2025版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第10章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第5節(jié)事件的獨(dú)立性與條件概率及其關(guān)系全概率公式學(xué)案含解析新人教B版

第5節(jié)事務(wù)的獨(dú)立性與條件概率及其關(guān)系、全概率公式一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．條件概率定義一般地，當(dāng)事務(wù)B發(fā)生的概率大于0時(shí)(即P(B)＞0)，已知事務(wù)B發(fā)生的條件下事務(wù)A發(fā)生的概率，稱為條件概率表示P(A|B)計(jì)算公式P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB)性質(zhì)(1)0≤P(B|A)≤1；(2)P(A|A)＝1；(3)假如B與C互斥，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)2.事務(wù)的相互獨(dú)立性事務(wù)A與事務(wù)B相互獨(dú)立對(duì)隨意的兩個(gè)事務(wù)A與B，假如P(AB)＝P(A)P(B)時(shí)，就稱事務(wù)A與B相互獨(dú)立(簡(jiǎn)稱獨(dú)立)性質(zhì)假如事務(wù)A與B相互獨(dú)立，則eq\x\to(A)與B，A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也相互獨(dú)立，P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)(1)易混淆“相互獨(dú)立”和“事務(wù)互斥”兩事務(wù)互斥是指兩事務(wù)不行能同時(shí)發(fā)生，兩事務(wù)相互獨(dú)立是指一個(gè)事務(wù)的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事務(wù)發(fā)生的概率沒(méi)有影響，兩個(gè)事務(wù)相互獨(dú)立不肯定互斥．(2)易混淆P(B|A)與P(A|B)前者是在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率，后者是在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率．3．全概率公式(1)P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))．(2)定理1若樣本空間Ω中的事務(wù)A1，A2，…，An滿意：①隨意兩個(gè)事務(wù)均互斥，即AiAj＝?，i，j＝1,2，…，n，i≠j；②A1＋A2＋…＋An＝Ω；③P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n.則對(duì)Ω中的隨意事務(wù)B，都有B＝BA1＋BA2＋…＋BAn，且P(B)＝eq\a\vs4\al(\i\su(i＝1,n,))P(BAi)＝eq\a\vs4\al(\i\su(i＝1,n,))P(Ai)P(B|Ai)．二、基本技能·思想·活動(dòng)體驗(yàn)1．推斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．(1)相互獨(dú)立事務(wù)就是互斥事務(wù)．(×)(2)對(duì)于隨意兩個(gè)事務(wù)，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(×)(3)P(B|A)表示在事務(wù)A發(fā)生的條件下，事務(wù)B發(fā)生的概率，P(AB)表示事務(wù)A，B同時(shí)發(fā)生的概率．(√)(4)若事務(wù)A，B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)．(√)2．已知盒中裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球、5個(gè)黑球，它們的大小和形態(tài)完全相同．甲每次從中任取一個(gè)球不放回，則在他第一次拿到白球的條件下，其次次拿到紅球的概率為()A.eq\f(3,10) B.eq\f(1,3)C.eq\f(3,8) D.eq\f(2,9)B解析：設(shè)“第一次拿到白球”為事務(wù)A，“其次次拿到紅球”為事務(wù)B.依題意P(A)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5)，P(AB)＝eq\f(2×3,10×9)＝eq\f(1,15).故在他第一次拿到白球的條件下，其次次拿到紅球的概率P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(1,3).3．天氣預(yù)報(bào)，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3.假設(shè)在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒(méi)有影響，則這兩地中恰有一個(gè)地方降雨的概率為()A．0.2 B．0.3C．0.38 D．0.56C解析：設(shè)甲地降雨為事務(wù)A，乙地降雨為事務(wù)B，則兩地恰有一地降雨為Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B，所以P(Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B)＝P(Aeq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A)B)＝P(A)P(eq\x\to(B))＋P(eq\x\to(A))P(B)＝0.2×0.7＋0.8×0.3＝0.38.4．設(shè)甲乘汽車、火車前往某目的地的概率分別為0.6,0.4，汽車和火車正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率分別為0.9，0.8.則甲正點(diǎn)到達(dá)目的地的概率為()A．0.72 B．0.96C．0.86 D．0.84C解析：設(shè)事務(wù)A表示甲正點(diǎn)到達(dá)目的地，事務(wù)B表示甲乘火車到達(dá)目的地，事務(wù)C表示甲乘汽車到達(dá)目的地，由題意知P(B)＝0.4，P(C)＝0.6，P(A|B)＝0.8，P(A|C)＝0.9.由全概率公式得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.4×0.8＋0.6×0.9＝0.32＋0.54＝0.86.故選C.5．某次學(xué)問(wèn)競(jìng)賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問(wèn)題中，選手若能連續(xù)正確回答出2個(gè)問(wèn)題，即停止答題，晉級(jí)下一輪．假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率都是0.8，且每個(gè)問(wèn)題的回答結(jié)果相互獨(dú)立，則該選手恰好回答了4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪的概率等于________．0.128解析：記“該選手恰好回答了4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪”為事務(wù)A.由題意知，若該選手恰好回答了4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪，必有其次個(gè)問(wèn)題回答錯(cuò)誤，第三、四個(gè)問(wèn)題回答正確，第一個(gè)問(wèn)題可對(duì)可錯(cuò)，故P(A)＝1×0.2×0.8×0.8＝0.128.考點(diǎn)1相互獨(dú)立事務(wù)的概率——基礎(chǔ)性1．2019年10月20日，第六屆世界互聯(lián)網(wǎng)大會(huì)發(fā)布了15項(xiàng)“世界互聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)先科技成果”，其中有5項(xiàng)成果均屬于芯片領(lǐng)域，分別為華為高性能處理器“鯤鵬920”、清華高?！懊鎸?duì)通用人工智能的異構(gòu)融合天機(jī)芯片”、特斯拉“特斯拉完全自動(dòng)駕駛芯片”、寒武紀(jì)云端AI芯片“思元270”、賽靈思“Versal自適應(yīng)計(jì)算加速平臺(tái)”．現(xiàn)有3名學(xué)生從這15項(xiàng)“世界互聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)先科技成果”中分別任選1項(xiàng)進(jìn)行了解，且學(xué)生之間的選擇互不影響，則至少有1名學(xué)生選擇“芯片領(lǐng)域A.eq\f(89,91) B.eq\f(2,91)C.eq\f(98,125) D.eq\f(19,27)D解析：依據(jù)題意可知，1名學(xué)生從15項(xiàng)中任選1項(xiàng)，其中選擇“芯片領(lǐng)域”的概率為eq\f(5,15)＝eq\f(1,3)，故其沒(méi)有選擇“芯片領(lǐng)域”的概率為eq\f(2,3)，則3名學(xué)生均沒(méi)有選擇“芯片領(lǐng)域”的概率為eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27).因此至少有1名學(xué)生選擇“芯片領(lǐng)域”的概率為1－eq\f(8,27)＝eq\f(19,27).故選D.2．(2024·天津市和平區(qū)高三二模)已知甲、乙兩人獨(dú)立出行，各租用共享單車一次(假定費(fèi)用只可能為1,2,3元)．甲、乙租車費(fèi)用為1元的概率分別是0.5，0.2，甲、乙租車費(fèi)用為2元的概率分別是0.2，0.4，則甲、乙兩人租車費(fèi)用相同的概率為()A．0.18 B．0.3C．0.24 D．0.36B解析：由題意知甲、乙租車費(fèi)用為3元的概率分別是0.3,0.4.所以甲、乙兩人所租車費(fèi)用相同的概率為p＝0.5×0.2＋0.2×0.4＋0.3×0.4＝0.3.3．(2024·全國(guó)卷Ⅱ)11分制乒乓球競(jìng)賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10∶10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局競(jìng)賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打競(jìng)賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．在某局雙方10∶10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局競(jìng)賽結(jié)束．(1)求P(X＝2)；(2)求事務(wù)“X＝4且甲獲勝”的概率．解：(1)X＝2就是10∶10平后，兩人又打了2個(gè)球該局競(jìng)賽結(jié)束，則這2個(gè)球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X＝2)＝0.5×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.(2)X＝4且甲獲勝，就是10∶10平后，兩人又打了4個(gè)球該局競(jìng)賽結(jié)束，且這4個(gè)球的得分狀況為前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分．因此所求概率為[0.5×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]×0.5×0.4＝0.1.求相互獨(dú)立事務(wù)同時(shí)發(fā)生的概率的主要方法(1)利用相互獨(dú)立事務(wù)的概率乘法公式干脆求解．(2)正面計(jì)算較煩瑣(如求用“至少”表述的事務(wù)的概率)或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事務(wù)入手計(jì)算．考點(diǎn)2條件概率——基礎(chǔ)性(1)2024年初，新型冠狀肺炎在歐洲爆發(fā)后，我國(guó)第一時(shí)間向相關(guān)國(guó)家捐助醫(yī)療物資，并派出由醫(yī)療專家組成的醫(yī)療小組奔赴相關(guān)國(guó)家．現(xiàn)有四個(gè)醫(yī)療小組甲、乙、丙、丁和4個(gè)須要救濟(jì)的國(guó)家可供選擇，每個(gè)醫(yī)療小組只去一個(gè)國(guó)家．設(shè)事務(wù)A＝“4個(gè)醫(yī)療小組去的國(guó)家各不相同”，事務(wù)B＝“小組甲獨(dú)自去一個(gè)國(guó)家”，則P(A|B)＝()A.eq\f(2,9) B.eq\f(1,3)C.eq\f(4,9) D.eq\f(5,9)A解析：事務(wù)A＝“4個(gè)醫(yī)療小組去的國(guó)家各不相同”，事務(wù)B＝“小組甲獨(dú)自去一個(gè)國(guó)家”，則P(AB)＝eq\f(A\o\al(4,4),44)＝eq\f(3,32)，P(B)＝eq\f(C\o\al(1,4)×33,44)＝eq\f(27,64)，P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(2,9).故選A.(2)一個(gè)正方形被平均分成9個(gè)部分，向大正方形區(qū)域隨機(jī)地投擲一個(gè)點(diǎn)(每次都能投中)．設(shè)投中最左側(cè)3個(gè)小正方形區(qū)域的事務(wù)記為A，投中最上面3個(gè)小正方形或正中間的1個(gè)小正方形區(qū)域的事務(wù)記為B，求P(AB)，P(A|B)．解：如圖，n(Ω)＝9，n(A)＝3，n(B)＝4，所以n(AB)＝1，所以P(AB)＝eq\f(1,9)，P(A|B)＝eq\f(nAB,nB)＝eq\f(1,4).求條件概率的兩種方法(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)，這是求條件概率的通法．(2)借助古典概型概率公式，先求事務(wù)A包含的樣本點(diǎn)數(shù)n(A)，再求事務(wù)A與事務(wù)B的交事務(wù)中包含的樣本點(diǎn)數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA).1．已知盒中裝有3只螺口燈泡與7只卡口燈泡，這些燈泡的外形都相同且燈口向下放著．現(xiàn)須要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只并不放回，則在他第1次抽到的是螺口燈泡的條件下，第2次抽到的是卡口燈泡的概率為()A.eq\f(3,10) B.eq\f(2,9)C.eq\f(7,8) D.eq\f(7,9)D解析：設(shè)事務(wù)A為“第1次抽到的是螺口燈泡”，事務(wù)B為“第2次抽到的是卡口燈泡”，則P(A)＝eq\f(3,10)，P(AB)＝eq\f(3,10)×eq\f(7,9)＝eq\f(7,30)，則所求的概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(7,30),\f(3,10))＝eq\f(7,9).2．將三顆骰子各擲一次，設(shè)事務(wù)A為“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”，B為“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”，則條件概率P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.eq\f(60,91)eq\f(1,2)解析：P(A|B)的含義是在事務(wù)B發(fā)生的條件下，事務(wù)A發(fā)生的概率，即在“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”的條件下，“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”的概率．因?yàn)椤爸辽俪霈F(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”有6×6×6－5×5×5＝91(種)狀況，“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)且三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”共有Ceq\o\al(1,3)×5×4＝60(種)狀況，所以P(A|B)＝eq\f(60,91).P(B|A)的含義是在事務(wù)A發(fā)生的條件下，事務(wù)B發(fā)生的概率，即在“三個(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”的條件下，“至少出現(xiàn)一個(gè)6點(diǎn)”的概率．因?yàn)椤叭齻€(gè)點(diǎn)數(shù)都不相同”有6×5×4＝120(種)狀況，所以P(B|A)＝eq\f(1,2).考點(diǎn)3全概率公式——基礎(chǔ)性甲箱的產(chǎn)品中有5個(gè)正品和3個(gè)次品，乙箱的產(chǎn)品中有4個(gè)正品和3個(gè)次品．(1)從甲箱中任取2個(gè)產(chǎn)品，求這2個(gè)產(chǎn)品都是次品的概率；(2)若從甲箱中任取2個(gè)產(chǎn)品放入乙箱中，然后再?gòu)囊蚁渲腥稳∫粋€(gè)產(chǎn)品，求取出的這個(gè)產(chǎn)品是正品的概率．解：(1)從甲箱中任取2個(gè)產(chǎn)品的事務(wù)數(shù)為Ceq\o\al(2,8)＝eq\f(8×7,2)＝28，這2個(gè)產(chǎn)品都是次品的事務(wù)數(shù)為Ceq\o\al(2,3)＝3.所以這2個(gè)產(chǎn)品都是次品的概率為eq\f(3,28).(2)設(shè)事務(wù)A為“從乙箱中取出的一個(gè)產(chǎn)品是正品”，事務(wù)B1為“從甲箱中取出2個(gè)產(chǎn)品都是正品”，事務(wù)B2為“從甲箱中取出1個(gè)正品1個(gè)次品”，事務(wù)B3為“從甲箱中取出2個(gè)產(chǎn)品都是次品”，則事務(wù)B1、事務(wù)B2、事務(wù)B3彼此互斥．P(B1)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,8))＝eq\f(5,14)，P(B2)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,3),C\o\al(2,8))＝eq\f(15,28)，P(B3)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,8))＝eq\f(3,28)，P(A|B1)＝eq\f(2,3)，P(A|B2)＝eq\f(5,9)，P(A|B3)＝eq\f(4,9)，所以P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)·P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝eq\f(5,14)×eq\f(2,3)＋eq\f(15,28)×eq\f(5,9)＋eq\f(3,28)×eq\f(4,9)＝eq\f(7,12).通常把B1，B2，…，Bn看成導(dǎo)致A發(fā)生的一組緣由．如若A是“次品”，必是n個(gè)車間生產(chǎn)了次品；若A是“某種疾病”，必是幾種病因?qū)е翧發(fā)生；若A表示“被擊中”，必有幾種方式或幾個(gè)人打中．(1)何時(shí)用全概率公式：多種緣由導(dǎo)致事務(wù)的發(fā)生．(2)如何用