2024-2025學(xué)年陜西科技大學(xué)附中九年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年陜西科技大學(xué)附中九年級(jí)（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列關(guān)于x的方程中，一定是一元二次方程的是(

)A.x2+3x?5=0 B.x22.已知菱形的兩條對(duì)角線長分別是4和6，則菱形的面積為(

)A.48 B.24 C.12 D.93.如圖，菱形的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E是CD的中點(diǎn)，且OE=3，則CD的長是(

)A.3

B.4

C.5

D.64.下列命題中正確的是(

)A.對(duì)角線相等的四邊形是矩形

B.對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形

C.有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形

D.一組對(duì)邊相等，另一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形5.根據(jù)表格對(duì)應(yīng)值：判斷關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0的一個(gè)解x的范圍是x1.11.21.31.4a?3.59?2.16?0.710.76A.1.1<x<1.2 B.1.2<x<1.3 C.1.3<x<1.4 D.無法判定6.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交BC邊于點(diǎn)E，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，連接OF，若AB=OB=1，則FO的長度為(

)A.32 B.C.12 D.7.一個(gè)等腰三角形的兩條邊長分別是方程x2?6x+8=0的兩根．則該等腰三角形的周長是(

)A.2 B.8 C.10 D.10或88.如圖，在正方形ABCD中，E是對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，以DE為邊作正方形DEFG，M是CD的中點(diǎn)，連接GM，若正方形ABCD的邊長為8，則GM的最小值為(

)A.4

B.23

C.2二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。9.方程x(x?2)+3(x?2)=1化成一般形式是______．10.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是AC上一點(diǎn)，連接DE并延長到點(diǎn)F，使得EF=DE，連接BF，則∠CBF的度數(shù)為______．11.關(guān)于x的一元二次方程x2+4x?3a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是______．12.若x1，x2是方程x2+x?2=0的兩根，則(13.如圖，在正方形ABCD中，AB=2，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別為邊BC、CD上的動(dòng)點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，且BE=CF，連接OE、OF、EF，則線段EF的最小值為______．

三、解答題：本題共13小題，共81分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。14.（4分）解方程：x(x+2)=3x+2．15.（5分）如圖，在平行四邊形ABCD中，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，以AC為對(duì)角線求作一個(gè)菱形AECF，點(diǎn)E在AD上，點(diǎn)F在BC上.(保留作圖痕跡，不寫作法)16.（5分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(2m?3)x+m2=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根α，β，且滿足α+β=αβ17.（5分）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在BC、CD邊上，∠AEB=∠AFD，求證：BE=DF．18.（5分）【閱讀材料】老師的問題：

已知：如圖，AE/?/BF．

求作：菱形ABCD，使點(diǎn)C，D分別在BF，AE上．

小明的作法：

(1)以A為圓心，AB長為半徑畫弧，交AE于點(diǎn)D；

(2)以B為圓心，AB長為半徑畫弧，交BF于點(diǎn)C；

(3)連接CD．

四邊形ABCD就是所求作的菱形．

【解答問題】

請(qǐng)根據(jù)材料中的信息，證明四邊形ABCD是菱形．19.（6分）已知：如圖，四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連接EF、FG、GH，HE，得到四邊形EFGH(即四邊形ABCD的中點(diǎn)四邊形)．

(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；

(2)當(dāng)四邊形ABCD的對(duì)角線滿足______條件時(shí)，四邊B形EFGH是矩形？并說明理由．20.（6分）已知?ABCD的兩邊AB，AD的長是關(guān)于x的方程2x2?2mx+m?12=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．

(1)當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形ABCD是菱形？

(2)若AB=221.（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+6x+3?3k2=0.若方程的一個(gè)根是322.（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程kx2?(2k+1)x+k+2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則k23.（7分）如圖，將平行四邊形ABCD的邊DC延長到點(diǎn)E，使CE=DC，連接AE，交BC于點(diǎn)F，連接AC，BE，若∠AFC=2∠D.求證：四邊形ABEC是矩形．24.（7分）如圖，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向終點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向終點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng).如果P，Q分別從A，B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(0<t<3)

(1)當(dāng)t為何值時(shí)，PQ的長度等于5cm？

(2)連接PC，是否存在t的值，使得△PQC的面積等于8cm2？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．25.（7分）有兩個(gè)全等的三角形紙片△ABC和△DEF，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F，將△ABC和△DEF按如圖所示方式擺放，斜邊AC和DF的中點(diǎn)重合(標(biāo)記為點(diǎn)O)，DE交AB于點(diǎn)G.當(dāng)DF/?/AB時(shí)，試判斷四邊形AGDO的形狀，并說明理由．26.（12分）定義：如圖1對(duì)于一個(gè)四邊形，我們把依次連結(jié)它的各邊中點(diǎn)得到的新四邊形叫做原四邊形的“中點(diǎn)四邊形”，如果原四邊形的中點(diǎn)四邊形是個(gè)正方形，我們把這個(gè)原四邊形叫做“中方四邊形”．

問題解決：如圖2，以銳角△ABC的兩邊AB，AC為邊長，分別向外側(cè)作正方形ABDE和正方形ACFG，連結(jié)BE，EG，GC．

(1)連結(jié)EC，BG，問EC，BG的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是什么？請(qǐng)說明理由．

(2)四邊形BCGE______“中方四邊形”(此空填“是”或“不是”)

拓展應(yīng)用：如圖3，已知四邊形ABCD是“中方四邊形”，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)．

(3)試探索BD與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

參考答案1.C

2.C

3.D

4.C

5.C

6.D

7.C

8.C

9.x210.45°

11.a>?412.0

13.214.解：∵x(x+2)=3x+2，

∴x2?x?2=0，

∴(x?2)(x+1)=0，

∴x?2=0或x?3=+1，

解得x115.解：①分別以A、C為圓心，大于12AC長度為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)M、N，

②連接MN，分別與AD、AC、BC，交于點(diǎn)E、O、F，

③連接CE、AF；

如圖，

根據(jù)作圖可知：EF是AC的垂直平分線，

∴OA=OC，AE=CE，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD//BC，

∴∠OEA=∠OFC，∠OAE=∠OCF，

∴△OAE≌△OCF(AAS)，

∴AE=CF，

∵AE/?/CF，

∴四邊形AECF是平行四邊形，

又∵AE=CE，

∴四邊形AECF是菱形，

∴菱形AECF即為所求．16.解：∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

∴Δ=(2m?3)2?4m2>0，

解得：m<34，

依題意得：α+β=3?2m，αβ=m2，

∵α+β=αβ，

∴3?2m=m2，即m2+2m?3=017.證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD，∠B=∠D，

在△ABE與△ADF中，

∠B=∠D∠AEB=∠AFDAB=AD，

∴△ABE≌△ADF(AAS)，

∴BE=DF18.證明：由作圖可知AD=AB=BC，

∵AE//BF，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AB=AD，

∴四邊形ABCD是菱形．

19.(1)證明：如圖，連接BD．

∵E、H分別是AB、AD中點(diǎn)，

∴EH//BD，EH=12BD，

同理FG//BD，F(xiàn)G=12BD，

∴EH//FG，EH=FG，

∴四邊形EFGH是平行四邊形；

(2)互相垂直

理由如下：

如圖，連接AC，

∵E、F、G、H分別為四邊形ABCD四條邊上的中點(diǎn)，

∴EH//BD，HG//AC，

∵AC⊥BD，

∴EH⊥HG，

又∵四邊形EFGH是平行四邊形，

∴平行四邊形EFGH20.解：(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，

所以AB=AD，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

則Δ=(?2m)2?4×2×(m?12)=0，

解得m=1．

(2)∵AB=2，

∴8?4m+m?12=0，

解得m=52，

因此，原方程為2x221.解：設(shè)方程的另一個(gè)根為t，

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，3+t=?6，3t=3?3k2，

解得t=?9，k=±10，

即k的值為±22.解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx2?(2k+1)x+k+2=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

∴k≠0△=[?(2k+1)]2?4k(k+2)≥0，

解得：k≤14且k≠0．

23.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AB/?/CD，∠ABC=∠D，

∵CE=CD，

∴AB=CE，

∴四邊形ABEC是平行四邊形，

∴BC=2BF，AE=2AF，

∵∠AFC=∠ABC+∠BAE=2∠D，

∴∠ABC=∠BAE，

∴AF=BF24.解：(1)在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向終點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向終點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0<t<3)，

∴BQ=2t?cm，AP=t?cm，

∴PB=AB?AP=(5?t)cm，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，

在Rt△PBQ中，由勾股定理得PQ2=PB2+BQ2，

∴(5?t)2+(2t)2=52，

解得t1=0(舍去)，t2=2，

∴當(dāng)t=2時(shí)，PQ的長度等于5cm；

(2)由題意得：CQ=BC?BQ=(6?2t)cm，

∵△PQC的面積等于8cm2，

25.解：四邊形AGDO是菱形，理由如下：

∵∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F，

∴∠A=∠D，

∵DF//AB，

∴∠BGD=∠D，

∴∠BGD=∠A，

∴DG//AO，

∴四邊形AGDO是平行四邊形，

∵△ABC≌△DEF，

∴AC=DF，

又∵點(diǎn)O是斜邊AC和DF的中點(diǎn)，

∴AO=12AC=12DF=DO，26.(1)結(jié)論：CE=BG，CE⊥BG．

理由：如圖2中，連接CE交AB于P，連接BG交CE于K，

∵四邊形ABDE和四邊形ACFG都是正方形，

∴AE=AB，AG=AC，∠EAB=∠GAC=90°，

∴∠EAC=∠BAG，

∴△EAC≌△BAG(SAS)，

∴CE=BG，∠AEC=∠ABG，

∵∠EAB=90°，

∴∠AEP+∠APE=90°．

又∵∠AEC=∠ABG，∠APE=∠BPK，

∴∠ABG+∠BPK=90°，

∴∠BKP=90°，

∴EC⊥BG；

(2)是“中方四邊形“．

理由：如圖2，設(shè)四邊形BCGE的邊BC、CG、GE、BE的中點(diǎn)分別為M、N、R、L，

∵四邊形BCGE各邊中點(diǎn)分別為M、N、R、L，

∴MN、NR，RL，LM分別是△BCG、△CEG、△BGE、△CEB的中位線，

∴MN//BG，MN=12BG，RL//BG，RL=12BG，RN//CE，RN=12CE，ML//CE，ML=12CE，

∴MN//RL，MN=RL，RN//CE//ML，RN=ML，

∴四邊形MNRL