必修二課后作業(yè)第一章　立體幾何初步124第3課時

第3課時兩平面垂直的性質(zhì)學習目標1.掌握直線與平面垂直，平面與平面垂直的性質(zhì)定理.2.能運用性質(zhì)定理解決一些簡單的問題.3.了解直線與平面、平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理間的相互聯(lián)系．知識點平面與平面垂直的性質(zhì)定理思考黑板所在的平面與地面所在的平面垂直，你能否在黑板上畫一條直線與地面垂直？答案容易發(fā)現(xiàn)墻壁與墻壁所在平面的交線與地面垂直，因此只要在黑板上畫出一條與這條交線平行的直線，則所畫的直線必與地面垂直．梳理

文字語言如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面符號語言α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β圖形語言類型一平面與平面垂直的性質(zhì)定理例1如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，ABCD是∠DAB＝60°且邊長為a的菱形．側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G為AD邊的中點．求證：(1)BG⊥平面PAD；(2)AD⊥PB.證明(1)由題意知△PAD為正三角形，G是AD的中點，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四邊形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD，BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PBG.又PB?平面PBG，所以AD⊥PB.反思與感悟當題目條件中有面面垂直的條件時，往往要由面面垂直的性質(zhì)定理推導出線面垂直的條件，進而得到線線垂直的關(guān)系．因此見到面面垂直條件時要找準兩平面的交線，有目的地在平面內(nèi)找交線的垂線．跟蹤訓練1如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求證：BC⊥AB.證明如圖，在平面PAB內(nèi)，作AD⊥PB于點D.∵平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，∴AD⊥平面PBC.又BC?平面PBC，∴AD⊥BC.又∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC.又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.又AB?平面PAB，∴BC⊥AB.類型二立體幾何中的折疊問題例2如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E為CD的中點．將△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到幾何體D—ABCE.求證：BE⊥平面ADE.證明在△ADE中，AE2＝AD2＋DE2＝12＋12＝2，在△BCE中，BE2＝BC2＋CE2＝12＋12＝2，故在△AEB中，∵AE2＋BE2＝AB2，∴BE⊥AE.又平面ADE⊥平面ABCE，且平面ADE∩平面ABCE＝AE，BE?平面ABCE，∴BE⊥平面ADE.反思與感悟(1)抓住折疊前后的不變量與變化量，同在半平面內(nèi)的兩個元素之間的關(guān)系保持不變，而位于兩個半平面內(nèi)的兩個元素之間關(guān)系改變．(2)特別要有意識地注意折疊前后不變的垂直性和平行性．跟蹤訓練2如圖①所示，在平面四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝a，∠B＝90°，∠C＝135°.沿對角線AC將四邊形折成直二面角，如圖②所示．求證：平面ABD⊥平面BCD.證明∵∠ACD＝135°－45°＝90°，∴CD⊥AC.由已知得二面角B—AC—D是直二面角，過B作BO⊥AC，垂足為O，由AB＝BC知，O為AC的中點，作OE⊥AC交AD于E，則∠BOE＝90°，∴BO⊥OE.而OE∩AC＝O，∴BO⊥平面ACD.∵CD?平面ACD，∴BO⊥CD.又AC∩BO＝O，∴CD⊥平面ABC，∵AB?平面ABC，∴AB⊥CD.由已知∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.而BC∩CD＝C，∴AB⊥平面BCD.又∵AB?平面ABD，∴平面ABD⊥平面BCD.類型三線線、線面、面面垂直的綜合應(yīng)用例3如圖，在四棱錐P—ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分別是CD和PC的中點．求證：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.證明(1)因為平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于這兩個平面的交線AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因為AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四邊形ABED為平行四邊形，所以BE∥AD.又因為BE?平面PAD，AD?平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因為AB⊥AD，而且四邊形ABED為平行四邊形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.因為E和F分別是CD和PC的中點，所以PD∥EF，所以CD⊥EF.又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.反思與感悟(1)線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉(zhuǎn)化：(2)在運用面面垂直的性質(zhì)定理時，一般需作輔助線，基本作法是過其中一個平面內(nèi)一點作交線的垂線，這樣把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直或線線垂直．跟蹤訓練3如圖，在四棱錐S—ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，且SA＝AB，點E為AB的中點，點F為SC的中點．求證：(1)EF⊥CD；(2)平面SCD⊥平面SCE.證明(1)連結(jié)AC、AF、BF.∵SA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴SA⊥AC.∴AF為Rt△SAC的斜邊SC上的中線，∴AF＝eq\f(1,2)SC.又∵四邊形ABCD是正方形，∴BC⊥AB.而由SA⊥平面ABCD，得CB⊥SA.又SA∩AB＝A.∴CB⊥平面SAB.∵SB?平面SAB，∴CB⊥SB，∴BF為Rt△SBC的斜邊SC上的中線，∴BF＝eq\f(1,2)SC.∴△AFB為等腰三角形，∵E為AB的中點，∴EF⊥AB.又CD∥AB，∴EF⊥CD.(2)由已知易得Rt△SAE≌Rt△CBE，∴SE＝EC，即△SEC是等腰三角形，∴EF⊥SC.又∵EF⊥CD，且SC∩CD＝C，∴EF⊥平面SCD.又EF?平面SCE，∴平面SCD⊥平面SCE.1．給出下列四個說法：①若一個平面內(nèi)的兩條直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面相互平行；②若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面相互垂直；③垂直于同一直線的兩條直線相互平行；④若兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個平面也不垂直．其中正確的是________．(填序號)答案②④解析①中若兩直線平行，則結(jié)論錯誤；②正確；在空間中③錯誤；④正確．2．已知平面α⊥平面β，直線a∥α，則直線a與β的位置關(guān)系可能是________．(填序號)①a⊥β；②a∥β；③a與β相交．答案①②③3．若將邊長為2的正方形ABCD沿AC折疊成直二面角，則B，D兩點間的距離為________．答案24.如圖，在三棱錐P—ABC內(nèi)，側(cè)面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，則PB＝________.答案eq\r(5)解析∵側(cè)面PAC⊥底面ABC，交線為AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5).5．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝eq\r(3)a，AC∩BD＝E，將其沿對角線BD折成直二面角．求證：(1)AB⊥平面BCD；(2)平面ACD⊥平面ABD.證明(1)在△ABD中，AB＝a，AD＝2a，BD＝eq\r(3)a，∴AB2＋BD2＝AD2，∴∠ABD＝90°，AB⊥BD.又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB?平面ABD，∴AB⊥平面BCD.(2)折疊前四邊形ABCD是平行四邊形，且AB⊥BD，∴CD⊥BD.由(1)知AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.∵AB∩BD＝B，∴CD⊥平面ABD.又CD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD.面面垂直的性質(zhì)定理揭示了“面面垂直、線面垂直及線線垂直”間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學中的化歸轉(zhuǎn)化思想，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：課時作業(yè)一、填空題1．下列命題中錯誤的是________．(填序號)①如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β；②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β；③如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ；④如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β.答案④解析如果平面α⊥平面β，平面α內(nèi)的直線有的與平面β平行，有的與平面β相交，故④錯誤．2．平面α⊥平面β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，直線m⊥α，則直線m與n的位置關(guān)系是________．答案平行解析∵α⊥β，α∩β＝l，n?β，n⊥l，∴n⊥α.又∵m⊥α，∴m∥n.3．已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AD⊥BC，D為垂足，以AD為折痕，將△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個平面后，如圖所示，有下列結(jié)論：①BD⊥CD；②BD⊥AC；③AD⊥平面BCD；④△ABC是等邊三角形．其中正確結(jié)論的個數(shù)為________．答案4解析①正確，因為∠BDC為二面角B－AD－C的平面角，由題意知∠BDC＝90°，所以BD⊥CD；②正確，易知BD⊥平面ACD，所以BD⊥AC；③正確，因為折疊后仍有AD⊥BD，AD⊥DC，易知AD⊥平面BCD；④正確，因為AD＝BD＝DC，且以D為頂點的三個角都是直角，由勾股定理知AB＝BC＝AC，即△ABC為等邊三角形．4.如圖，平面ABC⊥平面BDC，∠BAC＝∠BDC＝90°，且AB＝AC＝a，則AD＝________.答案a解析取BC的中點M，則AM⊥BC，由題意得AM⊥平面BDC，∴△AMD為直角三角形，且AM＝MD＝eq\f(\r(2),2)a，∴AD＝a.5．設(shè)α－l－β是直二面角，直線a?α，直線b?β，a，b與l都不垂直，那么下列說法正確的是________．(填序號)①a與b可能垂直，但不可能平行；②a與b可能垂直，也可能平行；③a與b不可能垂直，但可能平行；④a與b不可能垂直，也不可能平行．答案③解析由題意知，當a∥l，l∥b時，a∥b；故①④錯；若a⊥b，∵b與l不垂直，在b上取點A，過A作AB⊥l，由面面垂直的性質(zhì)定理得AB⊥α.∵a?α，∴AB⊥a.又a⊥b，AB∩b＝A，∴a⊥β?a⊥l.這和a與l不垂直相矛盾．∴不可能a⊥b.故②錯，故選③.6.如圖，已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，在l上取線段AB＝4，AC，BD分別在α，β內(nèi)，且AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝3，BD＝6，則CD＝________.答案eq\r(61)解析作AE∥BD，使得AE＝BD，連結(jié)DE，CE，則四邊形ABDE為矩形且AE⊥AB，DE⊥CE，在Rt△ACE中，CE＝eq\r(AC2＋AE2)＝eq\r(45)，在Rt△CED中，CD＝eq\r(CE2＋DE2)＝eq\r(61).7.如圖，若邊長為4和3與邊長為4和2的兩個矩形所在的平面互相垂直，則cosα∶cosβ＝________.答案eq\r(5)∶2解析由題意，兩個矩形的對角線長分別為5,2eq\r(5)，所以cosα＝eq\f(5,\r(25＋4))＝eq\f(5,\r(29))，cosβ＝eq\f(2\r(5),\r(29))，所以cosα∶cosβ＝eq\r(5)∶2.8.如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則點C1在底面ABC上的射影H必在直線________上．答案AB解析由AC⊥BC1，AC⊥AB，得AC⊥平面ABC1.又AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC.∴C1在平面ABC上的射影H必在交線AB上．9．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A－BCD，則在三棱錐A－BCD中，下列說法正確的是________．(填序號)①平面ABD⊥平面ABC；②平面ADC⊥平面BDC；③平面ABC⊥平面BDC；④平面ADC⊥平面ABC.答案④解析如圖，在平面圖形中CD⊥BD，折起后仍然滿足CD⊥BD.由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，又AB?平面ABC，所以平面ADC⊥平面ABC.10．在空間四邊形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，則△ABC的形狀是________三角形．答案直角解析如圖所示，連結(jié)BD，作AE⊥BD于點E，因為平面ABD⊥平面BCD，易知AE⊥平面BCD，BC?平面BCD，所以BC⊥AE.又因為AD⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以BC⊥AD.又AE∩AD＝A，所以BC⊥平面ABD.而AB?平面ABD，則BC⊥AB，所以△ABC為直角三角形．二、解答題11.如圖，在四棱錐A—BCDE中，底面BCDE為矩形，側(cè)面ABC⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝eq\r(2)，AB＝AC.求證：AD⊥CE.證明如圖所示，作AO⊥BC，垂足為O，連結(jié)OD.由于AO⊥BC且平面ABC⊥平面BCDE，所以AO⊥底面BCDE，且O為BC的中點，由eq\f(OC,CD)＝eq\f(CD,DE)＝eq\f(1,\r(2))知，Rt△OCD∽Rt△CDE，從而∠ODC＝∠CED，于是CE⊥OD.又∵CE⊥AO，AO∩OD＝O，∴CE⊥平面AOD.∵AD?平面AOD，∴AD⊥CE.12.如圖，在△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E、F分別是AC、AD上的動點，且eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0<λ<1)．(1)當λ為何值時，平面BEF⊥平面ABC?(2)當λ為何值時，平面BEF⊥平面ACD?解(1)∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.又∵CD⊥BC且AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.又∵eq\f(AE,AC)＝eq\f(AF,AD)＝λ(0<λ<1)，∴不論λ為何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC.∵EF?平面BEF，∴不論λ為何值，恒有平面BEF⊥平面ABC.(2)由(1)知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，平面BEF∩平面ACD＝EF，∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，∠ADB＝60°，∴BD＝eq\r(2)，AB＝eq\r(2)tan60°＝eq\r(6)，∴AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(7).由AB2＝AE·AC，得AE＝eq\f(6,\r(7))，∴λ＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(6,7).故當λ＝eq\f(6,7)時，平面BEF⊥平面ACD.13.如圖，在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰三角形，AB＝AC，側(cè)面BB1C1C⊥底面ABC.(1)若D是BC的中點，求證：AD⊥CC1；(2)過側(cè)面BB1C1C的對角線BC1的平面交側(cè)棱AA1于M，若AM＝MA1，求證：截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C；(3)如果截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C，那么AM＝MA1嗎？請你敘述判斷理由．(1)證明∵AB＝AC，D是BC的中點，∴AD⊥BC.∵底面ABC⊥側(cè)面BB1C1C，平面ABC∩側(cè)面BB1C1C＝BC，∴AD⊥側(cè)面BB1C1C.又CC1?平面BB1C1C，∴AD⊥CC1.(2)證明如圖，延長B1A1與BM的延長線交于點N，連結(jié)C1N.∵AM＝MA1，MA1∥BB1，∴A1M＝eq\f(1,2)BB1，NA1＝A1B1.∵A1B1＝A1C1，∴A1C1＝A1N＝A1B1，∴C1N⊥C1B1.∵底面NB1C1⊥側(cè)面BB1C1C，平面NB1C1∩側(cè)面BB1C1C＝C1B1，∴C1N⊥側(cè)面BB1C1C.又∵C1N?平面MBC1，∴截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C.(3)解過點M作ME⊥BC1于點E，連結(jié)DE.∵截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C，截面MBC1∩側(cè)面BB1C1C＝BC1，∴ME⊥側(cè)面BB1C1C.又∵AD⊥側(cè)面BB1C1C，∴ME∥AD，∴M，E，D，A四點共面．∵AM∥側(cè)面BB1C1C，∴AM∥DE.∵AM∥CC1，∴DE∥CC1.∵D是BC的中點，∴E是BC1的中點．∴AM＝DE＝eq\f(1,2)CC1＝eq