專(zhuān)題08角平分線的性質(zhì)和判定-2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重要考點(diǎn)題型(人教版)

專(zhuān)題08角平分線的性質(zhì)和判定【思維導(dǎo)圖】◎題型1：角平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.用符號(hào)語(yǔ)言表示角的平分線的性質(zhì)定理：若CD平分∠ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE＝PF.例．（2022·廣西玉林·八年級(jí)期末）如圖，OP為∠AOB的角平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C，D，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠CPO＝∠DOP B．PC＝PD C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出PC＝PD，再利用HL證明△OCP≌△ODP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠CPO＝∠DPO，OC＝OD．【詳解】解：∵OP為∠AOB的角平分線，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分別是C、D，∴PC＝PD，故B正確；在Rt△OCP與Rt△ODP中，，∴△OCP≌△ODP（HL），∴∠CPO＝∠DPO，OC＝OD，故C、D正確．不能得出∠CPO＝∠DOP，故A錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，得出PC＝PD是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·遼寧遼陽(yáng)·七年級(jí)期末）如圖，中，，平分交于點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，若，，則的面積為（

）A．18 B．24 C．36 D．72【答案】C【解析】【分析】過(guò)D作DF⊥AB于F，由角平分線的性質(zhì)求出DF，根據(jù)三角形的面積公式即可求出ΔBDE的面積．【詳解】解：過(guò)D作DF⊥AB于F，∵∠C=90°，∴DC⊥AC，∵BD平分∠ABC，CD＝6，∴DF＝CD＝6，∵點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，AB=24，∴BE=12，∴ΔBDE的面積＝BE?DF＝×12×6＝36，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．變式2．（2022·廣西北?！ぐ四昙?jí)期末）如圖，平分，垂直于E，，，則的面積為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BA交BA延長(zhǎng)于F，利用角平分線的性質(zhì)求得DF=DE=3，即可用三角形面積公式求解．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BA交BA延長(zhǎng)于F，∵平分，垂直于E，DF⊥BA交BA延長(zhǎng)于F，∴DF=DE=3，∴S△ABD==×6×3=9，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022·陜西榆林·七年級(jí)期末）如圖，BD是△ABC中∠ABC的平分線，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，若DE＝3，AB＝7，BC＝9，求△ABC的面積．【答案】24【解析】【分析】由BD是△ABC中∠ABC的平分線，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，得到DE＝DF＝3，由即可得到答案．【詳解】解：∵BD是△ABC中∠ABC的平分線，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，∴DE＝DF＝3，∵AB＝7，BC＝9，∴＝24，即△ABC的面積是24．【點(diǎn)睛】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．◎題型2：作角平分線（1）以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交OA于D，交OB于E.（2）分別以D、E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C.（3）畫(huà)射線OC.射線OC即為所求.例．（2022·河南洛陽(yáng)·八年級(jí)期末）用直尺和圓規(guī)做的平分線時(shí)，下列哪個(gè)不是正確步驟（）A．在射線、上，分別用圓規(guī)截取、，使B．分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)（大于線段長(zhǎng)的一半）為半徑用圓規(guī)做圓弧，在內(nèi)，兩弧相交于點(diǎn)C．用直尺做直線D．用直尺做射線【答案】C【解析】【分析】根據(jù)作一個(gè)角的平分線的步驟判斷即可．【詳解】解：作∠AOB的平分線的步驟：①在射線、上，分別用圓規(guī)截取、，使．②分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)（大于線段長(zhǎng)的一半）為半徑用圓規(guī)做圓弧，在內(nèi)，兩弧相交于點(diǎn)．③用直尺做射線OC．故選項(xiàng)A，B，D正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查作圖——復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是熟練掌握五種基本作圖，屬于中考?？碱}型．變式1規(guī)在BC邊上找一點(diǎn)D，使AD=BD，下列作法正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)“要在BC邊上找一點(diǎn)D，使AD=BD”知點(diǎn)D應(yīng)該是線段AB垂直平分線與BC的交點(diǎn)，據(jù)此求解即可．【詳解】解：A、由作圖知，AD⊥BC，不能得到AD=BD，故該選項(xiàng)不符合題意；B、由作圖知，AD平分∠BAC，不能得到AD=BD，故該選項(xiàng)不符合題意；C、由作圖知，CA=CD，不能得到AD=BD，故該選項(xiàng)不符合題意；D、由作圖知，點(diǎn)D是線段AB垂直平分線與BC的交點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)知AD=BD，故該選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖—基本作圖，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線的尺規(guī)作圖和性質(zhì)．變式2．（2022·山東聊城·一模）如圖，已知，，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可知∠BCD的度數(shù)為（

）A．26° B．36° C．27° D．22°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡可知：BC平分，結(jié)合，可得，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：由圖中尺規(guī)作圖的痕跡可知：BC平分∴∵∴∴∵∴故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作角平分線以及平行線的性質(zhì)，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，得到BC平分是解題的關(guān)鍵．變式3．（2022·江西省吉安市第二中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在△ABC和△ADE中，AB=AC，DE=DA，D為AB中點(diǎn)，DEAC，請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺按下列要求畫(huà)圖（保留畫(huà)圖痕跡，不寫(xiě)畫(huà)法）．(1)在圖1中，作∠BAC的平分線AM；(2)在圖2中，作AC的中點(diǎn)F．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】【分析】．（1）由題意得，三角形ABC是等腰三角形，D為AB中點(diǎn)，DE∥AC，延長(zhǎng)ED與BC交于點(diǎn)M，連接AM，即為∠BAC的平分線；（2）由（1）可知，BC，AB得中點(diǎn)，連接CD，即可得三角形ABC得重心，點(diǎn)B與重心所在直線交AC與點(diǎn)F，即點(diǎn)F就是AC得中點(diǎn)．(1)解：由題意得，三角形ABC是等腰三角形，D為AB中點(diǎn)，DE∥AC，延長(zhǎng)ED與BC交于點(diǎn)M，連接AM，即為∠BAC的平分線，如圖所示：(2)解：如圖所示：由（1）可知，BC，AB得中點(diǎn)，連接CD，即可得三角形ABC得重心，點(diǎn)B與重心所在直線交AC與點(diǎn)F，即點(diǎn)F就是AC得中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，三角形得角平分線，中點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識(shí)點(diǎn)．◎題型3：角平分線的判定角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.用符號(hào)語(yǔ)言表示角的平分線的判定：若PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，PE＝PF，則PD平分∠ADB例．（2022·福建漳州·八年級(jí)期中）小明同學(xué)只用兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺就可以作出一個(gè)角的平分線．如圖：一把直尺壓住射線，另一把直尺壓住射線并且與第一把直尺交于點(diǎn)，小明說(shuō)：“射線就是的角平分線．”他這樣做的依據(jù)是（

）A．在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上B．角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等C．三角形的三條高交于一點(diǎn)D．三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)【答案】A【解析】【分析】過(guò)兩把直尺的交點(diǎn)P作PF⊥BO與點(diǎn)F，由題意得PE⊥AO，因?yàn)槭莾砂淹耆嗤拈L(zhǎng)方形直尺，可得PE=PF，再根據(jù)角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上可得OP平分∠AOB【詳解】如圖所示：過(guò)兩把直尺的交點(diǎn)P作PF⊥BO與點(diǎn)F，由題意得PE⊥AO，∵兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB（角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上），故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了基本作圖，關(guān)鍵是掌握角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上這一判定定理．變式1．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在鈍角中，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，連接．則下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．平分【答案】D【解析】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知△CAB≌△EAD，∠CAE=70°，結(jié)合∠BAC=35°，可知∠BAE=35°，則可證得△CAB≌△EAB，即可作答．【詳解】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△CAB≌△EAD，∠CAE=70°，∴∠BAE=∠CAE∠CAB=70°35°=35°，AC=AE，AB=AD，BC=DE，∠ABC=∠ADE，故A、B錯(cuò)誤，∴∠CAB=∠EAB，∵AC=AE，AB=AB，∴△CAB≌△EAB，∴△EAB≌△EAD∴∠BEA=∠DEA，∴AE平分∠BED，故D正確，∴AD+BE=AB+BE＞AE=AC，故C錯(cuò)誤，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，求出∠BAE=35°是解答本題的關(guān)鍵．變式2．（2022·安徽安慶·八年級(jí)期末）三角形內(nèi)部到三邊距離相等的點(diǎn)是（

）A．三邊中線的交點(diǎn) B．三邊垂直平分線的交點(diǎn)C．三內(nèi)角平分線的交點(diǎn) D．三邊上高的交點(diǎn)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)角平分線的判定定理可得：到三角形三邊距離相等的點(diǎn)應(yīng)在三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線上，即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，∵OG⊥AB，OF⊥AC，OG＝OF，∴點(diǎn)O在∠A的平分線上，同理可證：點(diǎn)O在∠B的平分線上，點(diǎn)O在∠C的平分線上，即O是三條角平分線的交點(diǎn)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線，角平分線，垂直平分線，高等知識(shí)點(diǎn)，注意：三角形的三個(gè)角的平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到三角形三邊的距離相等．變式3．（2020·江西·新余四中八年級(jí)期中）如圖，BD，CE是△ABC的高，BD，CE相交于點(diǎn)F，BE＝CD．求證：(1)Rt△BCERt△CBD；(2)AF平分∠BAC．【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)詳見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)高的定義求出∠BEC＝∠CDB＝90°，根據(jù)全等三角形的判定定理HL推出即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出CE＝BD，∠BCE＝∠CBD，證得EF＝DF，利用角平分線性質(zhì)逆定理即可得證．(1)證明：∵BD，CE是△ABC的高，∴△BCE和△CBD是直角三角形，在Rt△BCE和Rt△CBD中，，∴Rt△BCERt△CBD（HL）；(2)解：∵Rt△BCERt△CBD，∴CE＝BD，∠BCE＝∠CBD，∴CF＝BF，∴CE﹣CF＝BD﹣BF，∴EF＝DF，又∵EFAB，DFAC，∴點(diǎn)F在∠BAC的平分線上，∴AF平分∠BAC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)的逆定理，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)的逆定理是解題的關(guān)鍵．◎題型4：角平分線的實(shí)際應(yīng)用例．（2021·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)期中）如圖：AB、AC、BC是三條相互交叉的公路，現(xiàn)要在三條公路圍成的三角形區(qū)域內(nèi)修建一座加油站，要求加油站到三條公路的距離相等，則加油站應(yīng)修建在（

）A．△ABC三條角平分線的交點(diǎn)位置 B．△ABC三條高的交點(diǎn)位置C．△ABC三邊的中垂線的交點(diǎn)位置 D．以上說(shuō)法都不正確【答案】A【解析】【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)解答．【詳解】解：∵加油站在三條公路圍成的平地上且到三條公路的距離相等，∴加油站應(yīng)該在△ABC三條角平分線的交點(diǎn)處．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·海南華僑中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AD是角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E，DE=3，△ABC的面積為15，AB＝6，則AC的長(zhǎng)是（）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】D【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE＝DF＝3，根據(jù)三角形ABC的面積為15，求出AC的值即可．【詳解】過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，∴DE＝DF＝3，∴，解得AC＝4．故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．變式2．（2021·廣西玉林·八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BC＝8cm，點(diǎn)D到AB的距離為3cm，則DB的值是（）A．3cm B．8cm C．6cm D．5cm【答案】D【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)D作，交AB于點(diǎn)E；根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得，結(jié)合垂線的性質(zhì)，得，從而完成求解．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)D作，交AB于點(diǎn)E∵∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，∴∵且點(diǎn)D到AB的距離為3cm∴∵BC＝8cm∴故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線、垂線的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的性質(zhì)，從而完成求解．變式3．（2022·安徽蕪湖·八年級(jí)期末）已知：如圖，平分，C，D分別在上，若，求證：．【答案】見(jiàn)解