查補(bǔ)重難點(diǎn)02 方程、不等式（組）與函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（原卷版）

查補(bǔ)重難點(diǎn)02方程、不等式（組）與函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用考點(diǎn)一：方程（組）、不等式（組）的實(shí)際應(yīng)用方程（組）的應(yīng)用題以實(shí)際問題為背景，一般為生活中常見的分析決策問題，且情境真實(shí)、貼近學(xué)生生活。程（組）的應(yīng)用題考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模以及閱讀能力，讓學(xué)生學(xué)會把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立方程（組）、不等式等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系，并設(shè)計(jì)出適當(dāng)?shù)慕鉀Q問題的方案，培養(yǎng)應(yīng)用意識和模型思想，提高解決實(shí)際問題能力。題型1.一次方程（組）的實(shí)際應(yīng)用列一次方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟：（1）審題；（2）設(shè)出未知數(shù)；（3）列出含未知數(shù)的等式——方程；（4）解方程（組）；（5）檢驗(yàn)結(jié)果；（6）作答（不要忽略未知數(shù)的單位名稱）。例1.（2023·江蘇連云港·中考真題）元朝朱世杰所著的《算學(xué)啟蒙》中，記載了這樣一道題：良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？其大意是：快馬每天行里，慢馬每天行里，駑馬先行天，快馬幾天可追上慢馬？若設(shè)快馬天可追上慢馬，由題意得（

）A．B．C．D．變式1．（2022·江蘇徐州·中考真題）《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，該書第三卷記載：“今有獸六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足，問禽、獸各幾何？”譯文：今有一種6頭4腳的獸與一種4頭2腳的鳥，若獸與鳥共有76個(gè)頭與46只腳．問獸、鳥各有多少？根據(jù)譯文，解決下列問題：(1)設(shè)獸有x個(gè)，鳥有y只，可列方程組為；(2)求獸、鳥各有多少．變式2．（2023·北京·中考真題）對聯(lián)是中華傳統(tǒng)文化的瑰寶，對聯(lián)裝裱后，如圖所示，上、下空白處分別稱為天頭和地頭，左、右空白處統(tǒng)稱為邊．一般情況下，天頭長與地頭長的比是，左、右邊的寬相等，均為天頭長與地頭長的和的．某人要裝裱一副對聯(lián)，對聯(lián)的長為，寬為．若要求裝裱后的長是裝裱后的寬的4倍，求邊的寬和天頭長．（書法作品選自《啟功法書》）

例2.（2023·江蘇鹽城·中考真題）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)、物價(jià)各幾何？”意思是：“幾個(gè)人一起去購買某物品，每人出8錢，則多出3錢；每人出7錢，則還差4錢．問人數(shù)、物品的價(jià)格分別是多少？”該問題中的人數(shù)為.變式1．（2024·江蘇無錫·一模）《九章算術(shù)》中有一題：“今有大器五、小器一，容三斛；大器一、小器五，容二斛．問大、小器各容幾何？”譯文：今有大容器5個(gè)，小容器1個(gè)，總?cè)萘繛?斛（斛：古代容量單位）；大容器1個(gè)，小容器5個(gè)，總?cè)萘繛?斛，問大容器、小容器的容量各是多少斛？若大容器的容量為斛，小容器的容量為斛，則可列方程組（

）A． B． C． D．變式2．（2022·江蘇南京·中考真題）某文印店用2660元購進(jìn)一批白色復(fù)印紙和彩色復(fù)印紙，白色復(fù)印紙每箱80元，彩色復(fù)印紙每箱180元，購買白色復(fù)印紙得箱數(shù)是彩色復(fù)印紙得箱數(shù)得5倍少3箱，求購買的白色復(fù)印紙得箱數(shù)和彩色復(fù)印紙得箱數(shù)．題型2.分式方程的實(shí)際應(yīng)用1.列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：①審題（找等量關(guān)系）；②設(shè)未知數(shù)；③列分式方程；④解分式方程；⑤檢驗(yàn)（一驗(yàn)分式方程，二驗(yàn)實(shí)際問題）；⑥答。2.分式方程的應(yīng)用題題型主要涉及工程問題、行程問題、利潤問題等，每個(gè)問題中涉及到三個(gè)量的關(guān)系。如：工作時(shí)間＝，時(shí)間＝，總利潤=單件利潤×銷售量，利潤率=利潤÷成本×100%等。例1．（2023·江蘇徐州·中考真題）隨著2022年底城東快速路的全線通車，徐州主城區(qū)與東區(qū)之間的交通得以有效改善，如圖某人乘車從徐州東站至戲馬臺景區(qū)，可沿甲路線或乙路線前往．已知甲、乙兩條路線的長度均為，甲路線的平均速度為乙路線的倍，甲路線的行駛時(shí)間比乙路線少，求甲路線的行駛時(shí)間．

變式1．（2023·江蘇·模擬預(yù)測）某班將舉行一次知識競賽活動，班長安排小紅購買獎(jiǎng)品，下面是小紅買回獎(jiǎng)品時(shí)與班長的對話．小紅：我買了甲、乙兩種筆記本共本，甲種筆記本的單價(jià)比乙種筆記本的少元，我給了老板元，老板給我找回元，其中買甲種筆記本花了元．班長：你肯定說錯(cuò)了！小紅：我把自己口袋里的元一起當(dāng)做找回的錢了．班長：這就對了！請你根據(jù)對話信息，計(jì)算乙種筆記本買了（

）A．本 B．本 C．本 D．本變式2．（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）某中學(xué)為準(zhǔn)備十四歲青春儀式，原計(jì)劃由八年級（1）班的4個(gè)小組制作360面彩旗，后因1個(gè)小組另有任務(wù)，其余3個(gè)小組的每名學(xué)生要比原計(jì)劃多做3面彩旗才能完成任務(wù)．如果這4個(gè)小組的人數(shù)相等，那么每個(gè)小組有學(xué)生多少名？題型3.一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用1.利用一元二次方程解決實(shí)際問題：列一元二次方程解應(yīng)用題步驟，即審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答六步．2.增長率等量關(guān)系：設(shè)為原來量，為平均增長率，為增長次數(shù)，為增長后的量，則；當(dāng)為平均下降率時(shí)，則有．3.利潤等量關(guān)系：1）利潤=售價(jià)－成本；2）利潤率=×100％；3）總利潤=單位利潤×數(shù)量4.面積問題：常用平移法解決面積問題5.碰面問題（循環(huán)問題）：（1）雙循環(huán)：n支球隊(duì)互相之間都要打一場比賽，總共比賽場次為m；則m=n（n－1）。（2）單循環(huán)：n支球隊(duì)，每支球隊(duì)要在主場與所有球隊(duì)各打一場，總共比賽場次m。則m=n（n－1）。例1．（2023·江蘇·中考真題）為了便于勞動課程的開展，學(xué)校打算建一個(gè)矩形生態(tài)園（如圖），生態(tài)園一面靠墻（墻足夠長），另外三面用的籬笆圍成．生態(tài)園的面積能否為？如果能，請求出的長；如果不能，請說明理由．

變式1．（2023·江蘇無錫·中考真題）2020年一2022年無錫居民人均可支配收入由5.76萬元增長至6.58萬元，設(shè)人均可支配收入的年平均增長率為x，下列方程正確的是（

）A．B．C．D．變式2．（2023·浙江衢州·中考真題）某人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感．設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了人，則可得到方程（

）A． B． C． D．變式3．（2023·江蘇無錫·中考真題）《九章算術(shù)》中提出了如下問題：今有戶不知高、廣，竿不知長短，橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出，問戶高、廣、邪各幾何？這段話的意思是：今有門不知其高寬：有竿，不知其長短，橫放，竿比門寬長出4尺：豎放，竿比門高長出2尺：斜放，竿與門對角線恰好相等．問門高、寬和對角線的長各是多少？則該問題中的門高是尺．變式4.（2022·湖北宜昌·中考真題）某造紙廠為節(jié)約木材，實(shí)現(xiàn)企業(yè)綠色低碳發(fā)展，通過技術(shù)改造升級，使再生紙項(xiàng)目的生產(chǎn)規(guī)模不斷擴(kuò)大．該廠3，4月份共生產(chǎn)再生紙800噸，其中4月份再生紙產(chǎn)量是3月份的2倍少100噸．(1)求4月份再生紙的產(chǎn)量；(2)若4月份每噸再生紙的利潤為1000元，5月份再生紙產(chǎn)量比上月增加．5月份每噸再生紙的利潤比上月增加，則5月份再生紙項(xiàng)目月利潤達(dá)到66萬元．求的值；(3)若4月份每噸再生紙的利潤為1200元，4至6月每噸再生紙利潤的月平均增長率與6月份再生紙產(chǎn)量比上月增長的百分?jǐn)?shù)相同，6月份再生紙項(xiàng)目月利潤比上月增加了．求6月份每噸再生紙的利潤是多少元？題型4.不等式（組）的實(shí)際應(yīng)用列不等式（組）解應(yīng)用題的基本步驟如下：①審題；②設(shè)未知數(shù)；③列不等式(組)；④解不等式(組)；⑤檢驗(yàn)并寫出答案．注意：列不等式（組）解決實(shí)際問題常與一元一次方程、一次函數(shù)等綜合考查，涉及的題型常與方案設(shè)計(jì)型問題相聯(lián)系，如最大利潤、最優(yōu)方案等。列不等式時(shí)，要抓住關(guān)鍵詞，如不大于、不超過、至多用“≤”連接，不少于、不低于、至少用“≥”連接．例1．（2024·江蘇常州·一模）某商場在世博會上購置甲、乙兩種禮盒，其中甲禮盒的單價(jià)比乙禮盒的單價(jià)貴25元，且購置2個(gè)甲禮盒與1個(gè)乙禮盒共花費(fèi)200元．(1)求甲、乙兩種禮盒的單價(jià)；(2)若該商場要求購置甲禮盒的數(shù)量是乙禮盒數(shù)量的2倍，且購置禮盒的總額不高于20000元，則該商場最多可以購置多少個(gè)乙禮盒？變式1．（2023·湖南·中考真題）為提升學(xué)生身體素質(zhì)，落實(shí)教育部門“在校學(xué)生每天鍛煉時(shí)間不少于1小時(shí)”的文件精神．某校利用課后服務(wù)時(shí)間，在八年級開展“體育賦能，助力成長”班級籃球賽，共個(gè)班級參加．(1)比賽積分規(guī)定：每場比賽都要分出勝負(fù)，勝一場積分，負(fù)一場積分．某班級在場比賽中獲得總積分為分，問該班級勝負(fù)場數(shù)分別是多少？(2)投籃得分規(guī)則：在分線外投籃，投中一球可得分，在分線內(nèi)含分線投籃，投中一球可得分，某班級在其中一場比賽中，共投中個(gè)球只有分球和分球，所得總分不少于分，問該班級這場比賽中至少投中了多少個(gè)分球？變式2．（2023·河南·中考真題）某健身器材專賣店推出兩種優(yōu)惠活動，并規(guī)定購物時(shí)只能選擇其中一種．活動一：所購商品按原價(jià)打八折；活動二：所購商品按原價(jià)每滿300元減80元．（如：所購商品原價(jià)為300元，可減80元，需付款220元；所購商品原價(jià)為770元，可減160元，需付款610元）(1)購買一件原價(jià)為450元的健身器材時(shí)，選擇哪種活動更合算？請說明理由．(2)購買一件原價(jià)在500元以下的健身器材時(shí)，若選擇活動一和選擇活動二的付款金額相等，求一件這種健身器材的原價(jià)．(3)購買一件原價(jià)在900元以下的健身器材時(shí)，原價(jià)在什么范圍內(nèi)，選擇活動二比選擇活動一更合算？設(shè)一件這種健身器材的原價(jià)為a元，請直接寫出a的取值范圍．考點(diǎn)二：函數(shù)相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用函數(shù)相關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問題在中考中的考查常以解答題為主，通過設(shè)置一個(gè)實(shí)際問題情景，給出若干信息，提出解決問題的要求，要求學(xué)生運(yùn)用學(xué)過的技能和方法，進(jìn)行設(shè)計(jì)和操作，尋求恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方案，有時(shí)也給出幾個(gè)不同的解決方案，要求判斷哪個(gè)方案較優(yōu)，主要考查解一元一次方程、二元一次方程（組）、不等式（組）、分式方程、一元二次方程，一次函數(shù)、二次函數(shù)求最值。設(shè)題背景有：工程問題、利潤問題、平均變化率問題、方案選擇問題等．由于此類專題應(yīng)用范圍較廣，因此是中考的?？碱}。題型1.一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用1）一次函數(shù)的應(yīng)用問題的求解思路：①建立一次函數(shù)模型→求出一次函數(shù)解析式→結(jié)合函數(shù)解析式、函數(shù)性質(zhì)作出解答；②利用函數(shù)并與方程（組）、不等式（組）聯(lián)系在一起解決實(shí)際生活中的利率、利潤、租金、生產(chǎn)方案的設(shè)計(jì)問題以及經(jīng)濟(jì)決策、市場經(jīng)濟(jì)等方面的應(yīng)用。2）建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的一般步驟：①審題，設(shè)定實(shí)際問題中的變量，明確變量x和y；②根據(jù)等量關(guān)系，建立變量與變量之間的函數(shù)關(guān)系式，如：一次函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；③確定自變量x的取值范圍，保證自變量具有實(shí)際意義；④利用函數(shù)的性質(zhì)解決問題；⑤寫出答案。3）利用一次函數(shù)的圖象解決實(shí)際問題的一般步驟：①觀察圖象，獲取有效信息；②對獲取的信息進(jìn)行加工、處理，理清各數(shù)量之間的關(guān)系；③選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具（如函數(shù)、方程、不等式等），通過建模解決問題?！咀⒁狻繒r(shí)刻注意根據(jù)實(shí)際情況確定變量的取值范圍。例1.（2023·江蘇·中考真題）快車和慢車同時(shí)從甲地出發(fā)，以各自的速度勻速向乙地行駛，快車到達(dá)乙地卸裝貨物用時(shí)，結(jié)束后，立即按原路以另一速度勻速返回，直至與慢車相遇，已知慢車的速度為．兩車之間的距離與慢車行駛的時(shí)間的函數(shù)圖像如圖所示．

(1)請解釋圖中點(diǎn)的實(shí)際意義；(2)求出圖中線段所表示的函數(shù)表達(dá)式；(3)兩車相遇后，如果快車以返回的速度繼續(xù)向甲地行駛，求到達(dá)甲地還需多長時(shí)間．變式1．（2023·江蘇連云港·中考真題）目前，我市對市區(qū)居民用氣戶的燃?xì)馐召M(fèi)，以戶為基礎(chǔ)、年為計(jì)算周期設(shè)定了如下表的三個(gè)氣量階梯：階梯年用氣量銷售價(jià)格備注第一階梯（含400）的部分2.67元若家庭人口超過4人的，每增加1人，第一、二階梯年用氣量的上限分別增加．第二階梯（含1200）的部分3.15元第三階梯以上的部分3.63元(1)一戶家庭人口為3人，年用氣量為，則該年此戶需繳納燃?xì)赓M(fèi)用為__________元；(2)一戶家庭人口不超過4人，年用氣量為，該年此戶需繳納燃?xì)赓M(fèi)用為元，求與的函數(shù)表達(dá)式；(3)甲戶家庭人口為3人，乙戶家庭人口為5人，某年甲戶、乙戶繳納的燃?xì)赓M(fèi)用均為3855元，求該年乙戶比甲戶多用多少立方米的燃?xì)?？（結(jié)果精確到）變式2．（2022·江蘇宿遷·中考真題）某單位準(zhǔn)備購買文化用品，現(xiàn)有甲、乙兩家超市進(jìn)行促銷活動，該文化用品兩家超市的標(biāo)價(jià)均為10元/件，甲超市一次性購買金額不超過400元的不優(yōu)惠，超過400元的部分按標(biāo)價(jià)的6折售賣；乙超市全部按標(biāo)價(jià)的8折售賣．(1)若該單位需要購買30件這種文化用品，則在甲超市的購物金額為元；乙超市的購物金額為元；(2)假如你是該單位的采購員，你認(rèn)為選擇哪家超市支付的費(fèi)用較少？題型2.反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用解決反比例函數(shù)的實(shí)際問題時(shí)，先確定函數(shù)解析式，再利用圖象找出解決問題的方案，特別注意自變量的取值范圍。例1.（2023·江蘇蘇州·九年級?？计谥校榱隧憫?yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召，建設(shè)生態(tài)文明，德州市某工廠自年月開始限產(chǎn)并進(jìn)行治污改造，其月利潤萬元與月份之間的變化如圖所示，治污完成前是反比例函數(shù)圖像的一部分，治污完成后是一次函數(shù)圖像的部分，下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（

）A．月份的利潤為萬元B．治污改造完成后每月利潤比前一個(gè)月增加萬元C．月份該廠利潤達(dá)到萬元D．治污改造完成前后共有個(gè)月的利潤低于萬元變式1．（2023·河北保定·統(tǒng)考一模）某種玻璃原材料需在環(huán)境保存，取出后勻速加熱至高溫，之后停止加熱，玻璃制品溫度會逐漸降低至室溫（），加熱和降溫過程中可以對玻璃進(jìn)行加工，且玻璃加工的溫度要求不低于．玻璃溫度與時(shí)間的函數(shù)圖象如下，降溫階段y與x成反比例函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖象信息，以下判斷正確的是（

）A．玻璃加熱速度為 B．玻璃溫度下降時(shí)，y與x的函數(shù)關(guān)系式為C．能夠?qū)ΣＡнM(jìn)行加工時(shí)長為 D．玻璃從降至室溫需要的時(shí)間為變式2．（2023·河南信陽·?？既＃穸仁侵缚諝獾母蓾癯潭龋蚝械乃魵獾亩嗌伲鞖忸A(yù)報(bào)中最常用的是相對濕度，相對濕度是空氣中實(shí)際水蒸氣含量與同溫度下的最大可容納水蒸氣含量的百分比值，符號為%RH．人體感覺舒適的濕度一般為40%RH~70%RH．如圖1所示為某實(shí)驗(yàn)室的自動除濕機(jī)簡化后的電路圖，R為裝在除濕機(jī)內(nèi)的濕敏電阻，其阻值隨相對濕度變化的圖象如圖2所示，當(dāng)濕敏電阻R的阻值發(fā)生變化時(shí)，控制電路中線圈的電流I隨之發(fā)生變化，控制電路中總電阻（調(diào)控電阻和濕敏電阻R的阻值之和，其他忽略不計(jì)）與電流I的關(guān)系圖象如圖3所示，當(dāng)電流大于或等于20mA時(shí)，L的兩個(gè)磁性彈片相互吸合，工作電路的壓縮機(jī)開始帶動系統(tǒng)進(jìn)行除濕．下列說法不正確的是（

）

A．相對濕度越高，濕敏電阻R的阻值越小B．當(dāng)相對濕度為35%RH時(shí)，濕敏電阻R的阻值為150ΩC．當(dāng)濕敏電阻R的阻值為50Ω時(shí)，實(shí)驗(yàn)室內(nèi)的相對濕度在人體感覺舒適的濕度范圍內(nèi)D．當(dāng)相對濕度為45%RH時(shí)，若要壓縮機(jī)開始工作，則調(diào)控電阻的阻值不能低于500Ω題型3.二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用用二次函數(shù)解決實(shí)際問題的一般步驟：1）審：仔細(xì)審題，理清題意；2）設(shè)：找出題中的變量和常量，分析它們之間的關(guān)系，與圖形相關(guān)的問題要結(jié)合圖形具體分析，設(shè)出適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)；3）列：用二次函數(shù)表示出變量和常量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型，寫出二次函數(shù)的解析式；4）解：依據(jù)已知條件，借助二次函數(shù)的解析式、圖象和性質(zhì)等求解實(shí)際問題；5）檢：檢驗(yàn)結(jié)果，進(jìn)行合理取舍，得出符合實(shí)際意義的結(jié)論。例1．（2024·江蘇無錫·一模）陽春三月，又到了一年最美櫻花季，黿頭渚某商家借機(jī)推出新款櫻花雪糕，其中雪糕每支成本5元．該商家每支雪糕定價(jià)元，平均每天可售出支，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商家決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每支雪糕降價(jià)元，商場平均每天可多售出支．求：(1)若商家平均每天要盈利22500元，每支雪糕應(yīng)降價(jià)多少元？(2)每支雪糕降價(jià)多少元時(shí)，商家平均每天盈利最多？變式1．（2021·江蘇揚(yáng)州·中考真題）甲、乙兩汽車出租公司均有50輛汽車對外出租，下面是兩公司經(jīng)理的一段對話：甲公司經(jīng)理：如果我公司每輛汽車月租費(fèi)3000元，那么50輛汽車可以全部租出．如果每輛汽車的月租費(fèi)每增加50元，那么將少租出1輛汽車．另外，公司為每輛租出的汽車支付月維護(hù)費(fèi)200元．乙公司經(jīng)理：我公司每輛汽車月租費(fèi)3500元，無論是否租出汽車，公司均需一次性支付月維護(hù)費(fèi)共計(jì)1850元．說明：①汽車數(shù)量為整數(shù)；②月利潤=月租車費(fèi)-月維護(hù)費(fèi)；③兩公司月利潤差=月利潤較高公司的利潤-月利潤較低公司的利潤．在兩公司租出的汽車數(shù)量相等的條件下，根據(jù)上述信息，解決下列問題：（1）當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車為10輛時(shí)，甲公司的月利潤是_______元；當(dāng)每個(gè)公司租出的汽車為_______輛時(shí)，兩公司的月利潤相等；（2）求兩公司月利潤差的最大值；（3）甲公司熱心公益事業(yè)，每租出1輛汽車捐出a元給慈善機(jī)構(gòu)，如果捐款后甲公司剩余的月利潤仍高于乙公司月利潤，且當(dāng)兩公司租出的汽車均為17輛時(shí)，甲公司剩余的月利潤與乙公司月利潤之差最大，求a的取值范圍．變式2．（2023·湖南益陽·中考真題）某企業(yè)準(zhǔn)備對A，B兩個(gè)生產(chǎn)性項(xiàng)目進(jìn)行投資，根據(jù)其生產(chǎn)成本、銷售情況等因素進(jìn)行分析得知：投資A項(xiàng)目一年后的收益（萬元）與投入資金x（萬元）的函數(shù)表達(dá)式為：，投資B項(xiàng)目一年后的收益（萬元）與投入資金x（萬元）的函數(shù)表達(dá)式為：．(1)若將10萬元資金投入A項(xiàng)目，一年后獲得的收益是多少？(2)若對A，B兩個(gè)項(xiàng)目投入相同的資金m（）萬元，一年后兩者獲得的收益相等，則m的值是多少？(3)2023年，我國對小微企業(yè)施行所得稅優(yōu)惠政策．該企業(yè)將根據(jù)此政策獲得的減免稅款及其他結(jié)余資金共計(jì)32萬元，全部投入到A，B兩個(gè)項(xiàng)目中，當(dāng)A，B兩個(gè)項(xiàng)目分別投入多少萬元時(shí)，一年后獲得的收益之和最大？最大值是多少萬元？題型4.方程、不等式、函數(shù)綜合的實(shí)際應(yīng)用建立方程、不等式、函數(shù)模型解決問題的一般步驟：①閱讀，弄清問題背景和基本要求；②分析，尋找問題的數(shù)量關(guān)系，找到與其相關(guān)的知識；③建模，由分析得出的相關(guān)知識建立方程模型、不等式(組)模型或函數(shù)模型；④解題，求解上述建立的方程、不等式或函數(shù)，結(jié)合實(shí)際確定最優(yōu)方案。例1．（2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）近年來，市民交通安全意識逐步增強(qiáng)，頭盔需求量增大．某商店購進(jìn)甲、乙兩種頭盔，已知購買甲種頭盔20只，乙種頭盔30只，共花費(fèi)2920元，甲種頭盔的單價(jià)比乙種頭盔的單價(jià)高11元．(1)甲、乙兩種頭盔的單價(jià)各是多少元？(2)商店決定再次購進(jìn)甲、乙兩種頭盔共40只，正好趕上廠家進(jìn)行促銷活動，促銷方式如下：甲種頭盔按單價(jià)的八折出售，乙種頭盔每只降價(jià)6元出售．如果此次購買甲種頭盔的數(shù)量不低于乙種頭盔數(shù)量的一半，那么應(yīng)購買多少只甲種頭盔，使此次購買頭盔的總費(fèi)用最小？最小費(fèi)用是多少元？變式1.（2022·江蘇蘇州·中考真題）某水果店經(jīng)銷甲、乙兩種水果，兩次購進(jìn)水果的情況如下表所示：進(jìn)貨批次甲種水果質(zhì)量（單位：千克）乙種水果質(zhì)量（單位：千克）總費(fèi)用（單位：元）第一次60401520第二次30501360(1)求甲、乙兩種水果的進(jìn)價(jià)；(2)銷售完前兩次購進(jìn)的水果后，該水果店決定回饋顧客，開展促銷活動．第三次購進(jìn)甲、乙兩種水果共200千克，且投入的資金不超過3360元．將其中的m千克甲種水果和3m千克乙種水果按進(jìn)價(jià)銷售，剩余的甲種水果以每千克17元、乙種水果以每千克30元的價(jià)格銷售．若第三次購進(jìn)的200千克水果全部售出后，獲得的最大利潤不低于800元，求正整數(shù)m的最大值．變式2.（2023·江蘇宿遷·中考真題）某商場銷售兩種商品，每件進(jìn)價(jià)均為20元．調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果售出種20件，種10件，銷售總額為840元；如果售出種10件，種15件，銷售總額為660元．(1)求兩種商品的銷售單價(jià)．(2)經(jīng)市場調(diào)研，種商品按原售價(jià)銷售，可售出40件，原售價(jià)每降價(jià)1元，銷售量可增加10件；種商品的售價(jià)不變，種商品售價(jià)不低于種商品售價(jià)．設(shè)種商品降價(jià)元，如果兩種商品銷售量相同，求取何值時(shí)，商場銷售兩種商品可獲得總利潤最大？最大利潤是多少？專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）小明從家出發(fā)到商場購物后返回，如圖表示的是小明離家的路程（單位：）與時(shí)間（單位：）之間的函數(shù)關(guān)系．已知小明購物用時(shí)，從商場返回家的速度是從家去商場速度的倍，則的值為（

）

A．46 B．48 C．50 D．522．（2023·湖南·中考真題）某校組織九年級學(xué)生赴韶山開展研學(xué)活動，已知學(xué)校離韶山50千米，師生乘大巴車前往，某老師因有事情，推遲了10分鐘出發(fā)，自駕小車以大巴車速度的倍前往，結(jié)果同時(shí)到達(dá)．設(shè)大巴車的平均速度為x千米/時(shí)，則可列方程為（

）A． B． C． D．3．（2023·江蘇宿遷·中考真題）《孫子算經(jīng)》中有個(gè)問題：若三人共車，余兩車空：若兩人共車，剩九人步，問人與車各幾何？設(shè)有x輛車，則根據(jù)題意可列出方程為（

）A． B． C． D．4．（2022·江蘇宿遷·中考真題）我國古代《算法統(tǒng)宗》里有這樣一首詩：“我問開店李三公，眾客都來到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”詩中后面兩句的意思是：如果一間客房住7人，那么有7人無房可??；如果一間客房住9人，那么就空出一間客房，若設(shè)該店有客房x間，房客y人，則列出關(guān)于x、y的二元一次方程組正確的是（

）A． B． C． D．5．（2023·湖北襄陽·中考真題）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1275年提出的一個(gè)問題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步．問闊及長各幾步．”意思是：長方形的面積是864平方步，寬比長少12步，問寬和長各是幾步．設(shè)寬為x步，根據(jù)題意列方程正確的是（

）A．B．C．D．6．（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）為了預(yù)防“流感”，某學(xué)校對教室采用藥熏消毒法進(jìn)行消毒，已知藥物燃燒時(shí)，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量與時(shí)間成正比例，藥物燃燒完后，y與x成反比例（如圖）．現(xiàn)測得藥物燃畢，此時(shí)室內(nèi)空氣中每立方米的含藥量為．研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于才有效，那么此次消毒的有效時(shí)間是分鐘．

7．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）小明和小剛約定周末到某體育公園打羽毛球．他們兩家到體育公園的距離分別是、，小剛騎自行車的速度是小明步行速度的3倍，若二人同時(shí)到達(dá)，則小明需提前出發(fā)，求小明和小剛兩人的速度．設(shè)小明的速度是，根據(jù)題意可列方程為．8．（2024·江蘇南京·一模）某產(chǎn)品原來成本是25元，按照固定的百分率降低成本，連續(xù)兩次降低后比一次降低后所剩的成本少4元，可得方程．9．（2023·湖南婁底·中考真題）若干個(gè)同學(xué)參加課后社團(tuán)——舞蹈活動，一次排練中，先到的n個(gè)同學(xué)均勻排成一個(gè)以O(shè)點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓圈（每個(gè)同學(xué)對應(yīng)圓周上一個(gè)點(diǎn)），又來了兩個(gè)同學(xué)，先到的同學(xué)都沿各自所在半徑往后移a米，再左右調(diào)整位置，使這個(gè)同學(xué)之間的距離與原來n個(gè)同學(xué)之間的距離（即在圓周上兩人之間的圓弧的長）相等．這個(gè)同學(xué)排成圓圈后，又有一個(gè)同學(xué)要加入隊(duì)伍，重復(fù)前面的操作，則每人須往后移米（請用關(guān)于a的代數(shù)式表示），才能使得這個(gè)同學(xué)之間的距離與原來n個(gè)同學(xué)之間的距離相等．

10．（2023·山東·中考真題）《九章算術(shù)》中有一個(gè)問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四、問人數(shù)、物價(jià)各幾何？”題目大意是：有幾個(gè)人一起去買一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．問有多少人？該物品價(jià)值多少元？設(shè)有x人，該物品價(jià)值y元，根據(jù)題意列方程組：．11．（2022·江蘇連云港·中考真題）我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：“今有共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問人數(shù)、物價(jià)各幾何？”其大意是：今有幾個(gè)人共同出錢購買一件物品．每人出8錢，剩余3錢；每人出7錢，還缺4錢．問人數(shù)、物品價(jià)格各是多少？請你求出以上問題中的人數(shù)和物品價(jià)格．12．（2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）甲、乙兩名學(xué)生到離校的“人民公園”參加志愿者活動，甲同學(xué)步行，乙同學(xué)騎自行車，騎自行車速度是步行速度的4倍，甲出發(fā)后乙同學(xué)出發(fā)，兩名同學(xué)同時(shí)到達(dá)，求乙同學(xué)騎自行車的速度．13．（2023·江蘇·中考真題）如圖，在打印圖片之前，為確定打印區(qū)域，需設(shè)置紙張大小和頁邊距（紙張的邊線到打印區(qū)域的距離），上、下，左、右頁邊距分別為．若紙張大小為，考慮到整體的美觀性，要求各頁邊距相等并使打印區(qū)域的面積占紙張的，則需如何設(shè)置頁邊距？14．（2023·湖南湘西·中考真題）2023年“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”成為社會關(guān)注的熱門話題，“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”有著啟動資金少、管理成本低等優(yōu)點(diǎn)，特別是在受到疫情沖擊后的經(jīng)濟(jì)恢復(fù)期，“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”更是成為許多創(chuàng)業(yè)者的首選，甲經(jīng)營了某種品牌小電器生意，采購2臺A種品牌小電器和3臺B種品牌小電器，共需要90元；采購3臺A種品牌小電器和1臺B種品牌小電器，共需要65元銷售一臺A種品牌小電器獲利3元，銷售一臺B種品牌小電器獲利4元．(1)求購買1臺A種品牌小電器和1臺B種品牌小電器各需要多少元？(2)甲用不小于2750元，但不超過2850元的資金一次性購進(jìn)A、B兩種品牌小電器共150臺，求購進(jìn)A種品牌小電器數(shù)量的取值范圍．(3)在（2）的條件下，所購進(jìn)的A、B兩種品牌小電器全部銷售完后獲得的總利潤不少于565元，請說明甲合理的采購方案有哪些？并計(jì)算哪種采購方案獲得的利潤最大，最大利潤是多少？15．（2023·黑龍江牡丹江·中考真題）某商場欲購進(jìn)A和B兩種家電，已知B種家電的進(jìn)價(jià)比A種家電的進(jìn)價(jià)每件多100元，經(jīng)計(jì)算，用1萬元購進(jìn)A種家電的件數(shù)與用1.2萬元購進(jìn)B種家電的件數(shù)相同．請解答下列問題：(1)這兩種家電每件的進(jìn)價(jià)分別是多少元？(2)若該商場欲購進(jìn)兩種家電共100件，總金額不超過53500元，且A種家電不超過67件，則該商場有哪幾種購買方案？(3)在（2）的條件下，若A和B兩種家電的售價(jià)分別是每件600元和750元，該商場從這100件中拿出兩種家電共10件獎(jiǎng)勵(lì)優(yōu)秀員工，其余家電全部售出后仍獲利5050元，請直接寫出這10件家電中B種家電的件數(shù)．16．（2023·江蘇鹽城·中考真題）某校舉行“二十大知識學(xué)習(xí)競賽”活動，老師讓班長小華到商店購買筆記本作為獎(jiǎng)品．甲、乙兩家商店每本硬面筆記本比軟面筆記本都貴3元（單價(jià)均為整數(shù)）．(1)若班長小華在甲商店購買，他發(fā)現(xiàn)用240元購買硬面筆記本與用195元購買軟面筆記本的數(shù)量相同，求甲商店硬面筆記本的單價(jià)．(2)若班長小華在乙商店購買硬面筆記本，乙商店給出了硬面筆記本的優(yōu)惠條件（軟面筆記本單價(jià)不變）：一次購買的數(shù)量少于30本，按原價(jià)售出；不少于30本按軟面筆記本的單價(jià)售出．班長小華打算購買本硬面筆記本（為正整數(shù)），他發(fā)現(xiàn)再多購買5本的費(fèi)用恰好與按原價(jià)購買的費(fèi)用相同，求乙商店硬面筆記本的原價(jià)．17．（2023·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）甲、乙兩家商場以同樣的價(jià)格出售同樣的電器，但是各自推出的優(yōu)惠方案不同．甲商場規(guī)定：凡購買超過1000元電器的，超出的金額按90%實(shí)收；乙商場規(guī)定：凡購買超過500元電器的，超出的金額按95%實(shí)收．顧客怎樣選擇商場購買電器能獲得更大的優(yōu)惠？18．（2022·江蘇無錫·中考真題）某農(nóng)場計(jì)劃建造一