42一元二次不等式及其解法（5知識(shí)點(diǎn)5題型鞏固訓(xùn)練）

4.2一元二次不等式及其解法課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.正確理解一元二次方程、二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系，掌握一二次不等式的解法;2.通過看圖象找解集，培養(yǎng)學(xué)生“從形到數(shù)”的轉(zhuǎn)化能力和從“特殊到一般”的歸納能力;1.一元二次不等式及一元二次不等式解集的概念.2.一元二次方程、一元二次函數(shù)與一元二次不等式的內(nèi)在聯(lián)系:3.運(yùn)用函數(shù)、方程以及一元二次函數(shù)的圖象求解一元二次不等式的解集4.理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式解集之間的關(guān)系知識(shí)點(diǎn)01一元二次不等式的概念定義只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，叫做一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均為常數(shù)【即學(xué)即練1】（多選）（2425高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列不等式是一元二次不等式的是（

）A．x2>0 BC．mx2-【答案】AB【分析】根據(jù)一元二次不等式的定義判斷即可.【詳解】對(duì)于A：x2>0，符合一元二次不等式的定義，是一元二次不等式，故對(duì)于B：-x2-對(duì)于C：mx2-對(duì)于D：ax2+bx+c故選：AB【即學(xué)即練2】（2425高一上·全國(guó)·課堂例題）下列不等式是否是一元二次不等式？(1)-4(2)ax(3)x2(4)2x【答案】(1)是(2)答案見解析(3)不是(4)不是【分析】根據(jù)一元二次不等式的概念判斷即可.【詳解】（1）-4x（2）a=0時(shí)，ax2a不等于0時(shí)，ax（3）x2-（4）2x+5≤0知識(shí)點(diǎn)02一元二次函數(shù)的零點(diǎn)一般地，對(duì)于二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實(shí)數(shù)x叫做二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點(diǎn)．【即學(xué)即練3】（2324高一上·江蘇南京·階段練習(xí)）設(shè)m為實(shí)數(shù)，若二次函數(shù)y=x2-x+m【答案】0,【分析】由題意方程x2-x+【詳解】二次函數(shù)y=x2因?yàn)槎魏瘮?shù)y=x2所以方程x2-x記方程x2-x+m解得0<m<1故答案為：0【即學(xué)即練4】（2324高一·上?！ふn堂例題）已知關(guān)于x的一元二次方程2x2+【答案】-【分析】根據(jù)方程無(wú)解得出判別式小于零得出參數(shù)范圍.【詳解】因?yàn)?x所以Δ=所以-2知識(shí)點(diǎn)03二次函數(shù)與與一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的對(duì)應(yīng)關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??【即學(xué)即練5】（2021高一·上?！ｎ}練習(xí)）二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，則y>0的解集為（

）A．{x|2<x<1} B．{x|1<x<2}C．{x|1<x≤2} D．{x|x<0或x>3}【答案】B【分析】直接根據(jù)圖象求解即可.【詳解】由題圖知y>0的解集為{x|1<x<2}.故選B.【即學(xué)即練6】（2425高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）作出二次函數(shù)y=x2-12x+20【答案】能，解集為{x【分析】解一元二次不等式即可.【詳解】從圖象上看，位于x軸上方的圖象使得函數(shù)值大于零，位于x軸下方的圖象使得函數(shù)值小于零，又方程x2-12x+20=0故x2-12知識(shí)點(diǎn)04一元二次不等式的解法1.將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．2.求出相應(yīng)的一元二次方程的根．3.利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)確定一元二次不等式的解集．方程的根→函數(shù)草圖→觀察得解，對(duì)于的情況可以化為的情況解決注：對(duì)于二次型一元二次不等式應(yīng)首先考慮二次項(xiàng)系數(shù)的情況，當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，按照一次不等式來解決，對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)的情況一般將二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)之后再解。注：對(duì)于含參一元二次不等式內(nèi)容首先考慮能不能因式分解，然后就二次方程根進(jìn)行分類討論，同時(shí)注意判別式韋達(dá)定理的應(yīng)用。注意：三個(gè)“二次”之間的關(guān)系1.三個(gè)“二次”間的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集eq\f({x|x＞x2,或x＜x1})eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠－\f(b,2a)))Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}??2.討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應(yīng)的二次函數(shù)相聯(lián)系，通過二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)來解決問題，關(guān)系如下：注意：由于忽視二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)和不等號(hào)的開口易寫錯(cuò)不等式的解集形式．【即學(xué)即練7】（2017高二·安徽·學(xué)業(yè)考試）不等式(x-1)(A．{x|x<-2或x>1} B．{x|-2<x【答案】A【分析】利用“三個(gè)二次”的關(guān)系解二次不等式.【詳解】不等式(x-1)(x+2)>0故選：A.【點(diǎn)睛】二次函數(shù)、二次方程與二次不等式統(tǒng)稱“三個(gè)二次”，它們常結(jié)合在一起，有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法．一般從：①開口方向；②對(duì)稱軸位置；③判別式；④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)四個(gè)方面分析．【即學(xué)即練8】（多選）（2425高一上·浙江溫州·開學(xué)考試）已知函數(shù)y=axA．關(guān)于x的不等式ax2B．關(guān)于x的不等式ax2C．函數(shù)y=axD．“關(guān)于x的方程ax2+bx-3=0【答案】BCD【分析】解含參的一元二次不等式判斷A,B,根據(jù)含參的一元二次不等式解集得出參數(shù)范圍判斷C,D.【詳解】對(duì)A，若不等式ax2+bx-3<0的解集是xx而當(dāng)a=0，b=1時(shí)，不等式ax2+bx-3<0，即對(duì)B，取a=-1，b=0，此時(shí)不等式-x2-對(duì)C，取a=-1，b=4，則由y=-x2+4x對(duì)D，若關(guān)于x的方程ax2+bx-若a>0，則Δ=b2+12a>0，故關(guān)于x的方程且x1x2=-3a因此“關(guān)于x的方程ax2+bx-3=0有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根”的充要條件是“故選：BCD.知識(shí)點(diǎn)05含參一元二次不等式的步驟【即學(xué)即練9】（2324高一下·全國(guó)·課堂例題）若(2m-1)x2+x-【答案】-∞【分析】由一元二次不等式定義可知二次項(xiàng)系數(shù)不為零，可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)一元二次不等式的定義可得2m解得m≠因此可得m的取值范圍是-∞,故答案為：-∞【即學(xué)即練10】（2425高一上·全國(guó)·隨堂練習(xí)）若0<m<1，則不等式x-m【答案】x【分析】由題可知，對(duì)應(yīng)的一元二次函數(shù)開口向上，因此根據(jù)口訣“大于取兩邊，小于取中間”即可一元二次不等式.【詳解】因?yàn)?<m所以m<所以由(x得m<所以原不等式的解集為x|故答案為：x|難點(diǎn)：分類討論思想的運(yùn)用示例1：（2324高一上·江蘇徐州·階段練習(xí)）解關(guān)于x的不等式：ax【答案】答案見解析【分析】分a=0，a>0和a<0三種情況，在【詳解】①當(dāng)a=0時(shí)，原不等式化為x+1≤0，解得②當(dāng)a>0時(shí)，原不等式化為x-2ax③當(dāng)a<0時(shí)，原不等式化為x當(dāng)2a>-1，即a<-2當(dāng)2a=-1，即a=-2當(dāng)2a<-1，即-2<綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為x當(dāng)a>0時(shí)，不等式的解集為x當(dāng)-2<a<0當(dāng)a=-2時(shí)，不等式的解集為-當(dāng)a<-2時(shí)，不等式的解集為x【題型1：一元二次不等式的概念及辨析】例1．（多選）（2526高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列是一元二次不等式的是（

）A．x2+2C．x2+3【答案】AD【分析】根據(jù)一元二次不等式的定義判斷即可.【詳解】由于x2+x+1<0含有根式（因此只有x2+2x<-1、x2故選：AD．變式1．（多選）（2021高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）下面所給關(guān)于x的不等式，其中一定為一元二次不等式的是（

）A．3x+4<0 B．x2+mx1>0C．a(chǎn)x2+4x7>0 D．x2<0【答案】BD【分析】利用一元二次不等式的定義和特征對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A是一元一次不等式，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，D，不等式的最高次是二次，二次項(xiàng)系數(shù)不為0，故正確；當(dāng)a=0時(shí)，選項(xiàng)C是一元一次不等式，故不一定是一元二次不等式，即錯(cuò)誤故選：BD.變式2．（2023高一·全國(guó)·專題練習(xí)）給出下列不等式(a,b,c∈R)：①2x+3y>0；②ax2>2；③x3-3x+4≤0；【答案】⑥⑦【分析】根據(jù)一元二次不等式的定義逐一分析每個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】①不是，是二元一次不等式；②不一定是，當(dāng)a≠0時(shí)是一元二次不等式，當(dāng)a③不是，未知數(shù)的最高次數(shù)是3；④不是，是二元二次不等式；⑤不一定是，原因同②；⑥是，因?yàn)閍2⑦是，因?yàn)榉弦辉尾坏仁降亩x．故答案為：⑥⑦變式3．（2021高一·全國(guó)·課后作業(yè)）寫出一個(gè)解集為-2,3的一元二次不等式：【答案】x+2【分析】由一元二次不等式的解法，即可寫出不等式，得到答案.【詳解】由一元二次不等式的解法可知，解集為-2,3的一元二次不等式可以是x故答案為：x+2x變式4．（2425高一上·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）觀察下面幾個(gè)式子或不等式，它們有什么區(qū)別？①y=x2-2x；②2x【答案】答案見解析【分析】略【詳解】①為二次函數(shù)；②為一元一次不等式；③④為一元二次不等式.變式5．（2122高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列不等式中哪些是一元二次不等式?（其中a，b，c，m為常數(shù)）(1)x(2)-(3)a(4)x(5)m(6)a【答案】(1)是(2)是(3)不是(4)不是(5)不是(6)不是【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）根據(jù)一元二次不等式的定義判斷.【詳解】（1）符合一元二次不等式的定義，所以（1）是一元二次不等式.（2）符合一元二次不等式的定義，所以（2）是一元二次不等式.（3）不是，因?yàn)楫?dāng)a=0時(shí)，不符合一元二次不等式的定義（4）不是，因?yàn)閤的最高次數(shù)為3，不符合一元二次不等式的定義.（5）不是，因?yàn)楫?dāng)m=0時(shí)，它為一元一次不等式；當(dāng)m≠0（6）不是，因?yàn)楫?dāng)a=0時(shí)，不符合一元二次不等式的定義【題型2：不含參一元二次不等式】例2．（2526高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）“-2<x<4”是“x2A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可．【詳解】由x2-x因?yàn)?2<故“-2<x<4”是“故選：A．變式1．（2324高一上·浙江臺(tái)州·開學(xué)考試）使不等式2x+1xA．x≥0 B．x<0或x>2 C．x∈-【答案】C【分析】解不等式并找出不等式解集的真子集即可得出結(jié)論.【詳解】解不等式2x+1x-3檢驗(yàn)可知選項(xiàng)C是x|x≤-12故選：C變式2．（2024高二下·云南·學(xué)業(yè)考試）不等式xx-6A．{x∣x<0} B．{x∣x>6}【答案】D【分析】由一元二次不等式求解即可．【詳解】由xx-6則不等式的解集為：x|0≤故選：D變式3．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在R上定義運(yùn)算“⊙”：a⊙b=ab+2a+A．(0,2) B．(-2,1) C．(-∞,-2)∪(1,+∞) D．(-1,2)【答案】B【分析】根據(jù)規(guī)定的新定義運(yùn)算法則化簡(jiǎn)不等式x⊙(【詳解】根據(jù)給出在R上定義運(yùn)算x⊙(由x⊙(x-2)<0得故該不等式的解集是(-2,1)．故選：B變式4．（2024高一上·浙江寧波·專題練習(xí)）已知-x2-2x【答案】-∞【分析】因?yàn)榉匠蘹2+2x-3=0的解是函數(shù)y=x2【詳解】由題-x解x2+2x-3=0作出函數(shù)y=

由圖可得不等式x2+2x所以原不等式-x2-故答案為：-∞,-3變式5．（2425高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）不等式x2-4x【答案】x【分析】將左邊配成完全平方式，即可解得.【詳解】由x2-4x+4>0所以不等式x2-4故答案為：x變式6．（2526高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）不等式3x2+5x【答案】?【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)即可求解.【詳解】原不等式等價(jià)于x2+x因此原不等式的解集為?．故答案為：?變式7．（2324高一下·全國(guó)·課堂例題）解下列不等式：(1)x-(2)xx(3)1-x(4)x【答案】(1)-∞(2)-(3)1,2(4)(-∞,-1)∪(2,+∞)【分析】（1）不等式可化為x-2（2）移項(xiàng)化簡(jiǎn)，根據(jù)一元二次不等式的解法，即可求得答案.（3）不等式可化為x-1（4）不等式可化為x+1x【詳解】（1）x-2x-2x（2）xx+2≤3x-3（3）1-x2-xx-1（4）x2-x-2>0因式分解可得【方法技巧與總結(jié)】解一元二次不等式的常見方法(1)圖象法：①化不等式為標(biāo)準(zhǔn)形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)或ax2＋bx＋c<0(a>0)；②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的簡(jiǎn)圖；③由圖象得出不等式的解集．【題型3：含參一元二次不等式】例3．（2324高二下·福建福州·期末）設(shè)a為實(shí)數(shù)，則關(guān)于x的不等式ax-1xA．-∞,-2 B．C．1a,-2 D【答案】B【分析】對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論得到一元二次不等式的解集后求解即可.【詳解】對(duì)于ax-1x+2>0此時(shí)解得x∈當(dāng)a∈(0,+∞)時(shí)，解得x當(dāng)a∈(-12當(dāng)a=-當(dāng)a∈-∞,-綜上討論，x∈故x∈-∞,1故選：B變式1．（多選）（2425高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知實(shí)數(shù)a∈R，則不等式x+aA．x-a<C．{x|x>1a或【答案】AD【分析】分a=0、a>0、a【詳解】由x+當(dāng)a=0時(shí)，不等式即為-x<0，解得x當(dāng)a>0時(shí)，解得-a<當(dāng)a<0時(shí)，不等式即為ax+解得x>-a或x<1a綜上可得：當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為x當(dāng)a>0時(shí)，不等式的解集為x當(dāng)a<0時(shí)，不等式的解集為{x|x>-a故選：AD變式2．（2324高一下·全國(guó)·課堂例題）解關(guān)于x的不等式：x2+ax【答案】答案見解析【分析】根據(jù)Δ≤0,Δ>0兩種情況，進(jìn)行求解；【詳解】Δ=①當(dāng)Δ=a2-②當(dāng)Δ=a2-4>0，即方程x2+ax+1<0的兩根為則原不等式的解集為x綜上所述，當(dāng)-2≤當(dāng)a>2或a<-2時(shí)，原不等式的解集為變式3．（2324高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）已知p:x-1<1，q:x【答案】0,2【分析】先對(duì)p求解得p:0<x<2，對(duì)q化簡(jiǎn)得q:x-1x-【詳解】由x-1<1，解得0<對(duì)于q:x2若a>1，解得1≤x≤a，要使p是q的必要不充分條件，則若a<1，解得a≤x≤1，要使p是q的必要不充分條件，則若a=1，則q為{所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是0,2.變式4．（1516高一下·天津·期中）解關(guān)于變量x的不等式：ax【答案】答案見解析【分析】根據(jù)題意，分2種情況討論：①當(dāng)a=0時(shí)，不等式為：-x+3<0，解可得x的范圍，②若a≠0，ax2-【詳解】根據(jù)題意，ax分2種情況討論：①當(dāng)a=0時(shí)，不等式為：-x+3<0，解可得x②若a≠0，ax2-(3當(dāng)a<0時(shí)，不等式的解集為(-∞，1a)∪(3當(dāng)a>0若0<a<1若a=13若a>13，不等式的解集為(綜合可得：當(dāng)a<0時(shí)，不等式的解集為(-∞，1a)∪(3當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為(3,+∞)當(dāng)0<a<1當(dāng)a=13當(dāng)a>13，不等式的解集為(變式5．（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）求不等式12x【答案】答案見解析【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象性質(zhì)對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類討論即可.【詳解】不等式12x2-即4x令4x+a3x當(dāng)a>0時(shí)，-a4<a當(dāng)a=0時(shí)，-a4當(dāng)a<0時(shí)，-a4>a變式6．（2324高一·上海·課堂例題）設(shè)a∈R，解下列關(guān)于x(1)x-(2)x-(3)xx【答案】(1)當(dāng)a<-3時(shí)，原不等式的解集為xx≤a或x≥-3；當(dāng)a=-3時(shí)，原不等式的解集為R；當(dāng)(2)當(dāng)a<0時(shí)，原不等式的解集為xx<2a或x>a；當(dāng)a=0時(shí)，原不等式的解集為x(3)xx≤【分析】對(duì)于含參的一元二次不等式，采用分類討論的方法求解即可.【詳解】（1）當(dāng)a<-3時(shí)，由x-ax+3當(dāng)a=-3時(shí)，由x-ax+3當(dāng)a>-3時(shí)，由x-ax+3綜上，當(dāng)a<-3時(shí)，原不等式的解集為xx≤a或x≥-3；當(dāng)a=-3時(shí)，原不等式的解集為R；當(dāng)（2）當(dāng)a<0時(shí)，由x-ax-當(dāng)a=0時(shí)，由x-ax-當(dāng)a>0時(shí)，由x-ax-綜上，當(dāng)a<0時(shí)，原不等式的解集為xx<2a或x>a；當(dāng)a=0時(shí)，原不等式的解集為x（3）由xx-a解得x≤a或所以原不等式的解集為xx≤a變式7．（2425高一·上?！ふn堂例題）已知關(guān)于x的不等式2x2+(1)若M=-7,3(2)若M中的一個(gè)元素是0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)-∞(2)a∈【分析】（1）根據(jù)M=2,5是不等式2x（2）將不等式2x2+3a-7x+3+a-【詳解】（1）解：因?yàn)镸=-7,3所以-7<不等式-2x2所以x≤-7或x所以不等式-2x2（2）不等式2x2+3a因?yàn)镸中的一個(gè)元素是0，所以a+1解得a<-1或a所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是-∞,-1【方法技巧與總結(jié)】含參一元二次不等式的解法有以下幾種：1、當(dāng)△=b24ac≥0時(shí)，二次三項(xiàng)式,ax2+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)根，那么ax2+bx+c=0，總可分解為a(xx1)(xx2)的形式。這樣，解—元二次不等式就可歸結(jié)為解兩個(gè)一元一次不等式組。一元二次不等式的解集，就是這兩個(gè)—元一次不等式組的解集的交集。2、用配方法解—元二次不等式。3、通過一元二次函數(shù)圖象進(jìn)行求解，二次函數(shù)圖象與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)，然后根據(jù)題目所需求的"<0"或">0"而推出答案?！绢}型4：由一元二次不等式的解確定參數(shù)】例4．（多選）（2324高一上·山西朔州·階段練習(xí)）已知不等式ax2+2x+A．a(chǎn)=-12 B．C．c=2 D．【答案】AC【分析】根據(jù)一元二次不等式的解與二次方程的根的關(guān)系，利用韋達(dá)定理即可求解.【詳解】由于不等式ax2+2所以x=-13和x故-13+12=-2故選：AC變式1．（2526高一上·上海·單元測(cè)試）若不等式ax2+bx+1>0的解集是-12A．a(chǎn)=2，b=-1 B．a(chǎn)C．a(chǎn)=-2，b=-1 D．a(chǎn)【答案】D【分析】借助解集是-12,1可得【詳解】由不等式ax2+bx+1>0且ax即a=-2，b故選：D.變式2.（2122高一上·廣東湛江·階段練習(xí)）若不等式x2+px+q<0的解集為A．-3,2 B．-2,3 C．-1【答案】B【分析】由條件可得，-12，13是方程x2+【詳解】由題意可知：-12，13則-12+13則不等式qx2+即為x2-x所以不等式qx2+故選：B．變式3．（2526高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集是{A．x-1≤xC．(-∞,-34]∪[1,+∞)【答案】B【分析】由題意可知a>0，且x=1和x=3是方程的【詳解】∵關(guān)于x的不等式ax2+bx+∴1和3是方程ax2+則1+3=-ba所以不等式bx2+ax+解得-3所以不等式bx2故選:B．變式4．（2425高一上·河北石家莊·開學(xué)考試）已知不等式x2+bx+c<0的解集為{x【答案】1-【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集列方程來求得b,【詳解】依題意，不等式x2+bx所以-b=-2+1c故答案為：1；-變式5．（2324高二下·陜西寶雞·期末）若關(guān)于x的不等式ax2+bx+c<0的解集為(1,2)【答案】[1,2)∪【分析】根據(jù)不等式ax2+bx+c【詳解】因?yàn)椴坏仁絘x2+所以x=1,2是ax2可得-ba=3,所以ax+bx即x+1>3x-1，由所以x+12>9x-1則不等式的解集為[1,2)∪5,+∞故答案為：[1,2)∪5,+∞變式6．（2425高一上·江蘇淮安·開學(xué)考試）已知不等式ax2+bx+(1)用字母a表示出b，c；(2)求不等式bx【答案】(1)b=-5a(2)x<-1或【分析】（1）由韋達(dá)定理可得；（2）把（1）的結(jié)論代入求解．【詳解】（1）由不等式ax2+bx+可知a<0且ax2+bx由得韋達(dá)定理-ba=5，ca=6（2）由（1）可得：bx2+因?yàn)閍<0，所以-5x解得x<-1或x>65，所以不等式bx變式7．（2425高一上·全國(guó)·課堂例題）已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0【答案】x|-【分析】根據(jù)跟與系數(shù)的關(guān)系可得ba=-5且ca=6【詳解】由根與系數(shù)的關(guān)系知ba=-5且ca∴c<0，b故不等式cx2-即x2+5故原不等式的解集為x|-【題型5：一元二次方程根的分布】例5．（2425高一上·全國(guó)·課堂例題）已知二次函數(shù)y=k-3x2+2A．k<4 B．k≤4 C．k<4且k≠3 D【答案】D【分析】由條件可得二次方程k-3x2【詳解】由已知二次方程k-所以k-3≠0，且所以k≤4且k故選：D.變式1．（2425高一上·河南南陽(yáng)·開學(xué)考試）“一元二次方程x-ax-a-【答案】a=-12【分析】根據(jù)題意分析可得-1<a【詳解】由x-ax-a若一元二次方程x-則aa+1<0所以“一元二次方程x-ax-a故答案為：a=-12（答案不唯一，變式2．（2324高一上·重慶·期末）關(guān)于x的一元二次方程x2+a2-1x+a【答案】-【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像特征，滿足f1<0f-【詳解】設(shè)fx由題意知f1即a2+a所以-2<故答案為：-2<變式3．（2425高一上·全國(guó)·課堂例題）已知函數(shù)y=k-3x2【答案】k【分析】分別在k=3，k≠3條件下轉(zhuǎn)化條件，列關(guān)系式求k【詳解】當(dāng)k=3時(shí)，函數(shù)y=k函數(shù)y=2x+1與x當(dāng)k≠3時(shí)，由已知可得二次方程k所以k-3≠0，且所以k≤4且k綜上，k≤4變式4．（2324高一·上?！ふn堂例題）已知一元二次方程2x2-【答案】(-3,-1]【分析】依題意，方程的判別式大于等于0，且兩根之積大于0，由此列出不等式求解即可.【詳解】依題意Δ=即8m解得-所以實(shí)數(shù)m的范圍為(-3,-1].變式5．（2425高一上·上?！ふn堂例題）已知方程x2(1)若關(guān)于m的方程總有實(shí)數(shù)解，求x的取值范圍；(2)求證：無(wú)論m取何實(shí)數(shù)，關(guān)于x的方程x2【答案】(1)-∞(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)一元二次方程有實(shí)數(shù)根，判別式Δ≥0即可求解；（2）根據(jù)一元二次方程有互異實(shí)數(shù)根,根據(jù)韋達(dá)定理x1x【詳解】（1）已知關(guān)于m的方程12m∴Δ=(-4整理得x2≥3，∴x≤-所以x的取值范圍為-∞,-（2）∵Δ=16m∴無(wú)論m為何值，關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．又根據(jù)韋達(dá)定理兩根之積為-4-12故無(wú)論m為何值，關(guān)于x的方程有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根．變式6．（2425高一上·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）已知關(guān)于x的方程k-1x2【答案】-【分析】首先保證二次項(xiàng)系數(shù)不為0，其次保證Δ>0即可算出k的取值范圍.【詳解】方程k-1x2+∴Δ=k+12所以k的取值范圍為-1,1變式7．（2324高一下·遼寧·期末）已知函數(shù)y(1)解關(guān)于x的不等式y(tǒng)<0(2)若方程2x2-a+2x【答案】(1)答案見解析；(2)6.【分析】（1）解含參一元二次不等式，即可得答案；（2）根據(jù)方程2x2-a+2x【詳解】（1）不等式y(tǒng)<0即為2當(dāng)a<2，即a2<1當(dāng)a=2，即a2=1當(dāng)a>2，即a2>1綜上可知：當(dāng)a<2時(shí)，不等式的解集為x當(dāng)a=2時(shí)，不等式的解集為?當(dāng)a>2時(shí)，不等式的解集為x（2）方程2x2-即2x2故Δ=(a+3)所以x令t=a-1當(dāng)且僅當(dāng)t2=8故x2x一、單選題一、單選題1．（2023高二·安徽·學(xué)業(yè)考試）不等式x-35-A．x3<x<5 B．C．x-5<x<-3 D【答案】B【分析】根據(jù)一元二次不等式的解的特征即可求解.【詳解】由x-35-解得x>5或x故不等式的解為xx<3或故選：B2．（2324高二下·山東威?！て谀┤簟皒2-x-12>0”是“x<A．-4 B．-3 C．3 D【答案】B【分析】解一元二次不等式，由必要條件的定義即可判斷a的范圍.【詳解】x2-x“x<-3或x>4”是x<a的必要條件，所以a≤-3故選：B.3．（2324高一下·廣西南寧·期末）“a>3”是“a2-3A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用一元二次不等式的解法，結(jié)合推出關(guān)系，即可得出判斷.【詳解】由“a>3”可以推出“a2反之，由“a2-3a=aa-3>0所以“a>3”是“a2故選：A．4．（2324高一上·吉林延邊·階段練習(xí)）已知不等式ax2+bx+cA．a(chǎn)B．2C．a(chǎn)D．cx2-【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù),一元二次不等式,一元二次方程之間的關(guān)系,得出b=-2ac=-3a,【詳解】根據(jù)題意,可以知道,ax2+由根與系數(shù)的關(guān)系得到：2=-b因?yàn)閒(x)=ax2+bx+c開口向下,則a<0且f(-1)=f(3)=0,對(duì)稱軸為x=1,f(1)=cx2-bx得到3x2-2x-1<0,故選:D.5．（2324高一上·吉林延邊·階段練習(xí)）不等式9-12x≤-4xA．R B．? C．x|x=【答案】C【分析】利用一元二次不等式的解法直接求解即可.【詳解】由9-12x≤-4x得(2x-3)所以不等式的解集為x|故選：C6．（2324高一上·云南昭通·期末）不等式ax2+bx-3<0的解集是A．-3 B．3 C．-5 D【答案】D【分析】由題意得，a<0，x=1和x=3【詳解】因?yàn)椴坏仁絘x2+所以a<0，x=1和x=3所以1+3=-ba1×3=-3a，即a故選：D．7．（2223高一上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）若0<a<1，則不等式(xA．{x|aC．{x|1【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，直接求解不等式即可.【詳解】由0<a<1，得1a>1>a所以不等式(x-a故選：A8．（2324高一上·安徽亳州·期末）一元二次不等式ax2-bx+cA．-∞，-1C．-∞，12【答案】C【分析】根據(jù)不等式的解集可得到a<0，ba=3，【詳解】根據(jù)題意可知a<0，ba=3，ca=2所求的不等式可化為：2ax2-3ax+故選：C二、多選題9．（2324高一上·湖北十堰·期末）已知關(guān)于x的不等式.ax2+bx+c>0的解集為A．a(chǎn)B．不等式bx+cC．a(chǎn)D．不等式bx+a<0的解集為【答案】AC【分析】由條件可得2,3為方程ax2+bx+c=0的兩根，且【詳解】因?yàn)椴坏仁?ax2+bx+所以2,3為方程ax2+bx+所以2+3=-ba，所以b=-5a，c=6因?yàn)閍>0，所以A因?yàn)閎=-5a，c=6所以不等式bx+c>0可化為x因?yàn)閎=-5a，c=6所以a+b+因?yàn)閎=-5a，c=6所以不等式bx+a<0解得，x>15故選：AC.10．（2324高一上·廣東茂名·期中）下面命題正確的是（

）A．“a>1”是“1aB．命題“?x∈R，使x2+C．不等式2x>1D．設(shè)a∈R+，則【答案】ABD【分析】根據(jù)分式不等式的解法可判斷選項(xiàng)A、C；先寫出命題的否定，結(jié)合題意利用Δ≤0求解可判斷選項(xiàng)B；利用基本不等式可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A:因?yàn)?a<1?1所以“a>1”是“1a<1”對(duì)于選項(xiàng)B：命題“?x∈R，使x2因?yàn)槊}“?x∈R，使所以?x則Δ=a2-4a對(duì)于選項(xiàng)C：2x>1?2x對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)閍∈則a2+4a=a+4a≥2a故選：ABD.11．（2324高一下·廣東潮州·開學(xué)考試）對(duì)于給定的實(shí)數(shù)a，關(guān)于實(shí)數(shù)x的一元二次不等式(?x-aA．(-∞?,2?)∪(?a?,+∞?)C．a(chǎn),2 D．【答案】CD【分析】對(duì)a進(jìn)行分a<2、a=2和a【詳解】當(dāng)a<2時(shí)，此時(shí)解集為a當(dāng)a=2時(shí)，此時(shí)解集為?當(dāng)a>2時(shí)，此時(shí)解集為2,故選：CD.三、填空題12．（2526高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知關(guān)于x的一元二次方程x2-6x+4m+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為x【答案】1【分析】根據(jù)韋達(dá)定理即可求解.【詳解】∵x1,∴x1+x∵x1-∴36-44m+1∵m故答案為：113．（2324高一上·山東濰坊·階段練習(xí)）若集合A=x|x+2x-3≤0，B=x∣3-m≤x【答案】{【分析】先求解一元二次不等式得出集合A，由題意推得A是B的真子集,求解不等式組即得.【詳解】由x+2x-3≤0因“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，則A故有，5+m≥33-m<-2故答案為：{m14．（2324高一下·北京石景山·期中）不等式x2-2x【答案】{x|x【分析】化簡(jiǎn)不等式為x2-【詳解】由不等式x2-2解得x>5或x<-3（舍去），所以x>5即不等式x2-2x-故答案為：{x|x四、解答題15．（2324高一上·貴州·階段練習(xí)）已知命題p：x2-3x(1)若m=2，那么p是q(2)若?p是?q的充分條件，求實(shí)數(shù)【答案】(1)p是q的必要不充分條件；(2)-【分析】（1）通過集合間的包含關(guān)系即可判斷；（2）由條件得到q是p的充分條件，轉(zhuǎn)換成集合的包含關(guān)系即可求解.【詳解】（1）解：實(shí)數(shù)p：x2-3q：x-mx令A(yù)=-1,4若m=2，則B=2,3，可知B那么p是q的必要不充分條件；（2）若?p是?q的充分條件，則q是p即B?A，則m≥-1∴m16．（2425高一上·云南·階段練習(xí)）已知函數(shù)y2=a(1)當(dāng)x=1時(shí)，y=2，求(2)當(dāng)x=1時(shí)，y=-1，求關(guān)于x的不等式【答案