數(shù)學(xué)自我小測(cè)：直接證明與間接證明（第課時(shí)）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精自我小測(cè)1．命題“對(duì)于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ"的證明：“cos4θ－sin4θ＝（cos2θ－sin2θ)（cos2θ＋sin2θ）＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”，其過(guò)程應(yīng)用了（）A．分析法B．綜合法C．綜合法、分析法綜合使用D．間接證法2．已知直線l，m，平面α，β，且l⊥α,mβ，給出下列四個(gè)命題：①若α∥β，則l⊥m；②若l⊥m，則α∥β；③若α⊥β，則l⊥m;④若l∥m，則α⊥β。其中正確的命題的個(gè)數(shù)是（)A．1B．2C．3D．43．在R上定義運(yùn)算：ab＝ab＋2a＋b,則滿足x（x－2)＜0的實(shí)數(shù)x的取值范圍為（）A．(0，2）B．(－2,1)C．（－∞，－2）∪(1，＋∞)D．(－1，2)4．在不等邊三角形中，a為最長(zhǎng)邊，要想得到A為鈍角的結(jié)論，三邊a,b，c應(yīng)滿足條件（）A．a(chǎn)2＜b2＋c2B．a(chǎn)2＝b2＋c2C．a(chǎn)2＞b2＋c2D．a(chǎn)2≤b2＋c25．已知定義在R上的偶函數(shù)f(x）滿足f(x＋2)＝－f（x），則f(9）的值為_(kāi)_________．6．設(shè)a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，則eq\f（1，a）＋eq\f(1，b)＋eq\f(1,c)的最小值為_(kāi)_______．7．平面內(nèi)有四邊形ABCD和點(diǎn)O，eq\o(OA,\s\up6（→)）＋eq\o(OC，\s\up6（→)）＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o（OD，\s\up6(→))，則四邊形ABCD為_(kāi)_______．8．已知a＞0，求證：eq\r（a2＋\f（1，a2））－eq\r（2）≥a＋eq\f（1,a)－2.9．如圖,正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥AC，AB＝eq\r（2)，CE＝EF＝1.(1）求證：AF∥平面BDE；(2）求證：CF⊥平面BDE.10．已知△ABC的三邊a，b,c的倒數(shù)成等差數(shù)列．試分別用分析法和綜合法證明∠B為銳角．

參考答案1．解析：從證明過(guò)程來(lái)看，是從已知條件入手，經(jīng)過(guò)推導(dǎo)得出結(jié)論，符合綜合法的證明思路．答案:B2．解析:若l⊥α,mβ，α∥β，則l⊥β，所以l⊥m，①正確；若l⊥α,mβ,l⊥m,α與β可能相交，②不正確；若l⊥α，mβ，α⊥β,l與m可能平行,③不正確；若l⊥α，mβ，l∥m，則m⊥α，所以α⊥β，④正確．答案:B3．解析：x(x－2)＝x（x－2）＋2x＋x－2＜0x2＋x－2＜0－2＜x＜1。答案:B4．解析：由cosA＝eq\f(b2＋c2－a2，2bc)＜0，知b2＋c2－a2＜0,所以a2＞b2＋c2。答案:C5．解析:∵f（x＋2）＝－f（x），∴f（x＋2＋2）＝－f（x＋2)＝f(x），∴T＝4。則f(9）＝f(1)．又∵f(x＋2)＝－f（x)，令x＝－1，得f(1)＝－f（－1)．而f(x）是偶函數(shù)，∴f(1）＝f（－1）．∴f（1)＝0.故f（9)＝0.答案:06．解析：因?yàn)閍＋b＋c＝1，且a＞0，b＞0，c＞0,所以eq\f（1，a)＋eq\f（1,b)＋eq\f（1，c)＝eq\f(a＋b＋c,a)＋eq\f(a＋b＋c,b)＋eq\f（a＋b＋c,c)＝3＋eq\f(b，a)＋eq\f（a，b）＋eq\f（c，b）＋eq\f(b,c)＋eq\f(a，c)＋eq\f(c，a）≥3＋2eq\r(\f（b,a)·\f（a，b）)＋2eq\r(\f(c,a)·\f(a，c))＋2eq\r(\f（c，b）·\f（b,c))＝3＋6＝9。當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號(hào)成立．答案：97．解析：因?yàn)閑q\o（OA,\s\up6（→）)＋eq\o（OC,\s\up6(→）)＝eq\o（OB,\s\up6（→))＋eq\o(OD，\s\up6(→)），所以eq\o(OA,\s\up6（→）)－eq\o(OB，\s\up6(→））＝eq\o（OD，\s\up6（→)）－eq\o(OC,\s\up6（→))，所以eq\o(BA,\s\up6（→）)＝eq\o（CD，\s\up6（→))，故四邊形ABCD為平行四邊形．答案：平行四邊形8．證明：要證eq\r（a2＋\f（1，a2))－eq\r(2）≥a＋eq\f（1，a）－2，只要證eq\r(a2＋\f(1,a2)）＋2≥a＋eq\f(1,a)＋eq\r（2）.因?yàn)閍＞0，只需證eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\r（a2＋\f（1,a2））＋2))2≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（a＋\f(1,a)＋\r(2）））2，即a2＋eq\f（1，a2)＋4eq\r(a2＋\f（1，a2））＋4≥a2＋2＋eq\f(1，a2）＋2eq\r(2）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(a＋\f（1，a))）＋2，從而只需證2eq\r（a2＋\f(1，a2)）≥eq\r(2）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)）），只需證4eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（a2＋\f(1，a2))）≥2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋2＋\f(1,a2）)），即a2＋eq\f（1,a2)≥2，而上述不等式顯然成立．故原不等式成立．9．證明：（1）設(shè)AC，BD的交點(diǎn)為G，連接EG，因?yàn)镋F∥AG，且EF＝1，AG＝eq\f(1,2）AC＝1，所以四邊形AGEF為平行四邊形，所以AF∥EG.因?yàn)镋G平面BDE，AF平面BDE,所以AF∥平面BDE.（2)連接FG。因?yàn)镋F∥CG,EF＝CG＝1，且CE＝1,所以四邊形CEFG為菱形，所以CF⊥EG.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形,所以BD⊥AC，又因?yàn)槠矫鍭CEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G,所以CF⊥平面BDE。10．分析：在△ABC中,要證∠B為銳角，只要證cosB＞0，結(jié)合余弦定理可解決問(wèn)題．證法一：（分析法）：要證明∠B為銳角，只需證cosB＞0。∵cosB＝eq\f(a2＋c2－b2，2ac）,∴只需證明a2＋c2－b2＞0,即a2＋c2＞b2。又∵a2＋c2≥2ac，∴只需證明2ac＞b2。由已知eq\f（2，b）＝eq\f(1,a）＋eq\f(1,c），即2ac＝b(a＋c)，∴只需證明b（a＋c）＞b2，即只需證明a＋c＞b。而a＋c＞b成立，∴∠B為銳角．證法二：(綜合法）：由題意，得eq\f（2，b）＝eq\f（1，a)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋c，ac），則b＝eq\f（2ac，a＋c)，∴b（a＋c）＝2ac?！遖＋c＞b，∴b（a＋c）＝2ac＞b2。∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2，2ac)≥eq\f(2ac－b2,2ac)＞0。又∵0＜∠B＜π，∴0＜∠B＜eq\f（π，2)，即∠B為銳角．備選習(xí)題1．解析：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a＜2－eq\f(1,n），而2－eq\f(1,n)≥2－eq\f（1,2)＝eq\f（3,2)，∴a＜eq\f（3，2).當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),a＞－2－eq\f（1，n），而－2－eq\f(1，n）＜－2,∴a≥－2.綜上可得－2≤a＜eq\f(3,2）.答案：eq\b\lc\[\rc\）（\a\vs4\al\co1(－2,\f（3，2)））2．證明：設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B(x2,y2)，則y12＝2px1，y22＝2px2。因?yàn)镺A⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0.所以y12y22＝2px1·2px2＝4p2x1x2＝－4p2y1y2.所以y1y2＝－4p2。所以x1x2＝－y1y2＝4p2,所以x1x2，y1y2都是定值,即A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積都是定值．點(diǎn)評(píng):對(duì)直線與拋物線的交點(diǎn)設(shè)而不求，是解答有關(guān)問(wèn)題的一種常見(jiàn)的方法．3．證法一:(分析法)：要證(a＋b）－1＋(b＋c）－1＝3(a＋b＋c)－1,即證eq\f（1，a＋b）＋eq\f(1,b＋c）＝eq\f(3，a＋b＋c)，只需證eq\f(a＋b＋c，a＋b)＋eq\f（a＋b＋c，b＋c)＝3,化簡(jiǎn)，得eq\f(c,a＋b）＋eq\f(a，b＋c)＝1，即c（b＋c)＋（a＋b）a＝（a＋b)（b＋c），所以只需證c2＋a2＝b2＋ac。因?yàn)椤鰽BC的三個(gè)內(nèi)角A，B,C成等差數(shù)列,所以B＝60°。所以cosB＝eq\f（a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f（1,2).所以a2＋c2－b2＝ac.所以原式成立．證法二:（綜合法）:因?yàn)椤鰽BC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，所以B＝60°.由余弦定理，得b2＝c2＋a2－2accos60°，所以c2＋a2＝ac＋b2。兩邊加ab＋bc,得c(b＋c）＋a(a＋b）＝(a＋b）（b＋c)，兩邊同時(shí)除以