yàn)閥=x,y=ax均在所以fx=x+ax+3a在?∞,0上單調(diào)遞增，且x→0所以此時(shí)fx∈?∞,+綜上可知，a的取值范圍是?∞故答案為：?∞6.（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=x2?3x,x≤3A．?94,?C．?∞,?9【答案】C【分析】先求出分段函數(shù)的最小值；再求解不等式的解集即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=x2?3x在區(qū)間?所以當(dāng)x=32時(shí)，函數(shù)y=x又因?yàn)楹瘮?shù)y=log3x所以當(dāng)x>3時(shí)，log3綜上可得函數(shù)fx=x因?yàn)?x0∈R所以?94≤10m+4m2故選：C.1．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=2A．1 B．?1 C．?72 【答案】B【分析】利用函數(shù)fx的解析式可求得f【詳解】因?yàn)閒x=2故選：B.2．（20-21高三上·天津紅橋·期末）設(shè)函數(shù)fx=xA．0 B．3C．1 D．2【答案】C【解析】將自變量代入對(duì)應(yīng)的分段函數(shù)中，即可求得答案.【詳解】由題意得f(0)=02+2=2故選：C3．（22-23高三上·天津紅橋·期中）已知函數(shù)fx=logA．2 B．12 C．14 【答案】B【分析】根據(jù)自變量所在的范圍代入解析式求解即可.【詳解】∵fx∴f1則ff故選：B.4．（2023·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f1?x=1?A．1x?12?1C．4x?12?1【答案】B【分析】利用換元法令t=1?x，代入運(yùn)算求解即可.【詳解】令t=1?x，則x=1?t，由于x≠0，則t≠1，可得ft所以fx故選：B.5．（2024·山東泰安·二模）已知函數(shù)fx=2x+1?8,x≤1A．?1 B．?3 C．?5 D．?7【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，當(dāng)m≤1時(shí)m無(wú)解，當(dāng)m>1時(shí)解得m=7，即可求解.【詳解】由題意知，當(dāng)m≤1時(shí)，f(m)=2得2m+1=?4，又當(dāng)m>1時(shí)，f(m)=4log得log12(m+1)=?3，即m+1=8所以f(6?m)=f(?1)=2故選：D6．（22-23高三·全國(guó)·對(duì)口高考）給出下列四組函數(shù)：（1）fx=x，（2）fx=x?2，（3）fx=1（4）fx=lg其中相同的函數(shù)有（請(qǐng)?jiān)跈M線內(nèi)填序號(hào)）．【答案】（3）（4）【分析】由函數(shù)定義域可判斷（1）；由函數(shù)對(duì)應(yīng)法則可判斷（2）；由反函數(shù)的概念可判斷（3）；由對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則可判斷（4）.【詳解】（1）中，fx=x的定義域?yàn)閤∈R，g兩個(gè)函數(shù)定義域不同，所以不是同一函數(shù)；（2）中，fx=x?2，兩個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)法則不相同，所以不是同一函數(shù)；（3）中，fx=1（4）中，fx易知兩函數(shù)是相同函數(shù).故答案為：（3）（4）7．（20-21高三上·天津?yàn)I海新·階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=x2+1,x≤0【答案】(?∞,?1]∪(0,1]【分析】分別討論x≤0和x>0兩種情況，代入不同的解析式，求得各自解集，綜合即可得答案.【詳解】當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)=x2+1≥2，解得x≤?1或當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=?x+3≥2，解得x≤1，所以0<x≤1，綜上：自變量x的取值范圍為(?∞,?1]∪(0,1]1．（23-24高二下·福建三明·階段練習(xí)）下列各組函數(shù)相等的是（

）A．fx=x2，gxC．fx=1，gx=x【答案】D【分析】分別求每個(gè)選項(xiàng)中兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系，即可判斷是否為相同函數(shù)，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A中，函數(shù)fx=x2的定義域?yàn)镽，所以定義域不同，不是相同的函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，函數(shù)fx=x?1的定義域?yàn)镽，gx所以定義域不同，不是相同的函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，函數(shù)fx=1的定義域?yàn)镽，與gx所以定義域不同，所以不是相同的函數(shù),故C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，函數(shù)fx=x可知兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，所以是相同的函數(shù),故D正確；故選：D.2．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=ex+A．一定為正 B．一定為負(fù) C．一定為零 D．正、負(fù)、零都可能【答案】D【分析】根據(jù)題意，應(yīng)用特殊值法說明即可.【詳解】例如x1=?1,x符合題意，此時(shí)x1例如x1=x符合題意，此時(shí)x1例如x1=?1符合題意，此時(shí)x1綜上所述：x1故選：D.3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）設(shè)x∈R，定義符號(hào)函數(shù)sgnx=A．?x=??xsgnx B．?【答案】D【分析】去掉絕對(duì)值符號(hào)，結(jié)合函數(shù)新定義逐項(xiàng)比較即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，??xsgnx=x,x≠0對(duì)于選項(xiàng)B，???xsgnx=x,x≠0對(duì)于選項(xiàng)C，??xsgnx=x,x≠00,x=0對(duì)于選項(xiàng)D，xsgnx=x,x>00,x=0?x,x<0故選：D.4．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）求下列函數(shù)的解析式（1）已知fx+1=x+2x，則（2）已知fx是三次函數(shù)，且在x=0處的極值為0，在x=1處的極值為1，則fx（3）已知f(x)的定義域?yàn)閤|x≠0，滿足3fx+5f1x=（4）已知函數(shù)fx+1是偶函數(shù)，且x<1時(shí)fx=x2?4x，則【答案】x2?1,x≥1?2x2【分析】（1）第一空可用換元法設(shè)t=x+1，從而（2）第二空先設(shè)函數(shù)表達(dá)式并求導(dǎo)，進(jìn)一步由題意可列出方程組d=0c=0（3）構(gòu)造函數(shù)方程組即可求解；（4）由題意得fx=f2?x，注意到x>1【詳解】（1）設(shè)t=x+1，則代入原式有ft故fx（2）設(shè)fx=ax由題意得f0=0f'0所以fx（3）用1x代替3fx+5f由3fx+5f1x=（4）由函數(shù)fx+1是偶函數(shù)，可得fx圖象關(guān)于直線所以fx設(shè)x>1，則2?x<1，所以f2?x=2?x因?yàn)閒x=f2?x，所以f故答案為：x2?1,x≥1；?2x2+5．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)fx=x?ax【答案】?【分析】本題根據(jù)已知條件給定的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，對(duì)參數(shù)a分類討論并結(jié)合函數(shù)圖象即可求解.【詳解】①當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=x?1,x＞0ex,x≤0，由于x≤0時(shí)此時(shí)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，所以a=0不符合題意；②當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)=x+，由于x≤0時(shí)，ex+(?a)＞0，x＞0時(shí)，此時(shí)在0,+∞上有f(x)min=2?a?1，要使③當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)=x?，由于函數(shù)y=x?ax?1在0,+要使f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，只需函數(shù)y=e當(dāng)0＜a≤1時(shí)，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是?1故答案為：?16．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=x2+4x+1,x≤0,log【答案】7【分析】設(shè)f(x)=m，則f(f(x))=?1等價(jià)于f(m)=?1，作出函數(shù)f(x)的圖像，由圖可知f(m)=?1有3個(gè)根，再根據(jù)f(x)=m結(jié)合函數(shù)的圖象得出交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即得到結(jié)果.【詳解】令y=0，則f(f(x))=?1，設(shè)f(x)=m，則f(f(x))=?1等價(jià)于f(m)=?1，則函數(shù)y=f(f(x))+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題即為f(f(x))=?1解的個(gè)數(shù)問題．二次函數(shù)y=x2+4x+1，其圖像開口向上，過點(diǎn)(0,1)，對(duì)稱軸為x=?2由題意得f(x)=x2+4x+1,由圖可知f(m)=?1有3個(gè)根，當(dāng)t>0時(shí)，log2t=?1，即當(dāng)t≤0時(shí)，t2+4t+1=?1，即則對(duì)于f(x)=12，當(dāng)log2當(dāng)x2+4x+1=1對(duì)于f