2025屆三門峽市重點中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末達標檢測試題含解析

2025屆三門峽市重點中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末達標檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．拋物線的焦點到準線的距離為（）A. B.C. D.12．已知在直角坐標系xOy中，點Q(4，0)，O為坐標原點，直線l：上存在點P滿足.則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知橢圓，則它的短軸長為（）A.2 B.4C.6 D.84．如圖所示，在三棱錐中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，則等于（）A. B.C. D.5．我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有“衰分問題”：今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問次日織幾問?其意為：一女子每天織布的尺數(shù)是前一天的2倍，5天共織布5尺，請問第二天織布的尺數(shù)是（）A. B.C. D.6．等差數(shù)列的前項和，若，則A.8 B.10C.12 D.147．已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上，若，則的面積為（）A. B.C. D.8．如圖，已知正方體，點P是棱中點，設(shè)直線為a，直線為b．對于下列兩個命題：①過點P有且只有一條直線l與a、b都相交；②過點P有且只有兩條直線l與a、b都成角．以下判斷正確的是（）A.①為真命題，②為真命題 B.①為真命題，②為假命題C.①為假命題，②為真命題 D.①為假命題，②為假命題9．一條光線從點射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（）A.或 B.或C.或 D.或10．已知函數(shù)，若對任意兩個不等的正數(shù)，，都有恒成立，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.11．由直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為（）A. B.C.4 D.212．設(shè)函數(shù)若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等差數(shù)列滿足，，，則公差______14．已知函數(shù)，若，則________.15．若斜率為的直線與橢圓交于，兩點，且的中點坐標為，則___________.16．在中，，是線段上的點，，若的面積為，當(dāng)取到最大值時，___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點F是拋物線和橢圓的公共焦點，是與的交點，.（1）求橢圓的方程；（2）直線與拋物線相切于點，與橢圓交于，，點關(guān)于軸的對稱點為.求的最大值及相應(yīng)的.18．（12分）已知直線，拋物線.（1）與有公共點，求的取值范圍；（2）是坐標原點，過的焦點且與交于兩點，求的面積.19．（12分）在①，②是與的等比中項，③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題：已知數(shù)列{}的前n項和為，，且滿足___（1）求數(shù)列{}的通項公式；（2）求數(shù)列{}前n項和注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分20．（12分）已知函數(shù).（1）設(shè)函數(shù)，討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）若存在兩個極值點，（）（極值點是指函數(shù)取極值時對應(yīng)的自變量的值），且，證明：.21．（12分）已知P，Q的坐標分別為，，直線PM，QM相交于點M，且它們的斜率之積是.設(shè)點M的軌跡為曲線C.（1）求曲線的方程；（2）設(shè)為坐標原點，圓的半徑為1，直線：與圓相切，且與曲線交于不同的兩點A，B.當(dāng)，且滿足時，求面積的取值范圍.22．（10分）已知等差數(shù)列滿足；正項等比數(shù)列滿足，，（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）數(shù)列滿足，的前n項和為，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】由可得拋物線標椎方程為：，由焦點和準線方程即可得解.【詳解】由可得拋物線標準方程為：，所以拋物線的焦點為，準線方程為，所以焦點到準線的距離為，故選：B【點睛】本題考了拋物線標準方程，考查了焦點和準線相關(guān)基本量，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】根據(jù)給定直線設(shè)出點P的坐標，再借助列出關(guān)于的不等式，然后由不等式有解即可計算作答.【詳解】因點P在直線l：上，則設(shè)，于是有，而，因此，，即，依題意，上述關(guān)于的一元二次不等式有實數(shù)解，從而有，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是.故選：A3、B【解析】根據(jù)橢圓短軸長的定義進行求解即可.【詳解】由橢圓的標準方程可知：，所以該橢圓的短軸長為，故選：B4、D【解析】根據(jù)向量的線性運算公式化簡可得結(jié)果.【詳解】因為E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，所以，，所以，故選：D5、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列求和公式求出首項即可得解.【詳解】由題可得該女子每天織布的尺數(shù)成等比數(shù)列，設(shè)其首項為，公比為，則，解得所以第二天織布的尺數(shù)為.故選：C6、C【解析】假設(shè)公差為,依題意可得.所以.故選C.考點：等差數(shù)列的性質(zhì).7、B【解析】求出，可知為等腰三角形，取的中點，可得出，利用勾股定理求得，利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】在橢圓中，，，則，所以，，由橢圓的定義可得，取的中點，因為，則，由勾股定理可得，所以，.故選：B.8、A【解析】①由正方形的性質(zhì)，可以延伸正方形，再利用兩條平行線確定一個平面即可；②一組鄰邊與對角面夾角相等，在平面內(nèi)繞P轉(zhuǎn)動，可以得到二條直線與a、b的夾角都等于.【詳解】如下圖所示，在側(cè)面正方形和再延伸一個正方形和，則平面和在同一個平面內(nèi)，所以過點P，有且只有一條直線l，即與a、b相交，故①為真命題；取中點N，連PN，由于a、b為異面直線，a、b的夾角等于與b的夾角.由于平面，平面，，所以平面，所以與與b的夾角都為.又因為平面，所以與與b的夾角都為，而，所以過點P，在平面內(nèi)存在一條直線，使得與與b的夾角都為，同理可得，過點P，在平面內(nèi)存在一條直線，使得與與的夾角都為；故②為真命題.故選：A9、D【解析】由光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點，設(shè)反射光線所在直線的斜率為，則反射光線所在直線方程為：，即：.又因為光線與圓相切，所以，,整理：，解得：，或,故選D考點：1、圓的標準方程；2、直線的方程；3、直線與圓的位置關(guān)系.10、A【解析】將已知條件轉(zhuǎn)化為時恒成立，利用參數(shù)分離的方法求出a的取值范圍【詳解】對任意都有恒成立，則時，，當(dāng)時恒成立，

，當(dāng)時恒成立，，故選：A11、D【解析】切點與圓心的連線垂直于切線，切線長轉(zhuǎn)化為直線上點與圓心連線和半徑的關(guān)系，利用點到直線的距離公式求出圓心與直線上點距離的最小值，結(jié)合勾股定理即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)為直線上任意一點，，切線長的最小值為：，故選：D.12、D【解析】有兩個零點等價于與的圖象有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與最值，畫出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】解：設(shè)，則，所以在上遞減，在上遞增，，且時，，有兩個零點等價于與的圖象有兩個交點，畫出的圖象，如下圖所示，由圖可得，時，與的圖象有兩個交點，此時，函數(shù)有兩個零點，實數(shù)m的取值范圍是，故選：D.【點睛】方法點睛：本題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的零點，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于難題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，函數(shù)圖象是函數(shù)的一種表達形式，它形象地揭示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究函數(shù)的數(shù)量關(guān)系提供了“形”的直觀性．歸納起來，圖象的應(yīng)用常見的命題探究角度有：1、確定方程根的個數(shù)；2、求參數(shù)的取值范圍；3、求不等式的解集；4、研究函數(shù)性質(zhì)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)求得，再根據(jù)題意列出相關(guān)的方程組，解得答案.【詳解】為等差數(shù)列，故由可得：，即，故，故，所以，解得，故答案為：214、【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，確定導(dǎo)函數(shù)奇函數(shù)，然后可求值【詳解】由已知，它是奇函數(shù)，∴故答案為：【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運算，考查函數(shù)的奇偶性，確定函數(shù)的奇偶性是解題關(guān)鍵15、-1【解析】根據(jù)給定條件設(shè)出點A，B的坐標，再借助“點差法”即可計算得解.【詳解】依題意，線段的中點在橢圓C內(nèi)，設(shè)，，由兩式相減得：，而，于是得，即，所以.故答案為：16、【解析】由三角形面積公式得出，設(shè)，由可得出，利用基本不等式可求出的值，利用等號成立可得出、的值，再利用余弦利用可得出的值.【詳解】由題意可得，解得，設(shè)，則，可得，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值，，，由余弦定理得，解得．故答案為【點睛】本題考查余弦定理解三角形，同時也考查了三角形的面積公式以及利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值時，需要結(jié)合已知條件得出定值條件，同時要注意等號成立的條件，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2），.【解析】（1）根據(jù)題意可得，然后根據(jù)，，計算可得，最后可得結(jié)果.（2）假設(shè)直線的方程為，根據(jù)與拋物線相切，可得，然后與橢圓聯(lián)立，計算，然后計算點到的距離，計算，利用函數(shù)性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意知：，.，得：，所以.所以的方程為.（2）設(shè)直線的方程為，則由，得得：所以直線的方程為.由，得得.又，所以點到的距離為..令，則，.此時，即【點睛】本題考查直線與圓錐曲線的綜合以及三角形面積問題，本題著重考查對問題分析能力以及計算能力，屬難題.18、（1）；（2）.【解析】(1)聯(lián)立直線l與拋物線C的方程消去x，借助判別式建立不等式求解作答.(2)利用(1)中信息求出點縱坐標差的絕對值即可計算作答.【小問1詳解】依題意，由消去x并整理得：，因與有公共點，則，解得：，所以的取值范圍是.【小問2詳解】拋物線的焦點，則，設(shè)，由(1)知，，則，因此，，所以的面積.19、（1）；（2）.【解析】(1)選①，可得數(shù)列為等差數(shù)列，求出，由，可得數(shù)列的通項公式為選②是與的等比中項，可得，由，可得，從而利用累乘法求得數(shù)列的通項公式為選③，由，可得，則數(shù)列為等差數(shù)列，從而求出通項公式(2)由(1)知，求出，利用錯位相減求和法求出小問1詳解】選①.因為，，所以是首項為1，公差為1的等差數(shù)列則，從而當(dāng)時，，經(jīng)檢驗，當(dāng)時，也符合上式．所以選②.因為是與的等比中項所以，當(dāng)時，，兩式相減得，整理得，所以，經(jīng)檢驗，也符合上式，所以選③.由題設(shè)，得，兩式相減，得，整理，得，因為．所以，所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，所以【小問2詳解】由(1)知，，所以，所以，則兩式相減，得，所以20、（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】（1）由題意得，然后對其求導(dǎo)，再分，兩種情況討論導(dǎo)數(shù)的正負，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，（2）由（1）結(jié)合零點存在性定理可得在和上各有一個零點，且是的兩個極值點，再將極值點代入導(dǎo)函數(shù)中化簡結(jié)合已知可得，，從而將要證的結(jié)論轉(zhuǎn)化為證，令，再次轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求的最小值大于零即可【小問1詳解】由，得，則，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令.當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時，的增區(qū)間為，無減區(qū)間當(dāng)時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為小問2詳解】由（1）知若存在兩個極值點，則，且，且注意到，所以在和上各有一個零點，且時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.所以是的兩個極值點.，因為，所以，所以，所以，即，所以而，所以，所以，要證，即要證即要證：因為，所以所以，即要證：即要證：令，即要證：即要證：令當(dāng)時，，所以在上單調(diào)增所以結(jié)論得證.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查利用求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，解題的關(guān)鍵是將兩個極值點代入導(dǎo)函數(shù)中化簡后，將問題轉(zhuǎn)化為證明成立，換元后構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)證明，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于較難題21、（1）（2）【解析