2024-2025學年新教材高中數(shù)學第五章數(shù)列5.4數(shù)列的應用課時素養(yǎng)評價含解析新人教B版選擇性必修第三冊

PAGE課時素養(yǎng)評價十一數(shù)列的應用(25分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.在我國明代數(shù)學家“珠算之父”程大位(1533-1606)所著的《算法統(tǒng)宗》中,有很多用詩歌形式表達的數(shù)學問題,如八子分棉歌:“九百九十六斤棉,贈分八子做盤纏,次第每人多十七,要將第八數(shù)來言,務要分明依次第,孝和休惹外人傳.”則此問題(第八數(shù))的答案為(單位:斤) ()A.150 B.167 C.184 D.201【解析】選C.設第一子分a1斤棉,則{an}是公差為17的等差數(shù)列,由題意得8a1+QUOTE×17=996,解得a1=65(斤),所以a8=65+7×17=184(斤).2.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)現(xiàn)在人均一年占有糧食360千克,假如該鄉(xiāng)鎮(zhèn)人口平均每年增長1.2%,糧食年產(chǎn)量平均每年增長4%,那么x年后若人均一年占有y千克糧食,則y關(guān)于x的解析式為 ()A.y=360QUOTEB.y=360×1.04xC.y=QUOTED.y=360QUOTE【解析】選D.依據(jù)題意,得x年后糧食年產(chǎn)量為360(1+4%)x=360×1.04x,人口總量為(1+1.2%)x=1.012x;所以x年后年人均糧食占有量為:y=360×QUOTE=360×QUOTE.3.公元前1650年的埃及《萊因德紙草書》上載有如下問題:“十人分十斗玉米,從其次人起先,各人所得依次比前人少八分之一,問每人各得玉米多少斗?”在上述問題中,第一人分得玉米 ()A.QUOTE斗 B.QUOTE斗C.QUOTE斗 D.QUOTE斗【解析】選B.由題可得:每人所得玉米數(shù)構(gòu)成公比為QUOTE的等比數(shù)列.且數(shù)列的前10項和為10,設首項為a,則有QUOTE=10,所以a=QUOTE=QUOTE.4.(多選題)《九章算術(shù)·衰分》中有如下問題:“今有甲持錢五百六十,乙持錢三百五十,丙持錢一百八十,凡三人俱出關(guān),關(guān)稅百錢.欲以錢數(shù)多少衰出之,問各幾何?”翻譯為“今有甲持錢560,乙持錢350,丙持錢180,甲、乙、丙三個人一起出關(guān),關(guān)稅共計100錢,要按個人帶錢多少的比例交稅,問三人各應付多少稅?”則下列說法中正確的是 ()A.甲付的稅錢最多B.乙、丙兩人付的稅錢不超過甲C.乙應出的稅錢約為32D.丙付的稅錢最多【解析】選ABC.由題意,按比例,甲錢最多,付的稅錢最多;丙錢最少,付的稅錢最少;可知A正確,D不正確.乙、丙兩人共持錢350+180=530<560,故乙、丙兩人付的稅錢不超過甲,可知B正確.乙應出的稅錢為100×QUOTE≈32.可知C正確.二、填空題(每小題5分,共10分)5.用火柴棒按如圖的方法搭三角形:則第100個圖形所用火柴棒數(shù)為____.

【解析】由圖形可知,第一個圖形用3根火柴棒,以后每一個比前一個多兩根火柴棒,是等差數(shù)列,數(shù)列的首項為3,公差為2,an=3+(n-1)×2=2n+1,即第n個運用火柴棒數(shù)為2n+1,則第100個圖形所用火柴棒數(shù)為:2×100+1=201.答案:2016.某漁業(yè)公司今年初用100萬元購進一艘漁船用于捕撈,已知第一年捕撈工作需各種費用4萬元,從其次年起先,每年所需費用均比上一年增加2萬元.若該漁船預料運用n年,其總花費(含購買費用)為________萬元;當n=________時該漁船年平均花費最低(含購買費用).

【解析】因為第一年捕撈工作需各種費用4萬元,從其次年起先,每年所需費用均比上一年增加2萬元,則第n年捕撈所需費用為4+2(n-1)=2n+2,所以總花費為QUOTE·n+100=n2+3n+100;平均花費=QUOTE=n+QUOTE+3≥2QUOTE+3=23,當且僅當n2=100,即n=10時,平均花費最小.答案:n2+3n+10010三、解答題(每小題10分,共20分)7.一片森林原來面積為a,安排每年砍伐一些樹,每年砍伐且使森林面積每年比上一年削減的百分比相同,當砍伐到原面積的一半時,所用時間是20年.為愛護生態(tài)環(huán)境,森林面積至少要保留原面積的QUOTE,已知到今年為止,森林剩余面積為QUOTEa.(1)求每年砍伐面積的百分比;(2)該森林今后最多還能砍伐多少年?【解析】(1)設每年砍伐面積的百分比為x(0<x<1),則a(1-x)20=QUOTEa,即(1-x)20=QUOTE,解得:x=1-QUOTE.(2)設從今年起先,最多可以砍n年,由題意得QUOTEa(1-x)n≥QUOTEa,即(1-x)n≥QUOTE,可得QUOTE≥QUOTE,所以QUOTE≤QUOTE,解得n≤30,所以今后最多還能砍伐30年.8.(2024·武漢高二檢測)一種藥在病人血液中的量保持1500mg以上才有療效;而低于500mg病人就有危急.現(xiàn)給某病人靜脈注射了這種藥2500mg,假如藥在血液中以每小時20%的比例衰減,為了充分發(fā)揮藥物的利用價值,那么從現(xiàn)在起經(jīng)過多少小時向病人的血液補充這種藥,才能保持療效.(附:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771,精確到0.1h)【解析】設應在病人注射這種藥x小時后再向病人的血液補充這種藥,由題意,可得500≤2500×(1-20%)x≤1500,整理得0.2≤0.8x≤0.6,所以log0.80.6≤x≤log0.80.2,因為log0.80.6=QUOTE=QUOTE=QUOTE≈2.3,log0.80.2=QUOTE=QUOTE≈7.2,解得2.3≤x≤7.2,應在用藥2.3小時后及7.2小時前再向病人的血液補充藥.(15分鐘·30分)1.(5分)“孿生素數(shù)猜想”是數(shù)學史上聞名的未解難題,早在1900年國際數(shù)學家大會上,由德國數(shù)學家希爾伯特提出.所謂“孿生素數(shù)”是指相差為2的“素數(shù)對”,例如3和5.從不超過20的素數(shù)中,找到這樣的“孿生素數(shù)”,將每對素數(shù)作和.從得到的結(jié)果中選擇恰當?shù)臄?shù),構(gòu)成一個等差數(shù)列,則該等差數(shù)列的全部項之和為 ()A.72 B.68 C.56 D.44【解析】選A.依據(jù)定義列舉出不超過20的孿生素數(shù)為3和5,5和7,11和13,17和19,它們的和依次為8,12,24,36,構(gòu)成等差數(shù)列的三個數(shù)分別是12,24,36,它們的和是72.2.(5分)(2024·海東高二檢測)1852年,英國來華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問題的解法傳至歐洲.1874年,英國數(shù)學家馬西森指出此法符合1801年由高斯得到的關(guān)于問余式解法的一般性定理,因而西方稱之為“中國剩余定理”.“中國剩余定理”講的是一個關(guān)于整除的問題,現(xiàn)有這樣一個整除問題:將1到2020這2020個數(shù)中,能被2除余1,且被5除余1的數(shù)按從小到大的依次排成一列,構(gòu)成數(shù)列{an},則a20= ()A.181 B.191 C.201 D.211【解析】選B.由題意可知an-1既是2的倍數(shù),也是5的倍數(shù),即an-1是10的倍數(shù),則an-1=10(n-1)(n∈N+),故a20=10×(20-1)+1=191.3.(5分)我國古代《九章算術(shù)》一書中記載關(guān)于“竹九”問題:“今有竹九節(jié),下三節(jié)容量四升,上四節(jié)容量三升,問五、六兩節(jié)欲均容各多少?”意思是下三節(jié)容量和為4升,上四節(jié)容量和為3升,且每一節(jié)容量改變勻稱,問第五、六兩節(jié)容量分別是多少?在這個問題中,最下面一節(jié)容量是________升,九節(jié)總?cè)萘渴莀_________【解析】設由下到上九節(jié)容量分別記為a1,a2,…,a9,則a1,a2,…,a9成等差數(shù)列,設公差為d,且a1+a2+a3=4,a6+a7+a8+a9=3,所以3a1+3d=4,4a1+26d=3,解得a1=QUOTE,d=-QUOTE,所以S9=9×QUOTE+QUOTE=QUOTE.答案:QUOTEQUOTE4.(5分)2024年5月至2024年春,在阿拉伯半島和伊朗西南部,沙漠蝗蟲快速繁衍,呈現(xiàn)幾何式的爆發(fā),僅僅幾個月,蝗蟲數(shù)量增長了8000倍,引發(fā)了蝗災,到2024年春季蝗災已波及印度和巴基斯坦,假設蝗蟲的日增長率為5%,最初有N0只.則經(jīng)過________天能達到最初的16000倍(參考數(shù)據(jù):ln1.05≈0.0488,ln1.5≈0.4055,ln1600≈7.3778,ln16000≈9.6803).

【解析】設過x天能達到最初的16000倍,由已知N0(1+0.05)x=16000N0,即1.05x=16000,所以x=QUOTE≈198.4,又x∈N,所以過199天能達到最初的16000倍.答案:199【加練·固】某銀行一年期定期儲蓄年利率為2.25%,假如存款到期不取出接著留存于銀行,銀行自動將本金及80%的利息(利息須交納20%利息稅,由銀行代交)自動轉(zhuǎn)存一年期定期儲蓄.某人以一年期定期儲蓄存入銀行20萬元,則5年后,這筆錢交納利息稅后的本利和為______元(精確到1元).

【解析】由題意,1年后,這筆錢交納利息稅后的本利和為:200000×(1+2.25%×80%)=200000×1.018;2年后,這筆錢交納利息稅后的本利和為:200000×(1+2.25%×80%)×(1+2.25%×80%)=200000×1.0182;…所以5年后,這筆錢交納利息稅后的本利和為:200000×1.0185=218659.769≈218660.答案:2186605.(10分)某化工廠一種溶液的成品,生產(chǎn)過程的最終工序是過濾溶液中的雜質(zhì),過濾初期溶液含雜質(zhì)為2%,每經(jīng)過一次過濾均可使溶液雜質(zhì)含量削減QUOTE,記過濾次數(shù)為x(x∈N+)時溶液雜質(zhì)含量為y.(1)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式;(2)按市場要求,出廠成品雜質(zhì)含量不能超過0.1%,問至少經(jīng)過幾次過濾才能使產(chǎn)品達到市場要求?(參考數(shù)據(jù):lg2=0.301,lg3=0.477)【解析】(1)由題意得y=2%×QUOTE=QUOTE×QUOTE,x∈N+.(2)設至少應過濾x次才能使產(chǎn)品達到市場要求,則QUOTE×QUOTE≤0.1%,即QUOTE≤QUOTE,所以x≥QUOTE=QUOTE≈7.4,又x∈N+,所以x≥8,即至少應過濾8次才能使產(chǎn)品達到市場要求.某企業(yè)2024年的純利潤為500萬元,因設備老化等緣由,企業(yè)的生產(chǎn)實力將逐年下降.若不能進行技術(shù)改造,預料從2024年起每年比上一年純利潤削減20萬元,2024年初該企業(yè)一次性投入資金600萬元進行技術(shù)改造,預料在未扣除技術(shù)改造資金的狀況下,第n年(2024年為第一年)的利潤為500QUOTE萬元(n為正整數(shù)).(1)設從2024年起的前n年,若該企業(yè)不進行技術(shù)改造的累計純利潤為An萬元,進行技術(shù)改造后的累計純利潤為Bn萬元(須扣除技術(shù)改造資金),求An,Bn的表達式;(2)依上述預料,從2024年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年,進行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤?【解析】(1)依題設,An=(500-20)+(500-40)+…+(500-20n)=490n-10n2,Bn=500QUOTE-600=500n-QUO