3.3從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式（六大題型）（原卷版）

3．3從函數觀點看一元二次方程和一元二次不等式課程標準學習目標1、正確理解函數零點的概念．2、理解一元二次方程與二次函數的關系．3、掌握圖象法解一元二次方程．4、能從實際問題中抽象出一元二次不等式并解決．1、數學抽象：函數零點概念的理解．2、直觀想象：掌握圖象法解一元二次方程．3、數學運算：函數零點的計算、掌握圖象法解一元二次不等式．知識點01一元二次不等式的概念一般地，我們把只含有一個末知數，并且末知數的最高次數是2的不等式，稱為一元二次不等式，即形如或（其中a，b，c均為常數，的不等式都是一元二次不等式．【即學即練1】（2023·全國·高一專題練習）給出下列不等式()：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是一元二次不等式的有．(填序號)知識點02二次函數的零點一般地，對于二次函數，我們把使的實數叫做二次函數的零點．【即學即練2】（2023·河南鄭州·高一統考期末）已知二次函數的零點為和1，則關于x的不等式的解集為．知識點03二次函數與一元二次方程、不等式的解的對應關系對于一元二次方程的兩根為且，設，它的解按照，，可分三種情況，相應地，二次函數的圖像與軸的位置關系也分為三種情況．因此我們分三種情況來討論一元二次不等式或的解集．二次函數（）的圖象有兩相異實根有兩相等實根無實根知識點詮釋：（1）一元二次方程的兩根是相應的不等式的解集的端點的取值，是拋物線與軸的交點的橫坐標；（2）表中不等式的二次系數均為正，如果不等式的二次項系數為負，應先利用不等式的性質轉化為二次項系數為正的形式，然后討論解決；（3）解集分三種情況，得到一元二次不等式與的解集．【即學即練3】若一元二次不等式的解集是，則的值是.知識點04利用不等式解決實際問題的一般步驟（1）選取合適的字母表示題中的未知數；（2）由題中給出的不等關系，列出關于未知數的不等式（組）；（3）求解所列出的不等式（組）；（4）結合題目的實際意義確定答案．【即學即練4】（2023·全國·高一專題練習）某地每年銷售木材約萬m3，每立方米的價格為元．為了減少木材消耗，決定按銷售收入的征收木材稅，這樣每年的木材銷售量減少萬m3，為了既減少了木材消耗又保證稅金收入每年不少于萬元，則的取值范圍是．知識點05一元二次不等式恒成立問題（1）轉化為一元二次不等式解集為的情況，即恒成立恒成立（2）分離參數，將恒成立問題轉化為求最值問題．【即學即練5】已知函數．(1)若，試求的最小值；(2)對于任意的，不等式成立，試求的取值范圍．知識點06簡單的分式不等式的解法系數化為正，大于取“兩端”，小于取“中間”【即學即練6】不等式的解集為.題型一：解不含參數的一元二次不等式【典例11】（2024·高一·江西南昌·開學考試）解下列方程和不等式：(1)(2)【典例12】解下列不等式：(1)；(2)；(3)；(4)【方法技巧與總結】解不含參數的一元二次不等式的一般步驟（1）通過對不等式的變形，使不等式右側為0，使二次項系數為正．（2）對不等式左側因式分解，若不易分解，則計算對應方程的判別式．（3）求出相應的一元二次方程的根或根據判別式說明方程有無實根．（4）根據一元二次方程根的情況畫出對應的二次函數的草圖．（5）根據圖象寫出不等式的解集．【變式11】解下列一元二次不等式：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【變式12】（2024·高一·北京石景山·期中）不等式的解集是．【變式13】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）不等式的解集是．【變式14】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）不等式的解集是．題型二：一元二次不等式與根與系數關系的交匯【典例21】（多選題）（2024·高一·江蘇南通·開學考試）已知關于的不等式的解集為，則（

）A．不等式的解集為B．的解集為C．的最小值為D．的最小值為【典例22】（多選題）（2024·高一·全國·課后作業(yè)）（多選）不等式的解集是，對于系數a,b,c，下列結論正確的是（

）A．a>0 B．C． D．【方法技巧與總結】三個“二次”之間的關系（1）三個“二次”中，一元二次函數是主體，討論一元二次函數主要是將問題轉化為一元二次方程和一元二次不等式的形式來研究．（2）討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應的一元二次函數相聯系，通過一元二次函數的圖象及性質來解決問題，關系如下：【變式21】（2024·高一·山西朔州·階段練習）已知不等式的解集為，則下列選項正確的是（

）A． B．C． D．【變式22】（2024·高一·云南曲靖·期中）已知函數，若的解集為，則（

）A． B．C． D．【變式23】（2024·高一·云南昭通·期末）已知不等式的解集為，則實數（

）A．－3 B．3 C．－2 D．2【變式24】（2024·高一·吉林延邊·階段練習）已知不等式的解集為,則下列結論錯誤的是（

）A．B．C．D．的解集為【變式25】（2024·高一·河南濮陽·階段練習）已知關于x的一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A．或 B．或C． D．題型三：含有參數的一元二次不等式的解法【典例31】（2024·高一·江蘇淮安·開學考試）已知不等式的解是或．(1)用字母a表示出b，c；(2)求不等式的解【典例32】（2024·高一·江蘇·開學考試）（1）已知一元二次不等式的解集為-3,2，求實數、的值及不等式的解集．（2）已知，解不等式：．【方法技巧與總結】解含參數的一元二次不等式的一般步驟（1）討論二次項系數：二次項若含有參數應討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉化為二次項系數為正的形式．（2）判斷方程根的個數：討論判別式Δ與0的關系．（3）寫出解集：確定無根時可直接寫出解集；確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關系，從而確定解集形式．【變式31】（2024·高一·江蘇徐州·階段練習）解關于的不等式：．【變式32】（2024·高一·全國·課堂例題）解關于x的不等式：（）；【變式33】（2024·高一·天津·期中）解關于變量的不等式：．【變式34】（2024·高一·全國·專題練習）求不等式的解集．【變式35】（2024·高一·上?！るS堂練習）（1）已知關于x的二次方程無實數解，求實數a的取值范圍；（2）已知，解不等式．【變式36】（2024·高一·上海·課后作業(yè)）解關于的不等式：．【變式37】（2024·高一·安徽·期中）已知，關于的不等式的解集為或．(1)求的值；(2)解關于的不等式．題型四：一次分式不等式的解法【典例41】（2024·高二·陜西寶雞·期中）不等式的解集是.【典例42】（2024·高一·重慶銅梁·開學考試）二次函數的圖象如圖所示，則不等式的解集是.【方法技巧與總結】分式不等式轉化為整式不等式的基本類型有哪些？（1）（2）（3）且（4）且【變式41】（2024·高一·廣東·開學考試）不等式：的解為．【變式42】（2024·高一·上?！るS堂練習）不等式的解集為．【變式43】（2024·高一·上?！るS堂練習）已知不等式的解集為，則，此時不等式的解集為．【變式44】（2024·高一·上?！るS堂練習）不等式的解集為．【變式45】（2024·高一·上?！卧獪y試）分式不等式的解集為．【變式46】（2024·高一·全國·課堂例題）不等式的解集是.題型五：實際問題中的一元二次不等式問題【典例51】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）某文具店購進一批新型臺燈，若按每盞臺燈15元的價格銷售，每天能賣出30盞；若售價每提高1元，日銷售量將減少2盞，現決定提價銷售，為了使這批臺燈每天獲得400元以上（不含400元）的銷售收入.則這批臺燈的銷售單價x（單位：元）的取值范圍是.【典例52】（2024·高一·江蘇鹽城·開學考試）某種汽車在水泥路面上的剎車距離（單位：）和汽車剎車前的車速（單位：）之間有如下關系：，在一次交通事故中，測得這種車的剎車距離不小于，則這輛汽車剎車前的車速至少為．【方法技巧與總結】利用不等式解決實際問題需注意以下四點（1）閱讀理解材料：應用題所用語言多為文字語言，而且不少應用題文字敘述篇幅較長．閱讀理解材料要達到的目的是將實際問題抽象成數學模型，這就要求解題者領悟問題的實際背景，確定問題中量與量之間的關系，初步形成用怎樣的模型能夠解決問題的思路，明確解題方向．（2）建立數學模型：根據（1）中的分析，把實際問題用“符號語言”“圖形語言”抽象成數學模型，并且，建立所得數學模型與已知數學模型的對應關系，以便確立下一步的努力方向．（3）討論不等關系：根據（2）中建立起來的數學模型和題目要求，討論與結論有關的不等關系，得到有關理論參數的值．（4）作出問題結論：根據（3）中得到的理論參數的值，結合題目要求作出問題的結論．【變式51】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）如圖所示，有一塊矩形空地ABCD，要在這塊空地上開辟一個內接四邊形綠地（圖中四邊形EFGH）．使其四個頂點分別落在矩形的四條邊上，已知米，米，且，為使綠地面積不小于空地面積的一半，AE的長的最小值為．【變式52】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）某熱帶風暴中心B位于海港城市A南偏東的方向，與A市相距400km.該熱帶風暴中心B以40km/h的速度向正北方向移動，影響范圍的半徑是350km．問：從此時起，經h后A市將受熱帶風暴影響，大約受影響h.【變式53】（2024·高一·上海奉賢·期中）某服裝公司生產的襯衫每件定價160元，在某城市年銷售10萬件．現該公司計劃在該市招收代理來銷售襯衫，以降低管理和營銷成本．已知代理商要收取的代理費為總銷售金額的（每100元銷售額收取元），且為正整數．為確保單件襯衫的利潤保持不變，服裝公司將每件襯衫價格提高到元，但提價后每年的銷售量會減少萬件．若為了確保代理商每年收取的代理費不少于65萬元，則正整數的取值組成的集合為．【變式54】（2024·高一·四川綿陽·階段練習）某種襯衫進貨價為每件元，若以元一件出售，則每天能賣出件；若每件提價元，則每天賣出件數將減少一件，為使每天出售襯衫的凈收入不低于元，則每件襯衫的售價的取值范圍是．(假設每件襯衫的售價是m)【變式55】（2024·高一·河北石家莊·開學考試）某商店購進一批成本為每件30元的商品，經調查發(fā)現，該商品每天的銷售量（件）與銷售單價（元）之間滿足一次函數關系，其圖象如圖所示．

(1)求該商品每天的銷售量與銷售單價之間的函數關系式；(2)若商店按單價不低于成本價，且不高于50元銷售，則銷售單價定為多少元時利潤最大？最大利潤是多少？(3)若商店要使銷售該商品每天獲得的利潤不低于800元，則每天的銷售量最少應為多少件？【變式56】（2024·高一·江蘇徐州·階段練習）2022年新冠肺炎仍在世界好多國家肆虐，并且出現了傳染性更強的“德爾塔”變異毒株、“拉姆達”變異毒株，盡管我國疫情得到了很好的遏制，但由于整個國際環(huán)境的影響，時而也會出現一些散發(fā)病例，故而抗疫形勢依然嚴峻，日常防護依然不能有絲毫放松．在日常防護中，醫(yī)用防護用品必不可少，某公司一年購買某種醫(yī)用防護用品600噸，每次都購買x噸，運費為6萬元/次，一年的存儲費用為萬元.一年的總費用y（萬元）包含運費與存儲費用.(1)要使總費用不超過公司年預算260萬元，求x的取值范圍.(2)要使總費用最小，求x的值.題型六：不等式的恒成立問題【典例61】（2024·高一·福建福州·階段練習）已知不等式.(1)當時不等式恒成立，求實數m的取值范圍；(2)當時不等式恒成立，求實數m的取值范圍.【典例62】當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.【方法技巧與總結】不等式對一切實數恒成立，即不等式的解集為R，要解決這個問題還需要討論二次項的系數．【變式61】（2024·高一·上?！卧獪y試）已知關于x的不等式對一切實數x恒成立，求實數m的取值范圍．【變式62】（2024·高二·陜西渭南·階段練習）已知.(1)當時，求滿足的值的集合；(2)求滿足的值的集合；(3)當時，恒成立，求滿足條件的的取值范圍.【變式63】（2024·高一·陜西咸陽·階段練習）（1）若對于一切實數，不等式恒成立，求的取值范圍；（2）當時，不等式恒成立，求的取值范圍．【變式64】（2024·高三·四川內江·階段練習）“關于的不等式對恒成立”的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【變式65】（2024·高三·全國·單元測試）若對滿足的任意實數恒成立，則（

）A． B．C． D．1．（2024·高一·北京·開學考試）已知二次函數（為常數），當時，函數值y的最小值為，則m的值是（）A． B．1 C．2或 D．2．（2024·高一·江蘇蘇州·階段練習）不等式的解集為或，則的解集為（

）A． B．C． D．3．（2024·高二·福建福州·期末）設為實數，則關于的不等式的解集不可能是（

）A． B．C． D．4．（2024·高一·山西朔州·階段練習）關于x的一元二次不等式，當時，該不等式的解集為（

）A． B．C． D．5．（2024·高一·天津薊州·階段練習）對于任意實數x，不等式恒成立，則實數a取值范圍為（）A． B． C． D．6．（2024·高一·上?！るS堂練習）若關于的不等式的解集中恰有個正整數，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．7．（2024·高一·上?！るS堂練習）若關于x的不等式組的整數解只有，則的取值范圍為（

）．A． B．C． D．8．（2024·高一·江蘇·開學考試）已知，，若時，關于的不等式恒成立，則的最小值為（

）A． B． C． D．9．（多選題）（2024·高一·江蘇徐州·階段練習）為配制一種藥液，進行了兩次稀釋，先在體積為V的桶中盛滿純藥液，第一次將桶中藥液倒出5升后用水補滿，攪拌均勻，第二次倒出3升后用水補滿，若在第二次稀釋后桶中藥液含量不超過容積的75％，則V的可能取值為（

）．A．4 B．40 C．8 D