高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提高第一輪專題復(fù)習(xí)專題05利用導(dǎo)函數(shù)研究恒成立問題(典型題型歸類訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

專題05利用導(dǎo)函數(shù)研究恒成立問題(典型題型歸類訓(xùn)練)一、必備秘籍分離參數(shù)法用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式；步驟：①分類參數(shù)（注意分類參數(shù)時(shí)自變量的取值范圍是否影響不等式的方向）②轉(zhuǎn)化：若)對(duì)恒成立，則只需；若對(duì)恒成立，則只需．③求最值.二、典型題型1．（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）若存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，使得不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．2．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·?？寄M預(yù)測）若恒成立，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)晴，第（2）問中的恒成立問題，常用的方法，一是直接構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值；二是通過參變分離，再構(gòu)造函數(shù)，通過求函數(shù)最值來解決問題.三、專項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．（2023·四川眉山·仁壽一中?？寄M預(yù)測）已知，且恒成立，則k的值不可以是（）A．－2 B．0 C．2 D．42．（2023·江西南昌·江西師大附中?？既＃┤舨坏仁皆谏虾愠闪ⅲ瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．3．（2023·黑龍江大慶·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，為實(shí)數(shù)，不等式在上恒成立，則的最小值為（

）A．－4 B．－3 C．－2 D．－1二、多選題4．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，則的可能取值有（

）A． B． C． D．5．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的可能的值為（

）A． B． C． D．6．（2023·海南·模擬預(yù)測）若時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的值可以為（

）（附：）A． B． C． D．三、填空題7．（2023上·河北保定·高三定州市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．8．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、問答題9．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(2)若對(duì)一切，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．10．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若曲線在處的切線方程為，求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)若，對(duì)任意的，且，不等式恒成立，求m的取值范圍．專題05利用導(dǎo)函數(shù)研究恒成立問題(典型題型歸類訓(xùn)練)一、必備秘籍分離參數(shù)法用分離參數(shù)法解含參不等式恒成立問題，可以根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等式；步驟：①分類參數(shù)（注意分類參數(shù)時(shí)自變量的取值范圍是否影響不等式的方向）②轉(zhuǎn)化：若)對(duì)恒成立，則只需；若對(duì)恒成立，則只需．③求最值.二、典型題型1．（2023·上海崇明·統(tǒng)考一模）若存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，使得不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】不等式等價(jià)于即，原命題等價(jià)于存在實(shí)數(shù)，，對(duì)任意實(shí)數(shù)不等式恒成立，等價(jià)于存在實(shí)數(shù)，，不等式成立，記，則，（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，恒成立，即在上單調(diào)遞減①當(dāng)，即時(shí)，，②當(dāng)，即時(shí)，，從而當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；（2）當(dāng)時(shí)，令，解得，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，，①當(dāng)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)即時(shí)，，當(dāng)即時(shí)，，從而當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以；令，則，，記，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，即，即；②當(dāng)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)即時(shí)，，當(dāng)即時(shí)，，從而當(dāng)時(shí)，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以；（3）當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，恒成立，即在上單調(diào)遞增，①當(dāng)，即時(shí)，，②當(dāng)，即時(shí)，，從而當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；綜上所述，，所以.故選：A【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查不等式的恒成立與有解問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．2．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·校考模擬預(yù)測）若恒成立，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，不符合題意；

當(dāng)時(shí)，，恒成立，即恒成立，設(shè)，令，得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.故當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以，解得，故選：D．3．（2023·江西九江·統(tǒng)考一模）若對(duì)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由已知得：，由，得即，可得．令，，則，求導(dǎo)得，，解得；，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖像如圖所示．

，，，由及的圖像可知，恒成立，即成立，而，，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D．4．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若對(duì)于任意的，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】對(duì)于任意的，都有，即，令，則，且對(duì)于任意的，都有.①當(dāng)時(shí)，，，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，符合題意；②當(dāng)時(shí)，令，則，令，得.當(dāng)時(shí)，則，所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，即，所以在上單調(diào)遞增，所以，這與矛盾，不符合題意；當(dāng)時(shí)，則，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，即，所以在上單調(diào)遞減，，符合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】恒成立問題方法指導(dǎo)：方法1：分離參數(shù)法求最值(1)分離變量．構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．(2)恒成立?；恒成立?；能成立?；能成立?.方法2：根據(jù)不等式恒成立構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題，一般需討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解．5．（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒有，則實(shí)數(shù)t的取值范圍．【答案】【詳解】因?yàn)闀r(shí)，恒有，所以，即恒成立.設(shè)，則，且，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；所以，所以在恒成立，故在單調(diào)遞增，所以恒成立，即，所以恒成立，令，則，，所以當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；所以.所以.故答案為：.6．（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)在時(shí)有極小值.曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求的值；(2)若對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意，，在中，，在時(shí)有極小值.曲線在點(diǎn)處的切線方程為.∴即，，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，在時(shí)有極小值.故符合題意，即為所求.（2）由題意及（1）得，，在中，，即對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，則，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則，故時(shí)有極小值，也就是的最小值，故即為所求.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的求導(dǎo)，導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)法解決函數(shù)恒成立問題，構(gòu)造函數(shù)法，考查學(xué)生的計(jì)算能力和邏輯思維能力，具有很強(qiáng)的綜合性.7．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)極小值為，無極大值(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，由，得到，又，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，所以在處取到極小值，極小值為，無極大值.（2）由恒成立，得到恒成立，即恒成立，又，所以恒成立，令，則，令，則恒成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，即時(shí)，，時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，所以，即，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)晴，第（2）問中的恒成立問題，常用的方法，一是直接構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值；二是通過參變分離，再構(gòu)造函數(shù)，通過求函數(shù)最值來解決問題.三、專項(xiàng)訓(xùn)練一、單選題1．（2023·四川眉山·仁壽一中校考模擬預(yù)測）已知，且恒成立，則k的值不可以是（）A．－2 B．0 C．2 D．4【答案】D【詳解】由，知，，則，即，令，則，令，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，即，從而，令，則，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，因此在時(shí)取得最小值2，即，所以，即可取，不能取4.故選：D2．（2023·江西南昌·江西師大附中校考三模）若不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】不等式在上恒成立，兩邊同除得在上恒成立，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，令，，即在上恒成立，所以只需即可，令，則，令，則在上恒成立，單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，即，故選：B3．（2023·黑龍江大慶·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，為實(shí)數(shù)，不等式在上恒成立，則的最小值為（

）A．－4 B．－3 C．－2 D．－1【答案】C【詳解】設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)，在不恒成立，不合題意當(dāng)時(shí)，時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在時(shí)取得最大值，由題意不等式在恒成立，只需即，所以，，設(shè)，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在取得最小值為，所以最小值為，故選：D二、多選題4．（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，則的可能取值有（

）A． B． C． D．【答案】BD【詳解】已知，當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，恒成立或恒成立；即恒成立或恒成立；設(shè)單調(diào)遞減；單調(diào)遞增；無最大值.設(shè)單調(diào)遞減；單調(diào)遞增；無最大值.當(dāng)時(shí)，成立或成立；當(dāng)時(shí)，成立或無解；當(dāng)時(shí)，恒成立或恒成立；即恒成立或恒成立；設(shè)單調(diào)遞減；單調(diào)遞增；無最小值.設(shè)單調(diào)遞減；無最小值.當(dāng)時(shí)，恒成立或成立；當(dāng)時(shí)，成立；或無解；所以.故選：BD.5．（2023·安徽馬鞍山·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的可能的值為（

）A． B． C． D．【答案】AD【詳解】，故恒成立，轉(zhuǎn)化成恒成立，記，則在單調(diào)遞增，故由得，故恒成立，記，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最大值，故由恒成立，即,故，故選：AD6．（2023·海南·模擬預(yù)測）若時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的值可以為（

）（附：）A． B． C． D．【答案】BD【詳解】由題意知：當(dāng)時(shí)，恒成立；令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，在上單調(diào)遞增，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.，，，.故選：BD.三、填空題7．（2023上·河北保定·高三定州市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，若對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【詳解】易知，由可得，即，則有，設(shè)，易知在上單調(diào)遞增，故，所以，即，設(shè)，令，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則有，解之得．故答案為：.8．（2023·河南洛陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【詳解】，則，則時(shí)，，單調(diào)遞增.時(shí)，恒成立，即恒成立，則在上恒成立，則即在上恒成立，令，，則則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.則當(dāng)時(shí)取得最小值，則則實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：四、問答題9．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．(1)當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(2)若對(duì)一切，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則．記，則．令，得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，，，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立．①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)．②當(dāng)時(shí)，，即記，，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，所以，綜上可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍為．10．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)若曲線在處的切線方程為，求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)若，對(duì)任意的，且，不等式恒成立，求m的取值范圍．【答案】(1)，；(2).令，則，當(dāng)當(dāng)故函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以；令，可得，故在單調(diào)遞增時(shí)，．所以當(dāng)時(shí)，．故在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，．若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，，