清單35-兩個計數(shù)原理、排列與組合(原卷版)-2022年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識方法清單與跟蹤訓(xùn)練

清單35兩個計數(shù)原理、排列組合一、知識與方法清單1．分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．【對點訓(xùn)練1】定義“規(guī)范01數(shù)列”{an}如下：{an}共有2m項，其中m項為0，m項為1，且對任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的個數(shù)不少于1的個數(shù)．若m＝4，則不同的“規(guī)范01數(shù)列”共有()A．18個 B．16個C．14個 D．12個2．分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．【對點訓(xùn)練2】如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為()A．24B．18C．12D．93．分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理的區(qū)別兩個原理的區(qū)別在于一個與分類有關(guān)，一個與分步有關(guān).如果完成一件事有n類辦法，這n類辦法彼此之間是相互獨立的，無論哪一類辦法中的哪一種方法都能單獨完成這件事，求完成這件事的方法種數(shù)，就用分類加法計數(shù)原理；如果完成一件事需要分成n個步驟，缺一不可，即需要依次完成n個步驟，才能完成這件事，而完成每一個步驟各有若干種不同的方法，求完成這件事的方法種數(shù)，就用分步乘法計數(shù)原理.【對點訓(xùn)練3】(1)如果一條直線與一個平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“正交線面對”．在一個正方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“正交線面對”的個數(shù)是()A．48 B．18C．24 D．36(2)如果一條直線與一個平面平行，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個“平行線面組”．在一個長方體中，由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構(gòu)成的“平行線面組”的個數(shù)是()A．60 B．48C．36 D．244.分類標(biāo)準(zhǔn)是運用分類加法計數(shù)原理的難點所在，應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵詞，關(guān)鍵元素，關(guān)鍵位置．(1)根據(jù)題目特點恰當(dāng)選擇一個分類標(biāo)準(zhǔn)．(2)分類時應(yīng)注意完成這件事情的任何一種方法必須屬于某一類，并且分別屬于不同種類的兩種方法是不同的方法，不能重復(fù)．(3)分類時除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏．【對點訓(xùn)練4】從3名骨科，4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是__________(用數(shù)字作答).5.利用分步乘法計數(shù)原理解決問題要按事件發(fā)生的過程合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個步驟是相互依存的，只有各個步驟都完成了，才算完成這件事．分步必須滿足兩個條件：一是步驟互相獨立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成．【對點訓(xùn)練5】給一個各邊不等的凸五邊形的各邊染色，每條邊可以染紅、黃、藍三種顏色中的一種，但是不允許相鄰的邊有相同的顏色，則不同的染色方法共有多少種？6.利用兩個計數(shù)原理解決應(yīng)用問題的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么．(2)確定是先分類后分步，還是先分步后分類．(3)弄清分步、分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么．(4)利用兩個計數(shù)原理求解．【對點訓(xùn)練6】某小區(qū)一號樓共有7層，每層只有1家住戶，已知任意相鄰兩層數(shù)的住戶在同一天至多一家有快遞，且任意相鄰三層樓的住戶在同一天至少一家有快遞，則在同一天這7家住戶有無快遞的可能情況共有________種．7．排列與組合的概念名稱定義排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列組合合成一組【對點訓(xùn)練7】(1)若從6位志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項不同工作中的一種，現(xiàn)已確定這6人中的甲必須選上且專門從事翻譯工作，則不同的選派方案有()(2)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組，則不同的選法共有()A.60種B.70種C.75種D.150種8.排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用Aeq\o\al(m,n)表示．(2)組合數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用Ceq\o\al(m,n)表示．【對點訓(xùn)練8】寒假里5名同學(xué)結(jié)伴乘動車外出旅游，實名制購票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五個座位(一排共五個座位)，上車后五人在這五個座位上隨意坐，則恰有一人坐對與自己車票相符座位的坐法有______種．(用數(shù)字作答)9．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝＝性質(zhì)(3)0?。?；Aeq\o\al(n,n)＝n！(4)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)【對點訓(xùn)練9】Aeq\o\al(3,2n)＝10Aeq\o\al(3,n)，n＝()A.1 B.8 C.9 D.1010.應(yīng)用排列、組合數(shù)公式解此類方程時，應(yīng)注意驗證所得結(jié)果能使各式有意義.應(yīng)用組合數(shù)性質(zhì)Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m－1,n)＋Ceq\o\al(m,n)時，應(yīng)注意其結(jié)構(gòu)特征：右邊下標(biāo)相同，上標(biāo)相差1；左邊(相對于右邊)下標(biāo)加1，上標(biāo)取大.使用該公式，像拉手風(fēng)琴，既可從左拉到右，越拉越長，又可以從右推到左，越推越短.【對點訓(xùn)練10】(1)解方程：3Aeq\o\al(3,x)＝2Aeq\o\al(2,x＋1)＋6Aeq\o\al(2,x)；(2)計算：Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋…＋Ceq\o\al(2,100).11.排列應(yīng)用問題的分類與解法排列、組合之間的主要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問題，需要考慮順序的是排列問題，排列是在組合的基礎(chǔ)上對入選的元素進行全排列，因此，分析解決排列的基本思路是“先選，后排”.【對點訓(xùn)練11】有A，B，C，D，E五位學(xué)生參加網(wǎng)頁設(shè)計比賽，決出了第一到第五的名次．A，B兩位學(xué)生去問成績，老師對A說：你的名次不知道，但肯定沒得第一名；又對B說：你是第三名．請你分析一下，這五位學(xué)生的名次排列的種數(shù)為()A．6 B．18C．20 D．2412.限制元素(位置)優(yōu)先法：①元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素，再考慮其他元素；②位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置，再考慮其他位置.【對點訓(xùn)練12】六個人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有()A．192種 B．216種C．240種 D．288種13.正難則反排異法：有些問題，正面考慮情況復(fù)雜，可以反面入手把不符合條件的所有情況從總體中去掉.【對點訓(xùn)練13】從3名骨科，4名腦外科和5名內(nèi)科醫(yī)生中選派5人組成一個抗震救災(zāi)醫(yī)療小組，則骨科、腦外科和內(nèi)科醫(yī)生都至少有1人的選派方法種數(shù)是__________(用數(shù)字作答).14.復(fù)雜問題分類分步法：某些問題總體不好解決時，常常分成若干類，再由分類加法計數(shù)原理解決或分成若干步，再由分步乘法計數(shù)原理解決.在解題過程中，常常既要分類，也要分步，其原則是先分類，再分步.【對點訓(xùn)練14】設(shè)A是集合的子集，只含有3個元素，且不含相鄰的整數(shù)，則這種子集A的個數(shù)為（）A．32 B．56 C．72 D．8415.相離問題插空法：某些元素不能相鄰或要在某特殊位置時可采用插空法，即先安排好沒有限制條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間.【對點訓(xùn)練15】（2022屆廣東省珠海市高三上學(xué)期10月月考）五名同學(xué)國慶假期相約去珠海野貍島日月貝采風(fēng)觀景，結(jié)束后五名同學(xué)排成一排照相留念，若甲?乙二人不相鄰，則不同的排法共有（）A．36種 B．48種 C．72種 D．120種16.相鄰問題捆綁法：把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”作全排列，最后再“松綁”——將“捆綁”元素在這些位置上作全排列.【對點訓(xùn)練16】（2022屆河北省唐縣高三上學(xué)期9月月考）7個人站成一排準(zhǔn)備照一張合影，其中甲、乙要求相鄰，丙、丁要求分開，則不同的排法有（）A．400種 B．720種 C．960種 D．1200種17.定序問題用除法：對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進行排列，然后用總的排列數(shù)除以這幾個元素的全排列數(shù)，也可看作組合問題.【對點訓(xùn)練17】（2022屆廣東省深圳市高三上學(xué)期月考）某次演出有5個節(jié)目，若甲、乙、丙3個節(jié)目間的先后順序已確定，則不同的排法有（）A．120種 B．80種 C．20種 D．48種18.相同元素隔板法：隔板模型是解決排列組合問題的一種基本方法，常常用于解決一類相同元素分給不同對象的分配問題，運用隔板法必須同時具備以下三個條件：①所有元素必須相同；②所有元素必須分完；③每組至少有一個元素.【對點訓(xùn)練18】(1)將10個完全相同的球放到3個不同的盒子中，要求每個盒子至少放一個球，一共有多少種方法？(2)將10個優(yōu)秀的指標(biāo)分配給3個班級，每班至少一個，則共有多少種分配方法？(3)求方程的正整數(shù)解的個數(shù).19.“至少”或“至多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解．用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時，考慮逆向思維，用間接法處理．【對點訓(xùn)練19】（2021屆福建省福州高三上學(xué)期質(zhì)量檢測）某市近幾年大力改善城市環(huán)境，全面實現(xiàn)創(chuàng)建生態(tài)園林城市計劃，現(xiàn)省專家組評審該市是否達到“生態(tài)園林城市”的標(biāo)準(zhǔn)，從包含甲、乙兩位專家在內(nèi)的8人中選出4人組成評審委員會，若甲、乙兩位專家至少一人被邀請，則組成該評審委員會的不同方式共有（）A．70種 B．55種 C．40種 D．25種20.分組、分配問題的求解策略①對不同元素的分配問題a．對于整體均分，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以Aeq\o\al(n,n)(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計數(shù)．b．對于部分均分，解題時注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以m！，分組過程中有幾個這樣的均勻分組，就要除以幾個這樣的全排列數(shù)．c．對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)．②對于相同元素的“分配”問題，常用方法是采用“隔板法”．【對點訓(xùn)練20】（2022屆貴州省貴陽第一中學(xué)高三上學(xué)期月考）2021年暑假，貴陽一中繼續(xù)組織學(xué)生開展“百行體驗”社會實踐活動.現(xiàn)高三年級某班有6名學(xué)生需要去敬老院?社區(qū)醫(yī)院?兒童福利院三個機構(gòu)開展活動，要求每個機構(gòu)去2名學(xué)生，且學(xué)生甲不去敬老院，則不同的安排共有（）A．60種 B．360種 C．15種 D．100種二、跟蹤檢測一、單選題1．（2022屆四川省巴中市高三上學(xué)期“零診”）接種疫苗是預(yù)防控制新冠疫情最有效的方法.我國自年月日起實施全民免費接種新冠疫苗工作，截止到年月底，國家已推出了三種新冠疫苗（腺病毒載體疫苗?新冠病毒滅活疫苗?重組新型冠病毒疫苗）供接種者選擇，每位接種者仼選其中一種.若甲?乙?丙?丁人去接種新冠疫苗，則恰有兩人接種同一種疫苗的概率為（）A． B． C． D．2．（2022屆山東省濟南市高三上學(xué)期開學(xué)考試）某校甲、乙、丙、丁四位同學(xué)報名參加A，B，C三所高校的強基計劃考試，每所高校報名人數(shù)不限，因為三所高校的考試時間相同，所以甲、乙、丙、丁只能隨機各自報考其中一所高校，則恰有兩人報考同一所高校的報名種數(shù)為（）A． B． C． D．3．（2022屆浙江省五校高三上學(xué)期聯(lián)考）有10臺不同的電視機，其中甲型3臺，乙型3臺，丙型4臺．現(xiàn)從中任意取出3臺，若其中至少含有兩種不同的型號，則不同的取法共有（）A．96種 B．108種 C．114種 D．118種4．（2022屆廣東省廣州市高三上學(xué)期10月調(diào)研）把標(biāo)號為1，2，3，4的四個小球分別放入標(biāo)號為1，2，3，4的四個盒子，每個盒子只放一個小球，則1號球和2號球都不放入1號盒子的方法共有（）A．18種 B．12種 C．9種 D．6種5．（廣東省花都區(qū)2022屆高三上學(xué)期8月調(diào)研）現(xiàn)將張連號的門票按需求分配給個家庭，甲家庭需要張連號的門票，乙家庭需要張連號的門票，剩余的張隨機分給剩余的個家庭，則這張門票不同的分配方法的種數(shù)為（）A． B． C． D．6．（2022屆寧夏銀川一中高三上學(xué)期月考）有12名同學(xué)合影，站成了前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師要從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對順序不變，則不同調(diào)整方法的種數(shù)是（）A．168 B．260 C．840 D．5607．（2022屆江蘇省南通市高三上學(xué)期9月質(zhì)量監(jiān)測）某親子欄目中，節(jié)目組給6位小朋友布置一項搜尋空投食物的任務(wù)．已知：①食物投擲點有遠(yuǎn)、近兩處；②由于小朋友甲年紀(jì)尚小，所以要么不參與該項任務(wù)，要么參與搜尋近處投擲點的食物，但不參與時另需1位小朋友在大本營陪同；③所有參與搜尋任務(wù)的小朋友被均勻分成兩組，一組去遠(yuǎn)處，一組去近處．那么不同的搜尋方案有（）A．10種 B．40種 C．70種 D．80種8．《數(shù)術(shù)記遺》是東漢時期徐岳編撰的一本數(shù)學(xué)專著，該書介紹了我國古代14種算法，其中積算（即籌算）?太乙算?兩儀算?三才算?五行算?八卦算?九宮算?運籌算?了知算?成數(shù)算?把頭算?龜算?珠算13種均需要計算器械.某研究性學(xué)習(xí)小組3人分工搜集整理這13種計算器械的相關(guān)資料，其中一人搜集5種，另兩人每人搜集4種，則不同的分配方法種數(shù)為（）A． B． C． D．9．（2022屆廣東省廣州市高三上學(xué)期綜合測試）通常，我國民用汽車號牌的編號由兩部分組成：第一部分為漢字表示的省、自治區(qū)、直轄市簡稱和用英文字母表示的發(fā)牌機關(guān)代號，笫二部分為由阿拉伯?dāng)?shù)字與英文字母組成的序號．其中序號的編碼規(guī)則為：①由0，1，2，…，9這10個阿拉伯?dāng)?shù)字與除，之外的24個英文字母組成；②最多只能有2個位置是英文字母，如：粵，則采用5位序號編碼的粵牌照最多能發(fā)放的汽車號牌數(shù)為（）A．586萬張 B．682萬張 C．696萬張 D．706萬張10．重慶11中本學(xué)期接收了5名西藏學(xué)生，學(xué)校準(zhǔn)備把他們分配到A，B，C三個班級，每個班級至少分配1人，則其中學(xué)生甲不分配到A班的分配方案種數(shù)是（）A．720 B．100 C．150 D．34511．（2022屆湖南省岳陽市高三上學(xué)期入學(xué)考試）如圖，在某城市中，?兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，其中???是道路網(wǎng)中位于一條對角線上的個交匯處.今在道路網(wǎng)?處的甲?乙兩人分別要到?處，他們分別隨機地選擇一條沿街的最短路徑，以相同的速度同時出發(fā)，直到到達?處為止.則下列說法正確的是（）A．甲從到達處的方法有種B．甲從必須經(jīng)過到達處的方法有種C．甲?乙兩人在處相遇的概率為D．甲?乙兩人相遇的概率為12．（2021屆山東省高考考前熱身押題卷）為迎接第24屆冬季奧林匹克運動會，某校安排甲?乙?丙?丁?戊共五名學(xué)生擔(dān)任冰球?冰壺和短道速滑三個項目的志愿者，每個比賽項目至少安排1人.則學(xué)生甲不會被安排到冰球比賽項目做志愿者的概率為（）A． B． C． D．二、多選題13．（2021屆遼寧省實驗中學(xué)高三考前模擬）一個布袋內(nèi)裝除顏色外完全相同的4個紅球和3個藍球.現(xiàn)從袋中摸出4個球，則（）A．摸出4個紅球的概率是B．摸出3個紅球和1個藍球的概率是C．摸出2個紅球和2個藍球的概率是D．摸出1個紅球和3個藍球的概率是14．把座位號為1、2、3、4、5的五張電影票全部分給甲、乙、丙三個人，每人至少一張，且分給同一人的多張票必須連號，那么不同的分法種數(shù)為種，則的值不可能為（）.A．18 B．24 C．36 D．4815．（2021屆廣東省梅州市高三下學(xué)期3月質(zhì)檢）某校實行選課走班制度，張毅同學(xué)選擇的是地理、生物、政治這三科，且生物在B層，該校周一上午選課走班的課程安排如下表所示，張毅選擇三個科目的課各上一節(jié)，另外一節(jié)上自習(xí)，則下列說法正確的是（）第1節(jié)第2節(jié)第3節(jié)第4節(jié)地理1班化學(xué)A層3班地理2班化學(xué)A層4班生物A層1班化學(xué)B層2班生物B層2班歷史B層1班物理A層1班生物A層3班物理A層2班生物A層4班物理B層2班生物B層1班物理B層1班物理A層4班政治1班物理A層3班政治2班政治3班A．此人有4種選課方式 B．此人有5種選課方式C．自習(xí)不可能安排在第2節(jié) D．自習(xí)可安排在4節(jié)課中的任一節(jié)16．2020年3月，為促進疫情后復(fù)工復(fù)產(chǎn)期間安全生產(chǎn)，濱州市某醫(yī)院派出甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生到，，三家企業(yè)開展“新冠肺炎”防護排查工作，每名醫(yī)生只能到一家企業(yè)工作，則下列結(jié)論正確的是（）A．若企業(yè)最多派1名醫(yī)生，則所有不同分派方案共48種B．若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，則所有不同分派方案共36種C．若每家企業(yè)至少分派1名醫(yī)生，且醫(yī)生甲必須到企業(yè)，則所有不同分派方案共12種D．所有不同分派方案共種三、填空題17．（2022屆云南省師范大學(xué)附屬中學(xué)高三月考）洛書，古稱龜書，是陰陽五行術(shù)數(shù)之源，在古代傳說中有神龜出于洛水，其甲殼上心有此圖象如圖，結(jié)構(gòu)是戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足，以五居中，五方白圈皆陽數(shù)，四角黑點為陰數(shù)（圖中白圈為陽數(shù)，黑點為陰數(shù)）.現(xiàn)利用陰數(shù)和陽數(shù)構(gòu)成一個四位數(shù)，規(guī)則如下：（從左往右數(shù)）第一位數(shù)是陽數(shù)，第二位數(shù)是陰數(shù)，第三位數(shù)和第四位數(shù)一陰一陽和為7，則這樣的四位數(shù)有___________個18．（2022屆江蘇省常州市高三上學(xué)期10月學(xué)情檢測）為調(diào)查新冠疫苗的接種情況，需從名志愿者中選取人到個社區(qū)進行走訪調(diào)查，每個