2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第6章平面向量及其應(yīng)用6.1平面向量的概念課時(shí)分層作業(yè)含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE課時(shí)分層作業(yè)(一)平面對(duì)量的概念(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．下列說法不正確的是()A．向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)B．任何一個(gè)非零向量都可以平行移動(dòng)C．長度不相等而方向相反的兩個(gè)向量肯定是共線向量D．兩個(gè)有共同起點(diǎn)且共線的向量終點(diǎn)也必相同D[依據(jù)向量的有關(guān)概念易推斷，D項(xiàng)錯(cuò)誤．]2．下面幾個(gè)命題：①若a＝b，則|a|＝|b|；②若|a|＝0，則a＝0；③若|a|＝|b|，則a＝b；④若向量a，b滿意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a|＝|b|；,a∥b，))則a＝b.其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3B[①正確．②錯(cuò)誤．|a|＝0，則a＝0.③錯(cuò)誤．a(chǎn)與b的方向不肯定相同．④錯(cuò)誤．a(chǎn)與b的方向有可能相反．]3．在同一平面內(nèi)，把全部長度為1的向量的始點(diǎn)固定在同一點(diǎn)，這些向量的終點(diǎn)形成的軌跡是()A．單位圓 B．一段弧C．線段 D．直線A[平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是圓．]4.如圖是3×4的格點(diǎn)圖(每個(gè)小方格都是單位正方形)，若起點(diǎn)和終點(diǎn)都在方格的頂點(diǎn)處，則與eq\o(AB,\s\up7(→))平行且模為eq\r(,2)的向量共有()A．12個(gè) B．18個(gè)C．24個(gè) D．36個(gè)C[每個(gè)正方形的邊長為1，則對(duì)角線長為eq\r(,2)，每個(gè)小正方形中存在兩個(gè)與eq\o(AB,\s\up7(→))平行且模為eq\r(,2)的向量，一共有12個(gè)正方形，故共有24個(gè)所求向量．]5.如圖所示，在正三角形ABC中，P，Q，R分別是AB，BC，AC的中點(diǎn)，則與向量eq\o(PQ,\s\up7(→))相等的向量是()A．eq\o(PR,\s\up7(→))與eq\o(QR,\s\up7(→))B．eq\o(AR,\s\up7(→))與eq\o(RC,\s\up7(→))C．eq\o(RA,\s\up7(→))與eq\o(CR,\s\up7(→))D．eq\o(PA,\s\up7(→))與eq\o(QR,\s\up7(→))B[向量相等要求模相等，方向相同，因此eq\o(AR,\s\up7(→))與eq\o(RC,\s\up7(→))都是和eq\o(PQ,\s\up7(→))相等的向量．]二、填空題6．已知D為平行四邊形ABPC兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，則eq\f(|\o(PD,\s\up7(→))|,|\o(AD,\s\up7(→))|)的值為________．1[因?yàn)樗倪呅蜛BPC是平行四邊形，D為對(duì)角線BC與AP的交點(diǎn)，所以D為PA的中點(diǎn)，所以eq\f(|\o(PD,\s\up7(→))|,|\o(AD,\s\up7(→))|)的值為1.]7．將向量用具有同一起點(diǎn)M的有向線段表示，當(dāng)eq\o(ME,\s\up7(→))與eq\o(EF,\s\up7(→))是平行向量，且|eq\o(ME,\s\up7(→))|＝2|eq\o(EF,\s\up7(→))|＝2時(shí)，|eq\o(MF,\s\up7(→))|＝________.3或1[當(dāng)eq\o(ME,\s\up7(→))與eq\o(EF,\s\up7(→))同向時(shí)，|eq\o(MF,\s\up7(→))|＝|eq\o(ME,\s\up7(→))|＋|eq\o(EF,\s\up7(→))|＝3；當(dāng)eq\o(ME,\s\up7(→))與eq\o(EF,\s\up7(→))反向時(shí)，|eq\o(MF,\s\up7(→))|＝|eq\o(ME,\s\up7(→))|－|eq\o(EF,\s\up7(→))|＝1.]8．若a為任一非零向量，b為模為1的向量，下列各式：①|(zhì)a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝±1.其中正確的是________(填序號(hào))．③[①錯(cuò)誤，|a|＝eq\f(1,2)時(shí)，|a|＜|b|；②錯(cuò)誤，a與b的方向關(guān)系無法確定；③正確；④錯(cuò)誤，|b|＝1.]三、解答題9.O是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，四邊形OAED，OCFB都是正方形，在如圖所示的向量中：(1)分別找出與eq\o(AO,\s\up7(→))，eq\o(BO,\s\up7(→))相等的向量；(2)找出與eq\o(AO,\s\up7(→))共線的向量；(3)找出與eq\o(AO,\s\up7(→))模相等的向量；(4)向量eq\o(AO,\s\up7(→))與eq\o(CO,\s\up7(→))是否相等？[解](1)eq\o(AO,\s\up7(→))＝eq\o(BF,\s\up7(→))，eq\o(BO,\s\up7(→))＝eq\o(AE,\s\up7(→)).(2)與eq\o(AO,\s\up7(→))共線的向量有：eq\o(BF,\s\up7(→))，eq\o(CO,\s\up7(→))，eq\o(DE,\s\up7(→)).(3)與eq\o(AO,\s\up7(→))模相等的向量有：eq\o(CO,\s\up7(→))，eq\o(DO,\s\up7(→))，eq\o(BO,\s\up7(→))，eq\o(BF,\s\up7(→))，eq\o(CF,\s\up7(→))，eq\o(AE,\s\up7(→))，eq\o(DE,\s\up7(→)).(4)向量eq\o(AO,\s\up7(→))與eq\o(CO,\s\up7(→))不相等，因?yàn)樗鼈兊姆较虿幌嗤?0．已知飛機(jī)從A地按北偏東30°方向飛行2000km到達(dá)B地，再從B地按南偏東30°方向飛行2000km到達(dá)C地，再從C地按西南方向飛行1000eq\r(2)km到達(dá)D地．畫圖表示向量eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(BC,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))，并指出向量eq\o(AD,\s\up7(→))的模和方向．[解]以A為原點(diǎn)，正東方向?yàn)閤軸正方向，正北方向?yàn)閥軸正方向建立直角坐標(biāo)系．據(jù)題設(shè)，B點(diǎn)在第一象限，C點(diǎn)在x軸正半軸上，D點(diǎn)在第四象限，向量eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(BC,\s\up7(→))，eq\o(CD,\s\up7(→))如圖所示，由已知可得，△ABC為正三角形，所以AC＝2000km.又∠ACD＝45°，CD＝1000eq\所以△ADC為等腰直角三角形，所以AD＝1000eq\r(2)km，故向量eq\o(AD,\s\up7(→))的模為1000eq\r(2)km，方向?yàn)闁|南方向.11．(多選題)已知A＝{與a共線的向量}，B＝{與a長度相等的向量}，C＝{與a長度相等，方向相反的向量}，其中a為非零向量，下列關(guān)系中正確的是()A．C?A B．A∩B＝{a}C．C?B D．(A∩B)?{a}ACD[因?yàn)锳∩B中包含與a長度相等且方向相反的向量，所以B中的關(guān)系錯(cuò)誤．]12．(多選題)四邊形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE與CG相交于點(diǎn)M，則下列關(guān)系肯定成立的是()A．|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(EF,\s\up7(→))|B．eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(FH,\s\up7(→))共線C．eq\o(BD,\s\up7(→))與eq\o(EH,\s\up7(→))共線D．eq\o(DC,\s\up7(→))與eq\o(EC,\s\up7(→))共線ABD[∵三個(gè)四邊形都是菱形，∴|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(EF,\s\up7(→))|，AB∥CD∥FH，故eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(FH,\s\up7(→))共線．又三點(diǎn)D，C，E共線，∴eq\o(DC,\s\up7(→))與eq\o(EC,\s\up7(→))共線，故A，B，D都正確．故選ABD．]13.如圖所示，已知四邊形ABCD是矩形，O為對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)集M＝{O，A，B，C，D}，向量的集合T＝{eq\o(PQ,\s\up7(→))|P，Q∈M，且P，Q不重合}，則集合T有________個(gè)元素．12[依據(jù)題意知，由點(diǎn)O，A，B，C，D可以構(gòu)成20個(gè)向量．但它們有12個(gè)向量各不相等，由元素的互異性知T中有12個(gè)元素．]14．(一題兩空)如圖，四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形．(1)與向量eq\o(ED,\s\up7(→))相等的向量有________；(2)若|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝3，則|eq\o(EC,\s\up7(→))|＝________.(1)eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(DC,\s\up7(→))(2)6[(1)依據(jù)向量相等的定義以及四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形，可知與向量eq\o(ED,\s\up7(→))相等的向量有eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(DC,\s\up7(→)).(2)因?yàn)閨eq\o(AB,\s\up7(→))|＝3，|eq\o(EC,\s\up7(→))|＝2|eq\o(AB,\s\up7(→))|，所以|eq\o(EC,\s\up7(→))|＝6.]15．在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，AB的中點(diǎn)，如圖所示．(1)寫出與向量eq\o(FC,\s\up7(→))共線的向量；(2)求證：eq\o(BE,\s\up7(→))＝eq\o(FD,\s\up7(→)).[解]