3.2.1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（七大題型）（原卷版）

3.2.1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）能從幾何情境中認(rèn)識(shí)雙曲線的幾何特征，說(shuō)出雙曲線的定義，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)．（2）能類(lèi)比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過(guò)程，推導(dǎo)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能用于解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題，進(jìn)一步體會(huì)建立曲線的方程的方法，發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．（1）了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程.（2）掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法.（3）能利用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)01雙曲線的定義在平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（大于0且）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)、叫雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作雙曲線的焦距．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?、雙曲線的定義中，常數(shù)應(yīng)當(dāng)滿足的約束條件：，這可以借助于三角形中邊的相關(guān)性質(zhì)“兩邊之差小于第三邊”來(lái)理解；2、若去掉定義中的“絕對(duì)值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；若（），則動(dòng)點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支；3、若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線（包括端點(diǎn)）；4、若常數(shù)滿足約束條件：，則動(dòng)點(diǎn)軌跡不存在；5、若常數(shù)，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段F1F2的垂直平分線．【即學(xué)即練1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（

）A．射線 B．直線C．橢圓 D．雙曲線的一支知識(shí)點(diǎn)02雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：如何建立雙曲線的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：（1）建系設(shè)點(diǎn)；（2）點(diǎn)的集合；（3）代數(shù)方程；（4）化簡(jiǎn)方程等步驟．（1）建系設(shè)點(diǎn)取過(guò)焦點(diǎn)、的直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸（2）建立直角坐標(biāo)系．設(shè)為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距是（），那么F1、F2的坐標(biāo)分別是、．又設(shè)點(diǎn)M與、的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)．（2）點(diǎn)的集合由定義可知，雙曲線就是集合：．（3）代數(shù)方程∵，∴（4）化簡(jiǎn)方程將這個(gè)方程移項(xiàng)，兩邊平方得：化簡(jiǎn)得：兩邊再平方，整理得：（以上推導(dǎo)完全可以仿照橢圓方程的推導(dǎo)．）由雙曲線定義，即c＞a，所以．設(shè)，代入上式得：即，其中這就是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：1、當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；2、當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中橢圓、雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系：橢圓雙曲線根據(jù)根據(jù)，，，（a＞b＞0），（a＞0，b＞0，a不一定大于b）（a最大）（c最大）標(biāo)準(zhǔn)方程統(tǒng)一為：方程（A、B、C均不為零）表示雙曲線的條件方程可化為，即，所以只有A、B異號(hào)，方程表示雙曲線．當(dāng)，時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)，時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)?、當(dāng)且僅當(dāng)雙曲線的對(duì)稱中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，雙曲線的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程形式．此時(shí)，雙曲線的焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上．2、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b、c三個(gè)量的大小與坐標(biāo)系無(wú)關(guān)，是由雙曲線本身所確定的，分別表示雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)和半焦距長(zhǎng)，均為正數(shù)，且三個(gè)量的大小關(guān)系為：，，且．3、雙曲線的焦點(diǎn)總在實(shí)軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點(diǎn)位置的方法是：看、的系數(shù)，如果項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在x軸上；如果項(xiàng)的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在y軸上．4、對(duì)于雙曲線，不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過(guò)比較分母的大小來(lái)判定焦點(diǎn)在哪一條坐標(biāo)軸上．【即學(xué)即練2】（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）若雙曲線與雙曲線有相同的焦距，且過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C．或 D．或知識(shí)點(diǎn)03求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程①待定系數(shù)法：由題目條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定方程的類(lèi)型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)、、的值．其主要步驟是“先定型，再定量”；②定義法：由題目條件判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程．知識(shí)點(diǎn)詮釋?zhuān)喝舳x中“差的絕對(duì)值”中的絕對(duì)值去掉，點(diǎn)的集合成為雙曲線的一支，先確定方程類(lèi)型，再確定參數(shù)a、b，即先定型，再定量．若兩種類(lèi)型都有可能，則需分類(lèi)討論．【即學(xué)即練3】（2023·廣東東莞·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線，四點(diǎn)、、、中恰有三點(diǎn)在上，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．題型一：雙曲線的定義【典例11】（2024·高二·江西·期末）已知點(diǎn)P是雙曲線：上一點(diǎn)，分別為C的左、右焦點(diǎn)，若，則（

）A．5 B．13 C．5或9 D．5或6【典例12】（2024·高二·河南洛陽(yáng)·階段練習(xí)）已知，是平面內(nèi)兩個(gè)不同的定點(diǎn)，則“為定值”是“動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式11】（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（

）A．射線 B．直線C．橢圓 D．雙曲線的一支【變式12】（2024·高二·全國(guó)·單元測(cè)試）已知，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）A．雙曲線 B．雙曲線左支C．一條射線 D．雙曲線右支【變式13】（2024·高二·江蘇常州·期末）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線上，，則（

）A．13 B．10 C．1 D．13或1【變式14】（2024·高二·北京·期末）已知AB是平面內(nèi)兩點(diǎn)，且，判斷當(dāng)P點(diǎn)滿足下列哪個(gè)條件時(shí)其軌跡不存在（

）A． B．C． D．題型二：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程【典例21】（2024·全國(guó)·三模）若雙曲線與雙曲線有相同的焦距，且過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C．或 D．或【典例22】（2024·高二·上?！るS堂練習(xí)）以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是．【變式21】（2024·高三·廣東·階段練習(xí)）已知雙曲線，四點(diǎn)、、、中恰有三點(diǎn)在上，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【變式22】（2024·高二·北京延慶·期末）雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是，且雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，標(biāo)準(zhǔn)方程為．【變式23】（2024·高二·江蘇泰州·階段練習(xí)）求適合下列條件的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）與雙曲線共焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)；（2）經(jīng)過(guò)點(diǎn)和；【變式24】（2024·高二·浙江寧波·期中）在下列條件下求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程．(1)與雙曲線有相同的漸近線，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(2)焦點(diǎn)在軸上，雙曲線上點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．題型三：雙曲線方程的充要條件【典例31】（2024·高二·陜西寶雞·期末）若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．或【典例32】（2024·高二·安徽蕪湖·階段練習(xí)）已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式31】（2024·高二·江蘇宿遷·期末）“”是“方程表示雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式32】（2024·高二·河南許昌·期末）若方程表示雙曲線，則的取值范圍是（

）A．或 B．C．或 D．【變式33】（2024·高二·湖南邵陽(yáng)·期末）若方程表示曲線C，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則曲線C為橢圓B．若曲線C為雙曲線，則C．曲線C不可能是圓D．若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則【變式34】（2024·高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若曲線表示雙曲線，則k的取值范圍是（）A． B．C． D．題型四：雙曲線中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積及其他問(wèn)題【典例41】（2024·高二·上?！て谀┰O(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)為、，點(diǎn)是上一點(diǎn)，滿足，則的面積為．【典例42】（2024·高二·上海青浦·階段練習(xí)）雙曲線的左右兩個(gè)焦點(diǎn)為，，第二象限內(nèi)的一點(diǎn)P在雙曲線上，且，則三角形的面積是．【變式41】（2024·高二·山西大同·期末）點(diǎn)，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則的周長(zhǎng)是．【變式42】（2024·高二·遼寧葫蘆島·期中）已知，分別是雙曲線的上、下焦點(diǎn)，過(guò)的直線交的上支于A，B兩點(diǎn)，若的長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的3倍，則的周長(zhǎng)為．【變式43】（2024·高二·湖南·期中）已知雙曲線，，是其兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，若，則的面積為．【變式44】（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）雙曲線C的漸近線方程為，一個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線第一象限內(nèi)的點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)的位置變化時(shí)，周長(zhǎng)的最小值為.【變式45】（2024·高二·江蘇·假期作業(yè)）設(shè)點(diǎn)P在雙曲線上，為雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，且，則的周長(zhǎng)等于，．題型五：雙曲線上兩點(diǎn)距離的最值問(wèn)題【典例51】（2024·青海玉樹(shù)·模擬預(yù)測(cè)）已知，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是C的右支上的一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．16 B．18 C． D．【典例52】（2024·高三·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上任一點(diǎn)，則的最小值為（

）A．19 B．25 C．37 D．85【變式51】（2024·高二·山東濰坊·階段練習(xí)）已知雙曲線：的左焦點(diǎn)為，且是雙曲線上的一點(diǎn)，則的最小值為.【變式52】（2024·高二·江蘇南京·階段練習(xí)）若雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為為雙曲線上一點(diǎn)，若，則的取值為.【變式53】（2024·高二·上?！るA段練習(xí)）設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別是，點(diǎn)是右支上的一點(diǎn)，則的最小值為．題型六：雙曲線上兩線段的和差最值問(wèn)題【典例61】（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)是雙曲線上一點(diǎn)，，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為，最小值為．【典例62】（2024·高二·江西宜春·期末）是雙曲線的右支上一點(diǎn)，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為．【變式61】（2024·高二·湖北·期中）已知雙曲線的方程為，點(diǎn)，是其左右焦點(diǎn)，是圓上的一點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線的右支上，則的最小值是．【變式62】（2024·高二·湖北武漢·期末）已知，是雙曲線的左焦點(diǎn)，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【變式63】（2024·高二·江蘇鹽城·期中）已知點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線左支上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線右焦點(diǎn)，N是圓的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．【變式64】（2024·高二·江蘇宿遷·期中）已知是雙曲線上的點(diǎn)，為雙曲線的右焦點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的最小值是．【變式65】（2024·高三·江西南昌·階段練習(xí)）已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為.【變式66】（2024·高二·遼寧錦州·期末）P為雙曲線右支上一點(diǎn)，M，N分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為.題型七：求軌跡方程【典例71】（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）在中，，的內(nèi)切圓切BC于D點(diǎn)，且，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為．【典例72】（2024·高二·上海楊浦·期中）在中，，，，則頂點(diǎn)的軌跡方程是.【變式71】（2024·高二·河北張家口·階段練習(xí)）已知圓與圓和圓均外切，則點(diǎn)的軌跡方程為.【變式72】（2024·高二·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）已知圓，圓，若動(dòng)圓M與圓均外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為.【變式73】（2024·高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知圓，圓，圓與圓、圓外切，則圓心的軌跡方程為．【變式74】（2024·高二·全國(guó)·課堂例題）如圖所示，已知定圓：，定圓：，動(dòng)圓M與定圓，都外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為.

【變式75】（2024·高二·遼寧撫順·階段練習(xí)）已知點(diǎn)A(0，4)，B(0，－4)，從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)M，N均以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)，M從C運(yùn)動(dòng)到A，N從C運(yùn)動(dòng)到B，且M到達(dá)A的時(shí)間比N到達(dá)B的時(shí)間晚3秒，則C的軌跡方程為.【變式76】（2024·高二·上?！るS堂練習(xí)）已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是．【變式77】（2024·高二·陜西寶雞·期中）已知點(diǎn)，，若動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.【變式78】（2024·高二·上海·課堂例題）已知P為圓C：上任意一點(diǎn)，．若線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的軌跡方程為．【變式79】（2024·高二·上?！るS堂練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為Q，且，則點(diǎn)P的軌跡方程為.1．（2024·高二·云南迪慶·期末）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足條件.則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．2．（2024·高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，M是此雙曲線上的一點(diǎn)，且滿足，，則該雙曲線的方程是（

）A． B． C． D．3．（2024·高二·福建福州·期末）已知分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過(guò)的直線與雙曲線的左支交于兩點(diǎn)，若，則雙曲線的焦距為（

）A． B． C． D．4．（2024·高二·上?！るS堂練習(xí)）定義點(diǎn)M到曲線C上每一點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)M到曲線C的距離，那么平面內(nèi)到定圓A的距離與到定點(diǎn)B的距離相等的點(diǎn)的軌跡不可能是（

）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線一支5．（2024·高二·上海靜安·期末）已知點(diǎn)是雙曲線右支上的一點(diǎn)，點(diǎn)分別是圓和圓上的點(diǎn)．則的最小值為（

）A．3 B．5 C．7 D．96．（2024·高二·云南玉溪·期末）已知圓：和圓：，動(dòng)圓同時(shí)與圓及圓相外切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．7．（2024·高二·新疆克孜勒蘇·期末）以下幾個(gè)命題中，其中真命題的序號(hào)為（

）.①雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)；②在平面內(nèi)，到定點(diǎn)2,1的距離與到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線；③設(shè)為兩個(gè)定點(diǎn)，為非零常數(shù)，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為雙曲線；④過(guò)定圓上一定點(diǎn)作圓的動(dòng)弦為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓.A．① B．①② C．①④ D．③④8．（2024·高二·甘肅白銀·期末）設(shè)雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為,過(guò)的直線分別交雙曲線左右兩支于點(diǎn)，連接,若,則（

）A．1 B． C． D．29．（多選題）（2024·高二·安徽馬鞍山·期末）已知曲線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上B．若，則是圓，其半徑為C．若，則是雙曲線，其漸近線方程為D．若，則是兩條直線10．（多選題）（2024·高二·安徽宿州·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C上任意點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)和點(diǎn)連線的斜率之積等于2，則關(guān)于曲線C的結(jié)論正確的有（

）A．曲線C為雙曲線 B．曲線C是中心對(duì)稱圖形C．曲線C上所有的點(diǎn)都在圓外 D．曲線C是軸對(duì)稱圖形11．（多選題）（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的