基本不等式（第1課時）教學(xué)設(shè)計

②為基本不等式（basicinequality）．其中，叫做正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)的幾何平均數(shù)．文字語言：兩個正數(shù)的算數(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)?！驹O(shè)計意圖】通過取上一節(jié)課得到的不等式的特殊形式，得到基本不等式，同時在兩個不等式之間建立聯(lián)系.通過分析基本不等式的代數(shù)結(jié)構(gòu)特征，得到基本不等式的代數(shù)解釋，加深對基本不等式的認識.活動一：同學(xué)們小組合作討論，嘗試運用已有知識推導(dǎo)基本不等式.問題3上述不等式是在重要不等式基礎(chǔ)上轉(zhuǎn)化出來的，是否對所有的a>0，b>0都能成立？請給出證明．提示方法一(作差法)eq\f(a＋b,2)－eq\r(ab)＝eq\f(a＋b－2\r(ab),2)＝eq\f(\r(a)2－2\r(ab)＋\r(b)2,2)＝eq\f(\r(a)－\r(b)2,2)≥0，即eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．方法二(性質(zhì)法)思考（1）回顧“充分條件與必要條件”中的相關(guān)知識，談一談你對“要證……，只要證……”的理解.師生活動預(yù)設(shè)在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師明確指出：“只要證的內(nèi)容”是“要證內(nèi)容”成立的充分條件.學(xué)生展示證明方法，對不同與方法進行梳理。引導(dǎo)分析：要證，①只要證，②要證②，只要證，③要證③，只要證，④要證④，只要證，⑤顯然，⑤成立，當(dāng)且僅當(dāng)時，⑤中的等號成立．只要把上述過程倒過來，就能直接推出基本不等式了。（是否展示證明過程?）思考（2）在獲得顯然成立的⑤式a?b2師生活動預(yù)設(shè)有了思考（1），以學(xué)生自我表達做鋪墊，學(xué)生思考交流后可以發(fā)現(xiàn)：從“顯然成立”出發(fā)，一步步倒推，且每一步都是正確的，即⑤?④，④?③，③?②，②?①.教師總結(jié)把教材的過程倒過來就是同學(xué)剛才展示的方法.我們把這種從已知出發(fā)進行推證的方法叫綜合法，將從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使其成立的充分條件的證明方法叫分析法.注意：在書寫表達時每一步都要加以文字說明“要證……，只要證……”，直到“顯然×××成立”.分析法這種由未知探需知、逐步推向已知的方法在今后的數(shù)學(xué)研究中還會經(jīng)常用到.綜合法：把這種從已知出發(fā)進行推證的方法叫綜合法；分析法：從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使其成立的充分條件的證明方法叫分析法【設(shè)計意圖】用“分析法探路，用綜合方法表達”是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中常用的解決問題一般思路，貫穿整個高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)例如在立體幾何證明部分就常常用到這種思路。通過“執(zhí)果索因”和“由因?qū)Ч彪p向的梳理，有利于發(fā)展學(xué)生邏輯推理的核心素養(yǎng)。在此引入“分析法”的思路還可以凸顯不等式性質(zhì)的應(yīng)用價值?；顒佣盒〗M合作，實踐探索問題4：初中對乘法公式中的字母賦予幾何意義，對乘法公式進行幾何解釋，從圖形角度理解乘法公式。能否類比以上過程，嘗試對基本不等式中的字母賦予幾何意義，對基本不等式進行幾何解釋？用線段表示，不妨設(shè)則的幾何意義為線段，表示段長的一半，即。的幾何意義是什么？關(guān)鍵在于如何“構(gòu)造”？不妨令，則由不等式性質(zhì)得，則，在初中，由三角形相似有類似的比例關(guān)系，可以過點作的垂線段，連接，構(gòu)造相似的直角三角形，設(shè)，則，即的幾何意義為線段長。連接,在中，有,即。容易得到是直角，則D點落在以AB為直徑的圓周上，當(dāng)且僅當(dāng)時，點與點重合，，即半弦長不大于半徑長。因此：基本不等式幾何意義是“半徑不小于半弦”【設(shè)計意圖】基本不等式的幾何解釋是本節(jié)課的一個難點。學(xué)生有一定經(jīng)驗，例如已經(jīng)對初中乘法公式和高中的重要不等式進行了幾何解釋，可以聯(lián)想到用線段長度表示，的幾何意義也容易想到，但是不容易想到的幾何意義，通過教師提問引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造“”對等式進行代數(shù)運算，聯(lián)想初中“比例中項”的幾何意義，就不難往后推理。總結(jié)新知1．基本不等式：如果a>0，b>0，則eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．2．其中，eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．3．兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．應(yīng)用新知例1已知，求的最小值.分析：求最小值，就是要求一個，使，都有.觀察，發(fā)現(xiàn).聯(lián)系基本不等式，可以利用正數(shù)x和的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系得到.解：因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立，因此所求的最小值為2.變式：當(dāng)時，求的最小值.【解析】因為,故有,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立.因此所求的最小值為5.總結(jié)：基本不等式的使用特點“一正，二定，三相等”【設(shè)計意圖】分析該問題之前需要先解釋代數(shù)式最小值的含義，從所求代數(shù)式與基本不等式在形式上的聯(lián)系入手，后續(xù)的追問是為了引導(dǎo)學(xué)生感受基本不等式“一正，二定，三相等”的使用特點，特別運算對結(jié)構(gòu)的分析，為后續(xù)應(yīng)用基本不等式解決最值問題提供了分析的思路和方向。例2已知x，y都是正數(shù)，求證：（1）如果積等于定值P，那么當(dāng)時，和有最小值；（2）如果和等于定值S，那么當(dāng)時，積有最大值證明：因為x，y都是正數(shù)，所以.（1）當(dāng)積等于定值P時，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立.于是，當(dāng)時，和有最小值.（2）當(dāng)和等于定值S時，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立.于是，當(dāng)時，積有最大值.總結(jié)：積定和最小；和定積最大變式：已知且.求的最大值【解析】∵,∴,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,∴,即的最大值為10.【師生活動】師生一起分析后，由學(xué)生思考并書寫證明過程后展示，師生共同補充完善.追問：通過本題，你能說說用基本不等式能夠解決什么樣的問題嗎？【師生活動】學(xué)生思考后回答，教師總結(jié)：滿足”兩個正數(shù)的積為定值，當(dāng)這兩個數(shù)取什么值時，求它們的和的最小值“，或者”兩個正數(shù)的和為定值，當(dāng)這兩個數(shù)取什么值時，求它們的積的最大值”的問題，能夠用基本不等式解決.練習(xí)1：當(dāng)時，求的最大值；【解析】則,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號當(dāng)時，的最大值為-8（2）當(dāng)時，求的最小值.練習(xí)2：當(dāng)時，求的最小值.【解析】利用基本不等式求最值的注意事項(1)一正:各項必須都是正值.若各項都是正數(shù),則可以直接用基本不等式求最大(小)值;若各項都是負數(shù),

則可以提取負號,化為正數(shù)后用基本不等式求最大(小)值;若有些項是正數(shù),有些

項是負數(shù),則不可以用基本不等式求最大(小)值.(2)二定:各項之和或各項之積為定值.利用基本不等式求最大(小)值有關(guān)問題的關(guān)鍵是湊出“和”或“積”為定

值,常見的方法技巧如下:①拆(裂項拆項):對分子的次數(shù)不低于分母次數(shù)的分式進行整式分離——分離成

整式與“真分式”的和,再根據(jù)分式中分母的情況對整式進行拆項,為應(yīng)用基本

不等式湊定值創(chuàng)造條件;②并(分組并項):目的是分組后各組可以單獨應(yīng)用基本不等式,或分組后先對一組

應(yīng)用基本不等式,再在組與組之間應(yīng)用基本不等式得出最值;③配(配式、配系數(shù),湊出定值):有時為了挖掘出“積”或“和”為定值,常常需

要根據(jù)題設(shè)條件采取合理配式、配系數(shù)的方法,使配式與待求式相乘后可以應(yīng)用

基本不等式得出定值,或配以恰當(dāng)?shù)南禂?shù)后,使積式中的各項之和為定值.(3)三相等:必須驗證取等號時條件是否成立,若等號不成立,則不能用基本不等式

求最大(小)值.能力提升題型一：利用基本不等式求最值配湊法【練習(xí)1】若,則有A.最大值0 B.最小值9 C.最大值-3 D.最小值-3【答案】【解析】,.當(dāng)且僅當(dāng),即時取“=”.點評：1.基本不等式運用的前提是正數(shù)，當(dāng)遇到負數(shù)時，先通過乘以-1，實現(xiàn)負化正，再通過構(gòu)造法，構(gòu)造倒數(shù)型，最后利用基本不等式計算最值。2.利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.題型二：利用基本不等式求最值常數(shù)代換法【練習(xí)2】,則的取值范圍是A. B. C. D.【答案】D【解析】因為,所以,即.當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號.所以的取值范圍是反思感悟常數(shù)代換法解題的關(guān)鍵是通過代數(shù)式的變形，構(gòu)造和式或積式為定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．應(yīng)用此種方法求解最值時，應(yīng)把“1”的表達式與所求最值的表達式相乘求積或相除求商．點評:活用1構(gòu)造倒數(shù)型利用基本不等式計算.常數(shù)代換法,主要解決形如“已知,求的最值”的問題,先將轉(zhuǎn)化為,再用基本不等式求最值.課堂總結(jié)【設(shè)計意圖】課堂小結(jié)環(huán)節(jié)，回顧了重要不等式和基本不等式的探究過程、運用基本不等式求最值的條件，分析了本節(jié)課運用的思想方法。在作業(yè)布置環(huán)節(jié)，讓學(xué)生課后繼續(xù)探尋基本不等式其他的證明方法和幾何解釋。整節(jié)課貫徹了“學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)”的教學(xué)思想。作業(yè)設(shè)計基礎(chǔ)性作業(yè)：必做題:教材P46練習(xí)第2,5題；P48-49習(xí)題2.2,復(fù)習(xí)鞏固第1,2題探究性作業(yè)：1.若,則的最小值為【答案】8【解析】由,得(當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立),故的最小值為8.2.已知,且,則的最小值為A.16 B. C.12 D.【答案】A【解析】由題意可知,,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立,則的最小值為16.3.函數(shù)的最小值為【答案】9【解析】因為,則,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立,所以函數(shù)的最小值為9.【設(shè)計意圖】基礎(chǔ)性作業(yè)