17.2 直角三角形 同步練習

第十七章特殊三角形17.2直角三角形基礎過關全練知識點1直角三角形的概念及判定定理1.如圖，點E是△ABC中AC邊上的一點，過E作ED⊥AB，垂足為D，若∠1=∠2，則△ABC是()A.直角三角形 B.銳角三角形 C.鈍角三角形 D.無法確定2.下列說法中錯誤的是()A.在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2，則△ABC為直角三角形B.在△ABC中，若∠A=∠B-∠C，則△ABC為直角三角形C.在△ABC中，若∠A=12∠B=13∠C，則D.在△ABC中，若∠A=∠B=2∠C，則△ABC為直角三角形3.(2023河南信陽浉河新時代學校質檢)如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一點，且∠ACD=∠B.求證：△ACD是直角三角形.知識點2直角三角形的性質定理4.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于點D，∠1=30°，AD=6，則AB的長度為()A.7 B.8 C.9 D.105.(2023山東濟寧任城期中)如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，線段AB的垂直平分線分別交BC、AB于D、E.求證：DB=2AC.6.(2023江蘇興化樂吾實驗學校質檢)如圖，在銳角△ABC中，CF⊥AB，BE⊥AC，連接EF，M、N分別是BC、EF的中點.(1)求證：MN⊥EF；(2)若∠A=80°，求∠EMF的度數(shù).能力提升全練7.(2022湖南岳陽中考)如圖，已知l∥AB，CD⊥l于點D，若∠C=40°，則∠1的度數(shù)是()A.30° B.40° C.50° D.60°8.(2023河北張家口一中月考)如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，若∠A=30°，BD=2cm，則AB的長是()A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm9.(2022湖南永州中考)如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，點D為邊AC的中點，BD=2，則BC的長為()A.3 B.23 C.2 D.410.(2020貴州黔西南州中考)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D在線段BC上，且∠B=30°，∠ADC=60°，BC=33，則BD的長度為.

素養(yǎng)探究全練11.(2022江蘇南通崇川期末)定義：如果三角形的兩個內(nèi)角α與β滿足α+2β=100°，那么我們稱這樣的三角形為“奇妙三角形”.(1)如圖1，在△ABC中，∠C=80°，BD平分∠ABC，求證：△ABD為“奇妙三角形”；(2)若△ABC為“奇妙三角形”，且∠C=80°，求證：△ABC是直角三角形；(3)如圖2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD為“奇妙三角形”，且∠A=40°，直接寫出∠C的度數(shù). 圖1 圖2

第十七章特殊三角形17.2直角三角形答案全解全析基礎過關全練1.A∵ED⊥AB，∴∠1+∠A=90°，∵∠1=∠2，∴∠2+∠A=90°，∴∠ACB=90°，即△ACB是直角三角形.故選A.2.DA.在△ABC中，因為∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2，所以∠C=90°，∠A=∠B=45°，所以△ABC為直角三角形，不符合題意；B.在△ABC中，因為∠A=∠B-∠C，所以∠B=90°，所以△ABC為直角三角形，不符合題意；C.在△ABC中，因為∠A=12∠B=13∠C，所以∠C=90°，∠B=60°，∠A=30°，所以△ABC為直角三角形，不符合題意；D.在△ABC中，因為∠A=∠B=2∠C，所以∠A=∠B=72°，∠C=36°，所以△ABC不是直角三角形3.證明∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠ADC=90°，∴△ACD是直角三角形.4.B∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠1=30°，∴BC=2BD，∠B=90°-∠1=60°，∵∠ACB=90°，∴∠A=90°-∠B=30°，∴AB=2BC=4BD，∴AB=43AD=8，5.證明如圖，連接AD，∵DE垂直平分AB，∴AD=BD，∴∠DAB=∠B=15°，∴∠ADC=30°，∵∠C=90°，∴AC=12∵BD=AD，∴DB=2AC.6.解析(1)證明：如圖，連接FM、EM，∵CF⊥AB，BE⊥AC，∴∠CEB=∠CFB=90°，∵M是BC的中點，∴BM=FM=12BC,CM=EM=12BC∵N是EF的中點，∴MN⊥EF.(2)∵∠A=80°，∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=100°，∵BM=FM，EM=MC，∴∠ABC=∠BFM，∠ACB=∠CEM，∴∠BFM+∠CEM=100°，∴∠FMB+∠EMC=360°-(∠ABC+∠ACB+∠BFM+∠CEM)=160°，∴∠EMF=180°-(∠FMB+∠EMC)=20°，故∠EMF的度數(shù)為20°.能力提升全練7.C如圖，在Rt△CDE中，∠CDE=90°，∠C=40°，則∠CED=90°-40°=50°，∵l∥AB，∴∠1=∠CED=50°，故選C.8.C∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°.∵CD是AB邊上的高，∴∠CDB=90°，∴∠BCD=30°，∴BC=2BD=4cm.∵∠A=30°，∴AB=2BC=8cm.故選C.9.C解法一：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，點D為邊AC的中點，BD=2，∴AC=2BD=4，∵∠C=60°，∴∠A=30°，∴BC=12解法二：∵∠ABC=90°，點D為邊AC的中點，∴AC=2BD，∴BD=CD，∵∠C=60°，∴△BCD為等邊三角形，∴BC=BD=2，故選C.10.答案23解析∵∠C=90°，∠ADC=60°，∴∠DAC=30°，∴CD=12AD∵∠B=30°，∠ADC=60°，∴∠BAD=30°，∴BD=AD，∴BD=2CD，∵BC=33，∴CD+BD=CD+2CD=33，∴CD=3，∴BD=23.素養(yǎng)探究全練11.解析(1)證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABD.在△ABC中，∵∠C=80°，∴∠A+∠ABC=180°-∠C=180°-80°=100°，即∠A+2∠ABD=100°，∴△ABD為“奇妙三角形”.(2)證明：在△ABC中，∵∠C=80°，∴∠A+∠B=100°，∵△ABC為“奇妙三角形”，∴∠C+2∠B=100°或∠C+2∠A=100°，∴∠B=10°或∠A=10°，當∠B=10°時，∠A=90°，△ABC是直角三角形；當∠A=10°時，∠B=90°，△ABC是直角三角形.綜上所述，△ABC是直角三角形.(3)∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABD，∵△ABD為“奇妙三角形”，∴∠A+2∠ABD=100°或2∠A+∠ABD=1