人教版2024高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用(四十五)

單選題1、在復(fù)平面內(nèi)，把復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)，所得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是

A．B．C．D．答案：B分析：由題意知復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)，需要把已知向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)乘以復(fù)數(shù)的沿順時針旋轉(zhuǎn)后的復(fù)數(shù)，相乘得到結(jié)果．解：由題意知復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量按順時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)后的向量為．故選：B．2、在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則等于（

）A．B．C．D．答案：B分析：直接利用余弦定理計算可得.解：因?yàn)椋裕蔬x：B3、某人先向東走3km，位移記為，接著再向北走3km，位移記為，則表示（

）A．向東南走B．向東北走C．向東南走D．向東北走答案：B分析：由向量的加法進(jìn)行求解.由題意和向量的加法，得表示先向東走3km，再向北走3km，即向東北走.故選：B.4、在中，，若，則的大小是（

）A．B．C．D．答案：C分析：由正弦定理邊角互化，以及結(jié)合余弦定理，即可判斷的形狀，即可判斷選項(xiàng).因?yàn)?，所以，由余弦定理可知，即，得，所以是等邊三角形?故選：C5、某地為響應(yīng)習(xí)近平總書記關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)的號召，大力開展“青山綠水”工程，造福于民，擬對該地某湖泊進(jìn)行治理，在治理前，需測量該湖泊的相關(guān)數(shù)據(jù).如圖所示，測得角∠A＝23°，∠C＝120°，米，則A，B間的直線距離約為（參考數(shù)據(jù)）（

）A．60米B．120米C．150米D．300米答案：C分析：應(yīng)用正弦定理有，結(jié)合已知條件即可求A，B間的直線距離.由題設(shè)，，在△中，，即，所以米.故選：C6、銳角中，角、、所對的邊分別為、、，若、，，，且，則的面積為（

）A．B．C．D．答案：D分析：先由向量垂直得到，利用余弦定理求出或，利用銳角三角形排除，從而，利用面積公式求出答案.由題意得：，故，因?yàn)?，所以，由余弦定理得：，解得：或，?dāng)時，最大值為B，其中，故為鈍角，不合題意，舍去；當(dāng)時，最大值為B，其中，故B為銳角，符合題意，此時.故選：D7、已知邊長為1的正方形，設(shè)，，，則（

）A．1B．2C．3D．4答案：B分析：根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，結(jié)合正方形的性質(zhì)可得答案.因?yàn)槭沁呴L為1的正方形，，所以又，所以故選：B8、勾股定理被稱為幾何學(xué)的基石，相傳在商代由商高發(fā)現(xiàn)，又稱商高定理．漢代數(shù)學(xué)家趙爽利用弦圖（又稱趙爽弦圖，它由四個全等的直角三角形和一個小正方形組成，如圖1），證明了商高結(jié)論的正確性．現(xiàn)將弦圖中的四條股延長相同的長度（如將延長至）得到圖2．在圖2中，若，，、兩點(diǎn)間的距離為，則弦圖中小正方形的邊長為（

）A．B．C．D．答案：C分析：利用余弦定理可求得的值，可求得、、的長，進(jìn)而可得出弦圖中小正方形的邊長.由條件可得，在中，由余弦定理得，所以，，所以，，，，所以弦圖中小正方形的邊長為．故選：C.多選題9、已知向量，，且，是與同向的單位向量，則（

）A．B．C．D．答案：ACD分析：對于選項(xiàng)A，根據(jù)，求出的值，進(jìn)行判斷；對于選項(xiàng)B，由的值可得的坐標(biāo)；對于選項(xiàng)C，由，坐標(biāo)，可得的坐標(biāo)，進(jìn)而計算的模；對于選項(xiàng)D，由的坐標(biāo)，根據(jù)公式計算與其同向單位向量的坐標(biāo)判斷正誤.對于選項(xiàng)A，根據(jù)，求出的值，故A正確；對于選項(xiàng)B，由，得，故B錯誤；對于選項(xiàng)C，，，可得，所以，故C正確；對于選項(xiàng)D，因?yàn)閱挝幌蛄颗c同向，所以，，故D正確.故選：ACD.10、下列命題正確的是（

）A．若向量、滿足，則或B．若向量，的夾角為鈍角，則C．已知，，則向量在向量方向上的投影向量的長度為4D．設(shè)，是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，若，，則，可作為該平面的一個基底答案：BCD分析：當(dāng)都不為零向量滿足時，，判斷A;根據(jù)數(shù)量積的定義可判斷B;計算出量在向量方向上的投影向量的長度即可判斷C；根據(jù)，不共線可推出，不共線，即可判斷D.對于A，當(dāng)都不為零向量且滿足時，，故A錯誤；對于B，因?yàn)?/p>

，當(dāng)向量，的夾角為鈍角時，，故，故B正確；對于C，，，則向量在向量方向上的投影向量的長度為

，故C正確；對于D，由于，不共線，故，不共線，故，可作為該平面的一個基底，D正確；故選：BCD11、（多選題）已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（m＋1，m－2），若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m可以是（

）A．－2B．C．1D．－1答案：ABD分析：先求與，使之共線并求出的值，則A，B，C三點(diǎn)不共線即可構(gòu)成三角形，因此取共線之外的值即可．因?yàn)?，．假設(shè)A，B，C三點(diǎn)共線，則1×（m＋1）－2m＝0，即m＝1．所以只要m≠1，則A，B，C三點(diǎn)即可構(gòu)成三角形.故選：ABD．12、已知△ABC中，角A、B、C所對的邊分別是a、b、c且a＝6，4sinB＝5sinC，有以下四個命題中正確命題有

（

）A．△ABC的面積的最大值為40B．滿足條件的△ABC不可能是直角三角形C．當(dāng)A＝2C時，△ABC的周長為15D．當(dāng)A＝2C時，若O為△ABC的內(nèi)心，則△AOB的面積為答案：ACD分析：對于A，運(yùn)用圓的方程和三角形的面積公式，即可得到所求最大值；對于B，考慮勾股定理的逆定理，即可判斷；對于C，運(yùn)用正弦定理可得4b＝5c，運(yùn)用三角函數(shù)的恒等變換，即可得到所求周長；對于D，運(yùn)用正弦定理和三角函數(shù)的恒等變換、三角形的面積公式和等積法，即可得到所求面積.以BC的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，可得B（﹣3，0），C（3，0），4sinB＝5sinC，可得4b＝5c，設(shè)A（m，n），可得4＝5，平方可得16（m2+n2﹣6m+9）＝25（m2+n2+6m+9），即有m2+n2+m+9＝0，化為（m+）2+n2＝（）2，則A的軌跡為以（﹣，0），半徑為的圓，可得△ABC的面積的最大值為×6×＝40，故A對；a＝6，4sinB＝5sinC即4b＝5c，設(shè)b＝5t，c＝4t，由36+16t2＝25t2，可得t＝，滿足條件的△ABC可能是直角三角形，故B錯誤；a＝6，4sinB＝5sinC，A＝2C，可得B＝π﹣3C，由正弦定理可得4b＝5c，可得b＝，由＝，可得＝＝，由sinC≠0，可得：4cos2C﹣1＝，解得：cosC＝，或﹣（舍去），sinC＝＝，可得sinA＝2sinCcosC＝2××＝，＝，可得：c＝4，b＝5，則a+b+c＝15，故C對；a＝6，4sinB＝5sinC，A＝2C，可得B＝π﹣3C，由正弦定理可得4b＝5c，可得b＝，由＝，可得＝＝，由sinC≠0，可得：4cos2C﹣1＝，解得：cosC＝，或﹣（舍去），sinC＝＝，可得：sinA＝2sinCcosC＝2××＝，＝，可得：c＝4，b＝5，S△ABC＝bcsinA＝×5×4×＝.設(shè)△ABC的內(nèi)切圓半徑為R，則R＝＝＝，S△ABO＝cR＝×4×＝.故D對.故選：ACD.小提示：本題考查三角形的正弦定理和面積公式的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的恒等變換，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于難題.填空題13、設(shè)兩個向量和＝，其中為實(shí)數(shù).若，則的取值范圍是________.答案：分析：由可得，且，整理得，結(jié)合三角函數(shù)和二次函數(shù)性質(zhì)求出范圍，即可得范圍，同時將代換成關(guān)于表達(dá)式，即可求解.∵2＝，，∴，且，∴，即，又∵，，∴，∴－2≤4m2－9m＋4≤2，解得≤m≤2，∴，又∵λ＝2m－2，∴，∴，∴的取值范圍是.所以答案是：.14、已知在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，D是BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為______．答案：分析：利用正弦定理將邊化角，即可得到，再結(jié)合得到，最后借助基本不等式即可求解．解：因?yàn)?，由正弦定理可得所以，化簡得，即，因?yàn)?，所以所以，又，，由余弦定理知，即，又，化簡得，，又，?dāng)且僅當(dāng)時取等號，故，即．所以答案是：．15、已知、、表示共面的三個單位向量，，那么的取值范圍是__________．答案：分析：計