廣東省佛山市順德區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題含答案

2024-2025學(xué)年第一學(xué)期期中考試高二年級(jí)數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間：120分鐘滿分150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必填涂答題卷上的班級(jí)、姓名、考號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)等有關(guān)項(xiàng)目．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答案涂在答題卷相應(yīng)的位置上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效．4．請(qǐng)考生保持答題卷的整潔．考試結(jié)束后，將答題卷交回．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列條件中，能說明空間中不重合的三點(diǎn)A、B、C共線的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用空間中不重合的三點(diǎn)共線的條件，逐一考查所給的選項(xiàng)是否正確即可.【詳解】對(duì)于空間中的任意向量，都有，說法A錯(cuò)誤；若，則，而，據(jù)此可知，即兩點(diǎn)重合，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；，則線段的長(zhǎng)度與線段的長(zhǎng)度相等，不一定有A、B、C三點(diǎn)共線，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；，則A、B、C三點(diǎn)共線，選項(xiàng)D正確；故選：D.2.下列命題中，不正確的命題是（）A.空間中任意兩個(gè)向量一定共面B.若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使得C.對(duì)空間中任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，若，則P，A，B，C四點(diǎn)共面D.若是空間的一個(gè)基底，，則也是空間的一個(gè)基底【答案】B【解析】【分析】根據(jù)共面向量、向量平行、四點(diǎn)共面、基底等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，空間中任意兩個(gè)向量可以通過平移的方法平移到同一個(gè)平面，所以空間中任意兩個(gè)向量一定共面，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，若，可能是非零向量，是零向量，此時(shí)不存在，使，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，對(duì)于，有，所以四點(diǎn)共面，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，若是空間的一個(gè)基底，，假設(shè)，，則共面，與已知矛盾，所以不共面，所以是基底，所以D選項(xiàng)正確.故選：B3.從2名男生和2名女生中任意選出兩人參加冬奧知識(shí)競(jìng)賽，則選出的兩人恰好是一名男生和一名女生的概率是（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用列舉法求出古典概率即可.【詳解】記2名男生為，2名女生為，任意選出兩人的樣本空間，共6個(gè)樣本點(diǎn)，恰好一男一女生的事件，共4個(gè)樣本點(diǎn)，所以選出的兩人恰好是一名男生和一名女生的概率是.故選：A4.，分別為直線與上任意一點(diǎn)，則最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用兩平行線間的距離公式可求出的最小值.【詳解】由，可得兩條直線相互平行，所以最小值為平行線之間的距離，可化為，所以，.故選：A5.兩平行平面分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)，且兩平面的一個(gè)法向量，則兩平面間的距離是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由空間向量求解【詳解】∵兩平行平面分別經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和點(diǎn)，且兩平面的一個(gè)法向量，∴兩平面間的距離．故選：A6.設(shè)向量，，當(dāng)數(shù)與滿足下列哪種關(guān)系時(shí)，向量與軸垂直（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量垂直滿足的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】∵，，∴，取x軸的方向向量為，若向量與x軸垂直，則，解得：，故選：A．7.下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為（）①若直線的一個(gè)方向向量是，平面的一個(gè)法向量是，則②若向量，滿足，且，則在方向上的投影向量為③若，則，的夾角是鈍角④已知正四面體的棱長(zhǎng)為1，則A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷直線與平面的位置關(guān)系，即可判斷①；利用投影向量的計(jì)算公式判斷②；根據(jù)向量夾角與數(shù)量積的關(guān)系判斷③；利用正四面體的幾何性質(zhì)結(jié)合空間向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化求解即可判斷④，從而得結(jié)論.【詳解】對(duì)于①，若直線的一個(gè)方向向量是，平面的一個(gè)法向量是，則，所以或，故①不正確；對(duì)于②，若向量，滿足，且，則在方向上的投影向量為，故②正確；對(duì)于③，若，，的夾角是鈍角或平角，故③不正確；對(duì)于④，已知正四面體的棱長(zhǎng)為1，則，故④正確；綜上，正確命題的個(gè)數(shù)為2個(gè).故選：C.8.體積為的圓錐底面圓周上有三點(diǎn)A，B，C，其中M為圓錐頂點(diǎn)，O為底面圓圓心，且圓錐的軸截面為正三角形．若空間中一點(diǎn)N滿足（其中），則的最小值為（）A. B. C.3 D.6【答案】A【解析】【分析】由向量共面的推論判斷N的位置，進(jìn)而得到最小時(shí)N的位置，設(shè)圓錐MO底面圓的半徑為r，結(jié)合已知及圓錐體積公式求半徑，即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)镹滿足（其中），即N在圓O所在的平面內(nèi)．所以的最小值是頂點(diǎn)M到圓O所在的平面的距離，即為圓錐MO的高．設(shè)圓錐MO底面圓的半徑為r，因?yàn)閳A錐的軸截面為正三角形，所以圓錐MO的高為，則圓錐的體積為，解得．所以的最小值為.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分．9.下列說法正確的是（）A.若，則事件A與B是對(duì)立事件B.設(shè)A，B是兩個(gè)隨機(jī)事件，且，，若，則A，B是相互獨(dú)立事件C.A，B同時(shí)發(fā)生的概率一定比A，B中恰有一個(gè)發(fā)生的概率小D.若，，則“事件A，B相互獨(dú)立”與“事件A，B互斥”一定不能同時(shí)成立【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于AC：舉反例說明即可；對(duì)于BD：根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式以及互斥事件的概念分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：例如樣本空間為，事件，，可得，滿足，但，即事件不對(duì)立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)?，，，滿足，所以A，B是相互獨(dú)立事件，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：例如樣本空間為，事件，，則A，B同時(shí)發(fā)生為事件，則；A，B中恰有一個(gè)發(fā)生為事件，則；顯然，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，，若事件A，B相互獨(dú)立，則，可知事件A，B不互斥；若事件A，B互斥，則，即，可知事件A，B不相互獨(dú)立，所以“事件A，B相互獨(dú)立”與“事件A，B互斥”一定不能同時(shí)成立，故D正確；故選：BD.10.下列說法正確的是（）A.“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件B.“”是“直線與直線互相平行”的充要條件C.直線的傾斜角的取值范圍是D.若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則該直線的方程為【答案】BC【解析】【分析】由兩直線的平行與垂直，即可判斷AB，由直線傾斜角的定義即可判斷C，分直線過原點(diǎn)以及不過原點(diǎn)，即可判斷D【詳解】對(duì)于A，由可得直線與直線互相垂直，故充分性滿足，由直線與直線互相垂直，可得，解得或，，則必要性不滿足，所以“”不是“直線與直線互相垂直”的充要條件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由可得直線與直線互相平行，故充分性滿足，由直線與直線互相平行可得，解得，則必要性滿足，所以“”是“直線與直線互相平行”的充要條件，故B正確；對(duì)于C，設(shè)直線的傾斜角，則，又，所以，故C正確；對(duì)于D，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，若直線過原點(diǎn)，則直線方程為；若直線不過原點(diǎn)，則直線斜率為，在坐標(biāo)軸上截距為，所以直線方程為，即；所以直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則該直線的方程為或，故D錯(cuò)誤；故選：BC11.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，M，N兩點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，且，則（）A.在M，N兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，平面；B.在平面上存在一點(diǎn)P，使得平面；C.三棱錐的體積為定值；D.以點(diǎn)D為球心作半徑為的球面，則球面被正方體表面所截得的所有弧長(zhǎng)和為．【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)線面垂直、線面平行、三棱錐體積、正方體的截面等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】平面也即平面，A選項(xiàng)，由于三角形是等邊三角形，所以與所成角為，也即與不垂直，從而與平面不垂直，也即與平面不垂直，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，由于平面，平面，所以平面，同理可得平面，由于平面，，所以平面平面，由于平面，所以平面，所以在平面上存在一點(diǎn)，，使得平面，也即使得平面，B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，，所以到的距離為，所以，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，由于，而球的半徑為，以為圓心，為半徑作四分之一的圓弧，如圖所示，則弧是球面被正方體表面所截得的弧，且弧長(zhǎng)為，同理畫出弧如圖所示，這兩段弧長(zhǎng)都為，所以截得的弧長(zhǎng)總和為，所以D選項(xiàng)正確.故選：BCD【點(diǎn)睛】本題通過對(duì)立體幾何中正方體和球的組合關(guān)系進(jìn)行考查，要求學(xué)生分析平面與平面的位置關(guān)系、三棱錐體積是否為定值，以及球面截弧的計(jì)算．解題過程中，通過幾何對(duì)稱性和體積公式的應(yīng)用來確定各選項(xiàng)的正確性，充分體現(xiàn)了立體幾何的綜合性和數(shù)形結(jié)合的思想．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．請(qǐng)把答案填在答題卡中的橫線上．12.已知直線過兩條直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直，則直線的方程為(結(jié)果用一般式表示)________．【答案】【解析】【分析】由題意可得直線過點(diǎn)，且斜率為，由點(diǎn)斜式求解即可.【詳解】解：由，可得，即所求直線過點(diǎn)，又因?yàn)樗笾本€與直線垂直，所以直線斜率為，所以直線的方程為：，即.故答案為：13.已知直線的方向向量為，點(diǎn)在直線上，若點(diǎn)到直線的距離為，則________．【答案】或【解析】【分析】根據(jù)題意，由空間中點(diǎn)到直線的距離公式代入計(jì)算，即可求解.【詳解】由題意得，又，所以，，所以點(diǎn)到直線的距離為，解得或.故選：或.14.已知球的半徑為是球的直徑，點(diǎn)在球的球面上.若空間中一點(diǎn)與點(diǎn)間的距離為，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】利用向量的四則運(yùn)算可得，再根據(jù)數(shù)量積的公式和運(yùn)算律求解即可.【詳解】由題意可得點(diǎn)在以為球心，為半徑的球上，所以，因?yàn)椋?，所以，所以的最小值為，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知ABC的頂點(diǎn)，AB邊上的中線CM所在直線方程為，AC的邊上的高BH所在直線方程為．（1）求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）求直線BC的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，利用點(diǎn)C在AB邊上的中線CM上和直線AC與高線BH垂直求解；（2）設(shè)，利用點(diǎn)B在BH上和AB的中點(diǎn)M在直線CM上求解；【小問1詳解】解：設(shè)，∵AB邊上的中線CM所在直線方程為，AC邊上的高BH所在直線方程為．∴，解得．∴．【小問2詳解】設(shè)，則，解得．∴．∴．∴直線BC的方程為，即為．16.甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語，已知甲每輪猜對(duì)的概率為，乙每輪猜對(duì)的概率為．在每輪活動(dòng)中，甲和乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響．求（1）分別求甲在兩輪活動(dòng)中共猜對(duì)1個(gè)，2個(gè)成語的概率；（2）分別求乙在兩輪活動(dòng)中共猜對(duì)1個(gè)，2個(gè)成語的概率；（3）求“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中共猜對(duì)3個(gè)成語的概率．【答案】（1）甲在兩輪活動(dòng)中共猜對(duì)1個(gè)成語的概率為，2個(gè)成語的概率為；（2）乙在兩輪活動(dòng)中共猜對(duì)1個(gè)成語的概率為，2個(gè)成語的概率為；（3）“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中共猜對(duì)3個(gè)成語的概率為．【解析】【分析】（1）由互斥事件的和事件的概率公式與獨(dú)立事件概率的乘法公式可求解；（2）由互斥事件的和事件的概率公式與獨(dú)立事件概率的乘法公式可求解；（3）兩輪活動(dòng)猜對(duì)3個(gè)成語，相當(dāng)于事件“甲猜對(duì)1個(gè)，乙猜對(duì)2個(gè)”、事件“甲猜對(duì)2個(gè)，乙猜對(duì)1個(gè)”的和事件發(fā)生，根據(jù)獨(dú)立事件概率求法即可得解.【小問1詳解】設(shè)分別表示甲兩輪猜對(duì)1個(gè)，2個(gè)成語的事件，根據(jù)獨(dú)立事件的性質(zhì)，可得，所以甲在兩輪活動(dòng)中共猜對(duì)1個(gè)成語的概率為，2個(gè)成語的概率；【小問2詳解】設(shè)分別表示乙兩輪猜對(duì)1個(gè)，2個(gè)成語的事件.根據(jù)獨(dú)立事件的性質(zhì)，可得，所以乙在兩輪活動(dòng)中共猜對(duì)1個(gè)成語的概率為，2個(gè)成語的概率；【小問3詳解】設(shè)表示“兩輪活動(dòng)‘星隊(duì)’猜對(duì)3個(gè)成語”，由（1）（2）可得，且與互斥，與，與分別相互獨(dú)立，所以，因此，“星隊(duì)”在兩輪活動(dòng)中猜對(duì)3個(gè)成語的概率是.17.在平行六面體中，，，，E為與的交點(diǎn)．（1）用向量，，表示；（2）求線段的長(zhǎng)；（3）求異面直線與所成角．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）結(jié)合題意根據(jù)向量加法的三角形法則和平行四邊形法則即可求解；（2）由（1）的結(jié)論，結(jié)合向量的數(shù)量積公式及模長(zhǎng)定義進(jìn)行運(yùn)算即可.（3）利用向量的減法運(yùn)算及數(shù)量積公式運(yùn)算即可求解.【小問1詳解】由題意得，即.【小問2詳解】由（1）得，所以線段的長(zhǎng)為.【小問3詳解】，所以異面直線與所成的角為.18.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求平面與平面的夾角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量坐標(biāo)，再利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得.（2）由，結(jié)合，利用線面垂直的判定定理證明.（3）求得平面和平面的法向量坐標(biāo)，再利用面面角的向量求法求解.【小問1詳解】在四棱錐中，底面，底面，則，由底面是正方形，得，以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，則，而平面，所以平面.【小問2詳解】由（1）知，，由，得，又，且平面，所以平面.【小問3詳解】由（1）知，，且，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，，而，則，即，則的一個(gè)法向量為，因此，而，則，所以平面與平面的夾角為.19.如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，，，，，且平面平面，在平面內(nèi)過作，交于，連.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）在線段上存在一點(diǎn)，使直線與平面所成的角的正弦值為，求的長(zhǎng).【答案】（1）證明見解析（2）.（3）.【解析】【分