2025版新教材高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章空間向量與立體幾何7.5空間向量及其運(yùn)算學(xué)案新人教A版

7.5空間向量及其運(yùn)算必備學(xué)問(wèn)預(yù)案自診學(xué)問(wèn)梳理1.空間向量及其有關(guān)概念概念語(yǔ)言描述共線(xiàn)向量(平行向量)表示若干空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)

共面對(duì)量平行于的向量

共線(xiàn)向量定理對(duì)隨意兩個(gè)空間向量a,b(b≠0),a∥b的充要條件是

共面對(duì)量定理假如兩個(gè)向量a,b不共線(xiàn),則向量p與向量a,b共面的充要條件是

空間向量基本定理定理:假如三個(gè)向量a,b,c不共面,那么對(duì)隨意一個(gè)空間向量p,存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z),使得p=xa+yb+zc2.空間向量的數(shù)量積及空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)兩個(gè)非零向量的數(shù)量積:①a·b=|a||b|cos<a,b>,特殊地,零向量與隨意向量的數(shù)量積為0;②若a與b都是非零向量,則a⊥b?a·b=0;③設(shè)a=(a1,a2,a3),則|a|2=a·a,|a|=a·(2)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算:a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)向量和a+b=

向量差a-b=

數(shù)乘λa=,λ∈R

數(shù)量積a·b=

共線(xiàn)當(dāng)b≠0時(shí),a∥b?a=λb?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)垂直a⊥b?a·b=0?(a,b均為非零向量)

夾角公式cos<a,b>=a3.直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量(1)直線(xiàn)的方向向量:O是直線(xiàn)l上一點(diǎn),在直線(xiàn)l上取非零向量a,則對(duì)于直線(xiàn)l上隨意一點(diǎn)P,由數(shù)乘向量的定義及向量共線(xiàn)的充要條件可知,存在實(shí)數(shù)λ,使得OP=λa.把與向量a平行的非零向量稱(chēng)為直線(xiàn)l的方向向量.(2)平面的法向量:直線(xiàn)l⊥α平面,取直線(xiàn)l的方向向量a,稱(chēng)向量a為平面α的法向量.(3)方向向量和法向量均不為零向量且不唯一.4.空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線(xiàn)l1,l2的方向向量分別為u1,u2l1∥l2u1∥u2??λ∈R,使得u1=λu2l1⊥l2u1⊥u2?u1·u2=0直線(xiàn)l的方向向量為u,平面α的法向量為nl∥α(l?α)u⊥n?u·n=0l⊥αu∥n??λ∈R,使得u=λnn1,n2分別是平面α,β的法向量α∥βn1∥n2??λ∈R,使得n1=λn2α⊥βn1⊥n2?n1·n2=01.證明空間隨意三點(diǎn)共線(xiàn)的方法對(duì)空間三點(diǎn)P,A,B可通過(guò)證明下列結(jié)論成立來(lái)證明三點(diǎn)共線(xiàn):(1)PA=λPB(λ∈R);(2)對(duì)空間隨意一點(diǎn)O,OP=OA+tAB(t∈(3)對(duì)空間隨意一點(diǎn)O,OP=xOA+yOB(x+y=1).2.證明空間四點(diǎn)共面的方法已知空間隨意一點(diǎn)O和不共線(xiàn)的三點(diǎn)A,B,C,若滿(mǎn)意向量關(guān)系式OP=xOA+yOB+zOC(其中x+y+z=1),則點(diǎn)P與點(diǎn)A,B,C共面.3.確定平面的法向量的方法(1)干脆法:視察是否有垂直于平面的向量,若有,則此向量就是法向量.(2)待定系數(shù)法:取平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量a,b,設(shè)平面的法向量為n=(x,y,z),由n·a考點(diǎn)自診1.推斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)若A,B,C,D是空間隨意四點(diǎn),則有AB+BC+CD+DA=(2)|a|-|b|=|a+b|是a,b共線(xiàn)的充要條件.()(3)空間中隨意兩非零向量a,b共面.()(4)對(duì)于空間非零向量a,b,若a·b<0,則a與b的夾角為鈍角.()(5)對(duì)于非零向量b,由a·b=b·c,得a=c.()2.(2024北京朝陽(yáng)檢測(cè))已知平面α的一個(gè)法向量為(1,2,-2),平面β的一個(gè)法向量為(-2,-4,k),若α∥β,則k等于()A.2 B.-4 C.4 D.-23.在如圖所示的坐標(biāo)系中,ABCD-A1B1C1D1為棱長(zhǎng)是1的正方體,給出下列結(jié)論:①直線(xiàn)DD1的一個(gè)方向向量為(0,0,1);②直線(xiàn)BC1的一個(gè)方向向量為(0,1,1);③平面ABB1A1的一個(gè)法向量為(0,1,0);④平面B1CD的一個(gè)法向量為(1,1,1).其中正確的個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.44.(2024山東煙臺(tái)月考)若直線(xiàn)l的方向向量為a=(1,0,2),平面α的法向量為n=(-2,0,-4),則直線(xiàn)l與平面α的位置關(guān)系為.

5.正四面體A-BCD的棱長(zhǎng)為2,E,F分別為BC,AD的中點(diǎn),則EF的長(zhǎng)為.

關(guān)鍵實(shí)力學(xué)案突破考點(diǎn)空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算【例1】(1)如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,M為A1C1與B1D1的交點(diǎn).若AB=a,AD=b,AA1=c,則下列向量中與BM相等的是(A.-12a+12b+c B.12C.-12a-12b+c D.12(2)已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)E為上底面A1B1C1D1的中心,若AE=AA1+xAB+yAD,則x,yA.1,1 B.1,12 C.12,1解題心得進(jìn)行向量的線(xiàn)性運(yùn)算,有以下幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)結(jié)合圖形,明確圖形中各線(xiàn)段的幾何關(guān)系.(2)正確運(yùn)用向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.(3)平面對(duì)量的三角形法則、平行四邊形法則在空間中仍舊成立.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,設(shè)AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分別是AA1,BC,C1D1的中點(diǎn),試用a,b,c表示以下各向量:(1)AP;(2)A1考點(diǎn)共線(xiàn)、共面對(duì)量定理的應(yīng)用【例2】(1)已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,則λ與μ的值可以是()A.2,12 B.-13,12 C.(2)如圖所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,點(diǎn)M,N分別在A(yíng)C1和BC上,且滿(mǎn)意AM=kAC1,BN=kBC(0≤k≤1).推斷向量MN解題心得共線(xiàn)、共面對(duì)量定理的類(lèi)比三點(diǎn)P,A,B共線(xiàn)空間四點(diǎn)M,P,A,B共面PA=λPBMP=xMA+yMB對(duì)空間任一點(diǎn)O,OP=OA對(duì)空間任一點(diǎn)O,OP=OM+xMA對(duì)空間任一點(diǎn)O,OP=xOA+(1-x)OB對(duì)空間任一點(diǎn)O,OP=xOM+yOA+(1-x-y)OB對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)若A(-1,2,3),B(2,1,4),C(m,n,1)三點(diǎn)共線(xiàn),則m+n=.

(2)已知向量a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若向量a,b,c共面,則實(shí)數(shù)λ等于.

考點(diǎn)空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【例3】如圖所示,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1,且兩兩夾角為60°.(1)求AC1的長(zhǎng);(2)求證:AC1⊥BD;(3)求BD1與AC夾角的余弦值.解題心得空間向量數(shù)量積的應(yīng)用(1)求夾角.設(shè)向量a,b所成的角為θ,則cosθ=a·b|(2)求長(zhǎng)度(距離).運(yùn)用公式|a|2=a·a,可使線(xiàn)段長(zhǎng)度的計(jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題.(3)解決垂直問(wèn)題.利用a⊥b?a·b=0(a≠0,b≠0),可將垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計(jì)算問(wèn)題.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,P,Q分別是棱A1D1,AB,BC的中點(diǎn),若經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,P,Q的平面與平面CDD1C1的交線(xiàn)為l,則直線(xiàn)l與直線(xiàn)QB1所成角的余弦值為()A.33 B.105 C.54(2)已知空間向量a=(1,-λ,λ-1),b=(-λ,1-λ,λ-1)的夾角為鈍角,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是.

考點(diǎn)利用空間向量證明平行、垂直【例4】如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,∠ABC=∠BCD=90°,AB=4,CD=1,點(diǎn)M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD所成的角為30°.求證:(1)CM∥平面PAD;(2)平面PAB⊥平面PAD.解題心得1.用向量證明平行的方法(1)線(xiàn)線(xiàn)平行:證明兩直線(xiàn)的方向向量共線(xiàn).(2)線(xiàn)面平行:①證明直線(xiàn)的方向向量與平面的某一法向量垂直;②證明直線(xiàn)的方向向量與平面內(nèi)某直線(xiàn)的方向向量平行.(3)面面平行:①證明兩平面的法向量為共線(xiàn)向量;②轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面平行、線(xiàn)線(xiàn)平行問(wèn)題.2.用向量證明垂直的方法(1)線(xiàn)線(xiàn)垂直:證明兩直線(xiàn)的方向向量相互垂直,即證它們的數(shù)量積為零.(2)線(xiàn)面垂直:證明直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量共線(xiàn).(3)面面垂直:證明兩個(gè)平面的法向量垂直.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4如圖所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1C1C和側(cè)面AA1B1B都是正方形且相互垂直,M為AA1的中點(diǎn),N為BC1的中點(diǎn).求證:(1)MN∥平面A1B1C1;(2)平面MBC1⊥平面BB1C1C.7.5空間向量及其運(yùn)算必備學(xué)問(wèn)·預(yù)案自診學(xué)問(wèn)梳理1.相互平行或重合同一個(gè)平面存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使a=λb存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使p=xa+yb2.(2)(a1+b1,a2+b2,a3+b3)(a1-b1,a2-b2,a3-b3)(λa1,λa2,λa3)a1b1+a2b2+a3b3a1b1+a2b2+a3b3=0考點(diǎn)自診1.(1)√(2)×(3)√(4)×(5)×2.C因?yàn)棣痢桅?所以1-2=2-3.C因?yàn)镈D1∥AA1,AA1=(0,0,1),故①因?yàn)锽C1∥AD1,AD1=(0,1,1),故②因?yàn)橹本€(xiàn)AD⊥平面ABB1A1,AD=(0,1,0).故③正確;因?yàn)辄c(diǎn)C1的坐標(biāo)為(1,1,1),AC1與平面B1CD不垂直,故④4.l⊥α因?yàn)閍=-12n,所以l⊥α5.2|EF|2=EF2=(EC+CD+DF)2=EC2+CD2+DF2+2(EC·CD+EC·DF+CD·DF)=12+22所以|EF|=2,所以EF的長(zhǎng)為2.關(guān)鍵實(shí)力·學(xué)案突破例1(1)A(2)C(1)BM=BB1+B1M=AA1+12(AD-(2)AE=AA1+A1E=AA1+1對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1解(1)∵P是C1D1的中點(diǎn),∴AP=AA1+A1D1+D1P=(2)∵N是BC的中點(diǎn),∴A1N=A1A+AB+BN=-a+b+(3)∵M(jìn)是AA1的中點(diǎn),∴MP=MA+AP=12A1A+AP=-1又NC1∴MP+NC1=12a+12b+c+a+12c=32a+1例2(1)A∵a∥b,∴b=ka(k∈R),即(6,2μ-1,2λ)=k(λ+1,0,2),∴6=解得λ=2,μ(2)解∵AM=kAC1,∴MN=MA+AB+BN=kC1A+AB+kBC=k(C1A+BC)+AB=k(C1A+B∴由共面對(duì)量定理知向量MN與向量AB,A對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)-3(2)657(1)∵AB=(3,-1,1),AC=(m+1,n-2,-2),且A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn),∴存在實(shí)數(shù)λ,使得AC=λAB.即(m+1,n-2,-2)=λ(3,-1,1)=(3λ,-λ,λ),∴解得λ=-2,(2)由題意,可設(shè)a=xb+yc,故(2,-1,3)=x(-1,4,-2)+y(7,5,λ),即-x+7y=2,例3(1)解設(shè)AB=a,AD=b,AA1=c,則|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>=60所以a·b=b·c=c·a=12.因?yàn)锳C1=AB+BC+CC1=AB+AD+AA1=a+b+c,所以|AC1|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(所以|AC1|=6,即AC1的長(zhǎng)為(2)證明BD=AD-AB=b-a,又由(1)知所以AC1·BD=(a+b+c)·(b-a)=a·b+b2+b·c-a2-a·b-a·c=12+1+12-1-12-12=(3)解BD1=BC+CC1+C1D1=b+c-a,AC=AB+AD=a+b,所以|BD1|=2,|AC|=3.BD1·AC=所以BD1與AC夾角的余弦值為66對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3(1)B(2)2-22,2+22(1)取C1D1的中點(diǎn)E,則平面PQEM是經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,P,Q的平面,延長(zhǎng)PQ,交DC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,則EF是經(jīng)過(guò)點(diǎn)M,P,Q的平面與平面以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1所在直線(xiàn)分別為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則E0,12,1,F0,32,0,Q12,1,0,B1(1,1,1),EF=(0,1,-1),QB1=12,0,1,設(shè)直線(xiàn)l與直線(xiàn)QB1所成角為θ,則cosθ=|EF·QB1||EF||QB(2)∵a與b的夾角為鈍角,∴a·b<0,且a與b不反向共線(xiàn).由a·b=-λ-λ(1-λ)+(λ-1)2<0,化為2λ2-4λ+1<0,解得2-22<λ<2+22,若a與b反向共線(xiàn),則存在負(fù)實(shí)數(shù)k,使得a=kb,得到1=-λk,-例4證明以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以CB,CD,CP所在的直線(xiàn)為x軸,y軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz.∵PC⊥平面ABCD,∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角.∴∠PBC=30°.∵PC=2,∴BC=23,PB=4.∴D(0,1,0),B(23,0,0),A(23,4,0),P(0,0,2),M32,0,32,∴DP=(0,-1,2),DA(1)設(shè)n=(x,y,z)為平面PAD的一個(gè)法向量,由DP令y=2,得n=(-3,2,1).∵n·CM=-3×32+2×0+1×32=0,∴n⊥CM.又CM?平面PAD,∴CM(2)如圖,取AP的中點(diǎn)E,連接BE,則E(3,2,1),BE=(-3,2,1).∵PB=AB,∴BE⊥PA.又BE·DA=(-3,2,1)·(23,3,0)∴BE⊥DA,即BE⊥又PA∩DA=A,∴BE⊥平面PAD.又BE?平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4證明由題意知AA1,AB,AC兩兩垂直,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)正方形AA1C1C的邊長(zhǎng)為2,則A(0,0,0),A1(2,0,0),B(0,2,0),B1(2,2,0),C(0,0,2),C1(2,0