福建省部分地市2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

福建省部分地市2024屆高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題2024.1本試卷共4頁，22小題，考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校，班級(jí)和姓名填在答題卡上，正確粘貼條形碼．2．作答選擇題時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)答案的選項(xiàng)涂黑．3．非選擇題的答案必須寫在答題卡各題目的指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。4．考試結(jié)束后，考生上交答題卡．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】先求出復(fù)數(shù)，再求.【詳解】由，得，即，所以，故選：B2.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)值域求集合N，應(yīng)用集合并運(yùn)算求結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，故.故選：A3.已知直線與曲線在原點(diǎn)處相切，則的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求直線的斜率，進(jìn)而確定傾斜角.【詳解】由，則，即直線的斜率為，根據(jù)傾斜角與斜率關(guān)系及其范圍知：的傾斜角為.故選：C4.已知，為單位向量，若，則與的夾角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知，應(yīng)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求即可判斷夾角大小.【詳解】由題意，則與的夾角為.故選：B5.已知為定義在上奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，所以，且，所以故選：D6.已知，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的為（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】舉例即可判斷ABC；再根據(jù)基本不等式及三角函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，所以，，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，所以，，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，所以，，故C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，，由，得，而，所以當(dāng)，即時(shí)，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而，所以，，故D錯(cuò)誤.故選：D.7.傳說古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家用沙粒和小石子來研究數(shù)，他們根據(jù)沙?；蛐∈铀帕械男螤畎褦?shù)分成許多類，如圖所示的1，5，12，22被稱為五邊形數(shù)，將所有的五邊形數(shù)從小到大依次排列，則其第8個(gè)數(shù)為（）A.51 B.70 C.92 D.117【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題圖及前4個(gè)五邊形數(shù)找到規(guī)律，即可得第8個(gè)數(shù).【詳解】由題圖及五邊形數(shù)知：后一個(gè)數(shù)與前一個(gè)數(shù)的差依次為，所以五邊形數(shù)依次為，即第8個(gè)數(shù)為92.故選：C8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，，，，若，則（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】【分析】利用賦值法對(duì)進(jìn)行賦值結(jié)合函數(shù)的周期可得答案.【詳解】令，得，即，令，得，得，所以函數(shù)為偶函數(shù)，令，得，令，得，，或，若，解得與已知矛盾，，即，解得，，令，得，，，，，所以函數(shù)的周期為4..故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為B.的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合代入法、整體法逐一判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】由，最小正周期，A錯(cuò)；由，即是對(duì)稱中心，B對(duì)；由，則，顯然在區(qū)間上單調(diào)遞增，C對(duì)；由題意，故，D錯(cuò).故選：BC10.已知甲、乙兩組數(shù)據(jù)分別為：20，21，22，23，24，25和a，23，24，25，26，27，若乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)比甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大3，則（）A.甲組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為23 B.甲、乙兩組數(shù)據(jù)的極差相同C.乙組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為24.5 D.甲、乙兩組數(shù)據(jù)的方差相同【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)已知平均數(shù)的關(guān)系求得，再由極差、中位數(shù)、方差求法判斷各項(xiàng)正誤即可.【詳解】由題設(shè)，，所以，甲組數(shù)據(jù)中，故第70百分位數(shù)為24，A錯(cuò)；甲乙組數(shù)據(jù)的極差都為5，B對(duì)；乙組數(shù)據(jù)從小到大為，故其中位數(shù)為，C錯(cuò)；由上易知：甲的平均數(shù)為，乙的平均數(shù)為，所以甲的方差為，乙的方差為，故兩組數(shù)據(jù)的方差相同，D對(duì).故選：BD11.設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過的直線與交于A，B兩點(diǎn)，若，且的周長為8，則（）A. B.的離心率為C.可以為 D.可以為直角【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)已知可得、，進(jìn)而有，結(jié)合橢圓性質(zhì)求相交弦長的范圍及焦點(diǎn)三角形內(nèi)角的范圍判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】由，如下圖周長為，故，所以，橢圓離心率為，A對(duì)，B錯(cuò)；當(dāng)軸，即為通徑時(shí)，且，所以，故可以為，C對(duì)；由橢圓性質(zhì)知：當(dāng)為橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)最大，此時(shí)，且，故，即不可能為直角，D錯(cuò).故選：AC12.如圖所示，在五面體中，四邊形是矩形，和均是等邊三角形，且，，則（）A.平面B.二面角隨著的減小而減小C.當(dāng)時(shí)，五面體的體積最大值為D.當(dāng)時(shí)，存在使得半徑為的球能內(nèi)含于五面體【答案】ACD【解析】【分析】A由線面平行的判定證明；B設(shè)二面角的大小為，點(diǎn)到面的距離為，則，分析取最小值的對(duì)應(yīng)情況即可判斷；C把五面體補(bǔ)成直三棱柱，取的中點(diǎn)，設(shè)，則，結(jié)合并應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究最值；D先分析特殊情況：和所在平面均垂直于面時(shí)構(gòu)成正三棱柱，再借助左視圖、正視圖研究內(nèi)切圓半徑分析一般情況判斷.【詳解】A：由題設(shè)，面，面，則面，由面面，面，則，面，面，則平面，對(duì)；B：設(shè)二面角的大小為，點(diǎn)到面的距離為，則，點(diǎn)到面的距離，僅在面面時(shí)取得最大值，當(dāng)時(shí)取最小值，即取最小值，即二面角取最小值，所以，二面角先變小后變大，錯(cuò)；C：當(dāng)，如圖，把五面體補(bǔ)成直三棱柱，分別取的中點(diǎn)，易得面，，設(shè)，則，，令，則，令，可得或（舍），即，，，遞增，，，遞減，顯然是的極大值點(diǎn)，故.所以五面體的體積最大值為，C對(duì)；D：當(dāng)時(shí)，和所在平面均垂直于面時(shí)構(gòu)成正三棱柱，此時(shí)正三棱柱內(nèi)最大的求半徑，故半徑為的球不能內(nèi)含于五面體，對(duì)于一般情形，如下圖示，左圖為左視圖，右圖為正視圖，由C分析結(jié)果，當(dāng)五面體體積最大時(shí)，其可內(nèi)含的球的半徑較大，易知，當(dāng)時(shí)，，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，可得，另外，設(shè)等腰梯形中圓半徑為，則，所以，存在使半徑為的球都能內(nèi)含于五面體，對(duì).故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于C通過補(bǔ)全幾何體為棱柱，設(shè)得到五面體的體積關(guān)于的函數(shù)；對(duì)于D從特殊到一般，結(jié)合幾何體視圖研究內(nèi)切圓判斷最大半徑是否大于為關(guān)鍵.三、填空題：本大題共4小題.13若，則_________．【答案】##【解析】【分析】應(yīng)用誘導(dǎo)公式有，即可求值.【詳解】.故答案為：14.《九章算術(shù)》、《數(shù)書九章》、《周髀算經(jīng)》是中國古代數(shù)學(xué)著作，甲、乙、丙三名同學(xué)計(jì)劃每人從中選擇一種來閱讀，若三人選擇的書不全相同，則不同的選法有_________種．【答案】【解析】【分析】先求出三人選書沒有要求的選法，再排除三人選擇的書完全相同的選法即可.【詳解】若三人選書沒有要求，則有種，若三人選擇的書完全相同，則有種，所以三人選擇的書不全相同，不同的選法有種.故答案為：.15.已知平面的一個(gè)法向量為，且點(diǎn)在內(nèi)，則點(diǎn)到的距離為_________．【答案】【解析】【分析】由題設(shè)得，應(yīng)用向量法求點(diǎn)面距離即可.【詳解】由題設(shè)，則點(diǎn)到的距離為.故答案為：16.設(shè)是面積為1的等腰直角三角形，D是斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在所在的平面內(nèi)，記與的面積分別為，，且．當(dāng)，且時(shí)，________；記，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．【答案】①②.【解析】【分析】以D為原點(diǎn)，為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)已知得，即可得，，應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式求；根據(jù)確定P的軌跡曲線，并寫出方程，利用曲線性質(zhì)列不等式求參數(shù)范圍．【詳解】以D為原點(diǎn)，為x軸正方向建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，則，當(dāng)時(shí)，，即，所以，即，可得（負(fù)值舍），則，故；若，結(jié)合雙曲線定義知：P在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線上，但不含頂點(diǎn)，該雙曲線為，即，雙曲線頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值小于半焦距1，則雙曲線與曲線有交點(diǎn)，即雙曲線的漸近線和曲線有交點(diǎn)，則雙曲線的漸近線斜率的絕對(duì)值小于，所以，故，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故答案為：；．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題空1的關(guān)鍵是設(shè)，從而得到，再結(jié)合得到，空2的關(guān)鍵是利用雙曲線的定義得到其方程，再聯(lián)立，解出即可.四、解答題：本大題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求；（2）若，且的周長為，求的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）應(yīng)用正弦邊角關(guān)系及和角正弦公式有，再由三角形內(nèi)角性質(zhì)即可求邊長；（2）應(yīng)用余弦定理及已知得且，進(jìn)而求得，最后應(yīng)用面積公式求面積.【小問1詳解】由題設(shè)，由正弦定理有，所以，而，故，又，所以.【小問2詳解】由（1）及已知，有，可得，又，即，所以，故.18.如圖，在四棱錐中，，，，，平面，過點(diǎn)作平面．（1）證明：平面平面；（2）已知點(diǎn)F為棱的中點(diǎn)，若，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）利用三角形相似及等量代換得，利用線面垂直得，進(jìn)而得平面EAC，結(jié)合已知條件得證；（2）利用空間向量法可求【小問1詳解】設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，連接OF，因?yàn)?，且，所以，因?yàn)椋?，，，且，，，所以，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，即，所以，所以，即，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，因?yàn)?，平面EAC，所以平面EAC，又因?yàn)槠矫?，且平面EAC，所以平面平面【小問2詳解】因?yàn)?，平面，所以兩兩垂直，如圖，以A為原點(diǎn)，分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)F為棱的中點(diǎn)，所以，設(shè)平面FBD的一個(gè)法向量為，則，所以，取，得，所以平面FBD的一個(gè)法向量為，記直線AD與平面FBD所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．19.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，當(dāng)，且時(shí)，．（1）證明：為等比數(shù)列；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求正整數(shù)的最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）3.【解析】【分析】（1）由題設(shè)，結(jié)合已知得到在上都成立，即可證結(jié)論；（2）由（1）得，裂項(xiàng)相消法求，根據(jù)不等式關(guān)系得，即可確定正整數(shù)的最小值.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，即，又，故在上都成立，且，所以是首項(xiàng)、公比均為2的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）知：，則，所以，則，即，所以，可得，而，故，正整數(shù)的最小值為3.20.已知甲、乙兩支登山隊(duì)均有n名隊(duì)員，現(xiàn)有新增的4名登山愛好者將依次通過摸出小球的顏色來決定其加入哪支登山隊(duì)，規(guī)則如下：在一個(gè)不透明的箱中放有紅球和黑球各2個(gè)，小球除顏色不同之外，其余完全相同先由第一名新增登山愛好者從箱中不放回地摸出1個(gè)小球，再另取完全相同的紅球和黑球各1個(gè)放入箱中；接著由下一名新增登山愛好者摸出1個(gè)小球后，再放入完全相同的紅球和黑球各1個(gè)，如此重復(fù)，直至所有新增登山愛好者均摸球和放球完畢．新增登山愛好者若摸出紅球，則被分至甲隊(duì)，否則被分至乙隊(duì)．（1）求三人均被分至同一隊(duì)的概率；（2）記甲，乙兩隊(duì)的最終人數(shù)分別為，，設(shè)隨機(jī)變量，求．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題意，三人均被分至同一隊(duì)，即三人同分至甲隊(duì)或乙隊(duì)，分別求出被分至甲隊(duì)即摸出紅球的概率、被分至甲隊(duì)即摸出紅球的概率、被分至甲隊(duì)即摸出紅球的概率，再應(yīng)用條件概率公式及互斥事件加法求三人均被分至同一隊(duì)的概率；（2）根據(jù)題意有可能取值為，分析各對(duì)應(yīng)值的實(shí)際含義，并求出對(duì)應(yīng)概率，進(jìn)而求期望即可.【小問1詳解】三人均被分至同一隊(duì)，即三人同分至甲隊(duì)或乙隊(duì)，記事件“被分至甲隊(duì)”，事件“被分至甲隊(duì)”，事件“被分至甲隊(duì)”，當(dāng)即將摸球時(shí)，箱中有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球，則被分至甲隊(duì)即摸出紅球的概率為；當(dāng)被分至甲隊(duì)時(shí)，箱中有2個(gè)紅球和3個(gè)黑球，則被分至甲隊(duì)即摸出紅球的概率為；當(dāng)均被分至甲隊(duì)時(shí)，箱中有2個(gè)紅球和4個(gè)黑球，則被分至甲隊(duì)即摸出紅球的概率為；所以，則，同理知：新增登山愛好者均被分至乙隊(duì)的概率也為，所以三人均被分至同一隊(duì)的概率為.【小問2詳解】由題設(shè)，可能取值為，為新增的4名登山愛好者被分至同一隊(duì)，則，為新增的4名登山愛好者中有3名均被分至同一隊(duì)，其余1名被分至另一隊(duì)，設(shè)新增的第名登山愛好者被單獨(dú)分至甲隊(duì)或乙隊(duì)，則，，，，所以，為新增的4名登山愛好者中各有2名被分至甲隊(duì)和乙隊(duì)，則，所以.21.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)，得到且，是的兩個(gè)不同根，列不等式組求參數(shù)范圍；（2）設(shè)，應(yīng)用分析法將問題化為證，令，則證，再由對(duì)應(yīng)單調(diào)性即可證結(jié)論.【小問1詳解】由題設(shè)且，若，則在上恒成立，即遞增，不可能有兩個(gè)極值點(diǎn)，不符；故，又有兩個(gè)極值點(diǎn)，則，是的兩個(gè)不同正根，所以，可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【小問2詳解】由（1）且，，不妨設(shè)，則，要證，需證，即，只需證，即，令，則證，由（1），時(shí)，即，所以在上遞增，又，故，即，綜上，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問，設(shè)，應(yīng)用分析法將問題轉(zhuǎn)化為證為關(guān)鍵.22.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)A為動(dòng)點(diǎn)，以線段為直徑的圓與軸相切，記A的軌跡為，直線交于另一點(diǎn)B．（1）求的方程；（2）的外接圓交于點(diǎn)（不與O，A，B重合