江蘇省揚(yáng)州市 2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二年級(jí)數(shù)學(xué)含答案

2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高二年級(jí)數(shù)學(xué)（總分150時(shí)間120分鐘）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若直線經(jīng)過第一、二、三象限，則有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線所過的象限判斷斜率、截距的符號(hào)即可.【詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過第一、二、三象限，所以直線的斜率，在y軸上的截距.故選：A2.若方程表示圓，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件列不等式求解即可.【詳解】因?yàn)楸硎緢A，所以,解得或.故選：B.3.若橢圓：的短軸長等于焦距，則橢圓的離心率為A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】解：由題意可得：.本題選擇C選項(xiàng).4.圓O1：和圓O2：的位置關(guān)系是A.相離 B.相交 C.外切 D.內(nèi)切【答案】B【解析】【詳解】試題分析：由題意可知圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，又，所以圓和圓的位置關(guān)系是相交，故選B．考點(diǎn)：圓與圓的位置關(guān)系．5.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，直接求出焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，即可求解.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是，故選：D.6.設(shè)雙曲線C：（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為．P是C上一點(diǎn)，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面積為4，則a=（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義，三角形面積公式，勾股定理，結(jié)合離心率公式，即可得出答案.【詳解】，，根據(jù)雙曲線的定義可得，，即，，，，即，解得，故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)以及定義的應(yīng)用，涉及了勾股定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.7.已知橢圓，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，已知點(diǎn)與點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】判斷點(diǎn)N在橢圓內(nèi)部，利用橢圓定義將轉(zhuǎn)化為，求出的最大值，即可求得答案.【詳解】依題意，為曲線的左焦點(diǎn)，由于滿足，故點(diǎn)N在橢圓內(nèi)部，設(shè)C的右焦點(diǎn)為，連接，由于M為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，則，從而，因?yàn)?當(dāng)共線，且N在線段上時(shí)取等號(hào)(如圖)，故的最小值為，故選：C.8.已知是圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線與直線相交于點(diǎn)P，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件確定出點(diǎn)P的軌跡，再借助圓與圓的位置關(guān)系及圓的幾何性質(zhì)計(jì)算作答.【詳解】依題意，直線恒過定點(diǎn)，直線恒過定點(diǎn)，顯然直線，因此，直線與交點(diǎn)P軌跡是以線段AB為直徑的圓，其方程為：，圓心，半徑，而圓C的圓心，半徑，如圖：，兩圓外離，由圓的幾何性質(zhì)得：，，所以的取值范圍是：.故選：B【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：判斷兩圓的位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和與差之間的關(guān)系，一般不采用代數(shù)法.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知雙曲線C：，則（）A.雙曲線C的離心率為 B.雙曲線C的虛軸長為C.雙曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 D.雙曲線C的漸近線方程為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程求解出，由雙曲線的性質(zhì)逐一判斷.【詳解】由雙曲線的方程，得，則，所以離心率為，A正確；虛軸長為，B錯(cuò)誤；焦點(diǎn)坐標(biāo)為，C正確；漸近線方程，D正確.故選：ACD10.下列說法中，正確的有（）A.直線在y軸上的截距是2B.直線與平行，則實(shí)數(shù)的值為1C.若點(diǎn)A（5，－2）和點(diǎn)B（m，n）關(guān)于直線x－y＋1＝0對(duì)稱，則m＋n＝3D.過點(diǎn)且在x軸，y軸上的截距相等的直線方程為【答案】BC【解析】【分析】通過計(jì)算可以判定選項(xiàng)BC正確；直線在y軸上的截距是所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；過點(diǎn)且在x軸，y軸上的截距相等的直線方程為或，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】A.直線在y軸上的截距是所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.直線與平行，則所以或當(dāng)時(shí)，兩直線重合，所以舍去.所以實(shí)數(shù)的值為1.所以該選項(xiàng)正確；C.若點(diǎn)A（5，－2）和點(diǎn)B（m，n）關(guān)于直線x－y＋1＝0對(duì)稱，所以，則m＋n＝3，所以該選項(xiàng)正確；D.過點(diǎn)且在x軸，y軸上的截距相等的直線方程為或，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC11.已知橢圓C：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，軸，垂足為E，直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)為P，則下列結(jié)論正確的是（）A.四邊形為平行四邊形B.可能為直角C.四邊形面積最大為4D.直線的斜率為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)對(duì)稱性判斷A，用反證法判斷B，由面積為4確定點(diǎn)位置，從而確定直線位置后判斷C，設(shè)，計(jì)算斜率判斷D．詳解】由橢圓方程得，，，選項(xiàng)A，由橢圓的對(duì)稱性得，又，所以四邊形AF1BF2為平行四邊形，A正確；選項(xiàng)B，若為直角，則，所以是橢圓短軸頂點(diǎn)，即橢圓與的軸交點(diǎn)，此時(shí)，直線與軸重合，不存在，B錯(cuò)；選項(xiàng)C，四邊形面積為，，則是短軸頂點(diǎn)，此時(shí)直線直線與軸重合，不存在，C錯(cuò)；選項(xiàng)D，設(shè)，則，，，，D正確．故選：AD．12.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，直線過且交于不同的兩點(diǎn)，在線段上，點(diǎn)為在上的射影．線段交軸于點(diǎn)，下列命題正確的是（）A.對(duì)于任意直線，均有B.不存在直線，滿足C.對(duì)于任意直線，直線與拋物線相切D.存在直線，使【答案】AC【解析】【分析】A選項(xiàng)由為線段的中點(diǎn)以及拋物線定義即可判斷，B選項(xiàng)由及拋物線方程求出，坐標(biāo)，再說明，，三點(diǎn)共線，即存在直線即可，C選項(xiàng)設(shè)，，表示出直線，聯(lián)立拋物線，利用即可判斷，D選項(xiàng)設(shè)出直線，聯(lián)立拋物線得到，通過焦半徑公式結(jié)合基本不等式得即可判斷．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，如圖，由拋物線知為的中點(diǎn)，軸，所以為線段的中點(diǎn)，由拋物線的定義知，所以，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)，，，，，為線段的中點(diǎn)，則，，，由，得，解得，，又，，故，，，可得，，故存在直線，滿足，所以選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由題意知，為線段的中點(diǎn)，從而設(shè)，則，直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立可得：，又，代入整理得，則，所以直線與拋物線相切，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)的方程，聯(lián)立，則，所以，，由，而，由，得，解得：，故，所以，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AC．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)晴：（1）直線與拋物線的位置關(guān)系一般需要設(shè)出直線方程，然后與拋物線聯(lián)立，進(jìn)而利用根與系數(shù)的關(guān)系；（2）有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長公式．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.經(jīng)過點(diǎn)的直線的傾斜角是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)斜率的公式求解即可.【詳解】經(jīng)過點(diǎn)的直線的傾斜角是.所以傾斜角為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)間斜率的計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.14.如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬米.【答案】2米【解析】【詳解】如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，將A（2，-2）代入，得m=-2，∴，代入B得，故水面寬為米，故答案為米．考點(diǎn)：拋物線應(yīng)用15.已知雙曲線C:（，）的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M，N兩點(diǎn).若，則C的離心率為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題干條件先得到和的值，然后利用三角函數(shù)和雙曲線漸近線方程分別表示，化簡得到的值，最后利用可得雙曲線的離心率.【詳解】如圖所示，由題意可知，，，，，設(shè)雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則，又，，解得，.故答案為：.16.已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，上頂點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，的面積的最大值為，若已知點(diǎn)、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為_________.【答案】##2.25【解析】【分析】根據(jù)的面積的最大值為可求得，進(jìn)而可得知點(diǎn)、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，可得出，由此利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】由已知條件可得、，直線的斜率為，則直線的方程為，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，過點(diǎn)的直線與橢圓相切且與直線平行，

故設(shè)該直線的方程為，聯(lián)立，整理，得，由，得，解得，分析可知當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，，此時(shí)切線方程為，則點(diǎn)到直線的距離.又，所以，所以，所以、，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此，的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于分析得到，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，過點(diǎn)的直線與橢圓相切且與直線平行，進(jìn)而聯(lián)立直線與橢圓方程借助求出，后續(xù)再求出，進(jìn)而結(jié)合基本不等式求解.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.求滿足下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）雙曲線的漸近線方程為，焦點(diǎn)在軸上，兩頂點(diǎn)之間的距離為2；（2）與雙曲線有共同的漸近線，并且經(jīng)過點(diǎn).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)漸近線得到，根據(jù)距離得到，得到答案.（2）設(shè)雙曲線方程為，代入點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算得到答案.【小問1詳解】雙曲線的漸近線方程為，則，兩頂點(diǎn)之間的距離為，則.故雙曲線方程為：.【小問2詳解】與雙曲線有共同的漸近線，則設(shè)雙曲線方程為，，過點(diǎn)，則，解得，故雙曲線方程為.18.直線經(jīng)過兩直線和的交點(diǎn)．（1）若直線與直線平行，求直線的方程；（2）若直線與圓相切，求直線的方程．【答案】（1）（2）、【解析】【分析】（1）先求得交點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)直線平行求得直線的方程.（2）設(shè)出直線的方程，利用圓心到直線的距離等于半徑求得正確答案.【小問1詳解】由解得，所以交點(diǎn)為，由于直線與直線平行，所以直線的斜率為，所以直線的方程為.【小問2詳解】圓的圓心為，半徑為，所以直線與圓相切當(dāng)過點(diǎn)的直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，，圓心到直線的距離，解得，所以直線方程為，.綜上所述，切線方程為、.19.已知圓：．（1）當(dāng)取何值時(shí)，直線：與圓相交得到的弦長最短；（2）若直線過點(diǎn)且被圓截得的弦長為8，求直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)直線被圓截得弦長的算法可知，圓心和直線所過定點(diǎn)的連線與直線垂直時(shí)，所得弦長最短；（2）按照斜率是否存在，分情況討論進(jìn)行求解.【小問1詳解】設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)

∵：過定點(diǎn)．∴當(dāng)時(shí)，弦長取最小值．∵，∴∴時(shí)直線：與圓相交得到的弦長最短．【小問2詳解】設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)①當(dāng)不存在時(shí)，依題意有：直線的方程為∵圓：∴弦長符合．∴直線方程為符合題意．②當(dāng)存在時(shí)，設(shè)直線：即∵弦長，，∴．∵，∴．解得．∴直線方程為：即．綜上：直線方程為：或．20.在以下三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的橫線上，并進(jìn)行求解：①圓經(jīng)過點(diǎn)；②圓心在直線上；③圓與直線相切；已知圓經(jīng)過點(diǎn)，且__________（1）求圓的方程；（2）已知點(diǎn)，問在圓上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的個(gè)數(shù)；若不存在，說明理由．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）答案見解析；（2）存在，符合題意的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2個(gè)．【解析】【分析】（1）若選①，設(shè)圓的方程為，由條件列方程求可得結(jié)論；若選②，先求直線的垂直平分線方程，與直線聯(lián)立可求圓心坐標(biāo)，再求圓的半徑，由此可得圓的方程；若選③，設(shè)圓的方程為，由條件列方程求可得圓的方程；（2）設(shè)，由條件求點(diǎn)的軌跡方程，再求該方程與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【小問1詳解】若選①，設(shè)圓的方程為，由已知可得，解得，所以圓的方程為，若選②，由已知的中點(diǎn)為的斜率為，所以的中垂線方程為：，即，又因?yàn)閳A心在直線上，聯(lián)立，可得，所以圓心的坐標(biāo)為，半徑為，所以圓的方程為：；若選③，設(shè)圓的方程為，因?yàn)閳A經(jīng)過點(diǎn)，所以，因?yàn)閳A與直線相切，所以，解得，所以圓的方程為；【小問2詳解】設(shè)，由已知，，即，點(diǎn)在圓上，圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑，又因點(diǎn)在圓上，圓的圓心的坐標(biāo)為，半徑，又，，所以，圓與圓相交，兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，符合題意的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是2個(gè)．21.已知過拋物線的焦點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于和兩點(diǎn)，且．（1）求該拋物線的方程；（2）O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，若，求的值．【答案】（1）；（2）或．【解析】【分析】（1）由題意求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到直線方程，和拋物線方程聯(lián)立，利用弦長公式求得，則拋物線方程可求；（2）由（1）求出，的坐標(biāo)結(jié)合，求出的坐標(biāo)，代入拋物線方程求得值．【詳解】解：（1）依題意可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，故直線的方程為，聯(lián)立，可得．，，△，解得，．經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)的弦，解得．拋物線方程為；（2）由（1）知，，，代入直線，可求得，，即，，，，，，，，，點(diǎn)在拋物線上，故，解得：或．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓(xùn)練了向量在求解圓錐曲線問題中的應(yīng)用，屬于中檔題．22.平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率為，且點(diǎn)（，）在橢圓上.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）