專題11 弦圖模型鞏固練習(xí)（基礎(chǔ)）-（解析版）

弦圖模型鞏固練習(xí)1．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b．AB＝c，將Rt△ABC繞點O依次旋轉(zhuǎn)90°、180°和270°，構(gòu)成的圖形如圖所示，該圖是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽制作的“勾股圓方圖”，也被稱作“趙爽弦圖”，它是我國最早對勾股定理證明的記載，也成為了2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)設(shè)計的主要依據(jù)．（1）請你利用這個圖形證明勾股定理．（2）請你利用這個圖形說明a2+b2≥2ab，并說明等號成立的條件．（3）設(shè)a=x，b=y，代入a2+b2≥2根據(jù)你得到的結(jié)論解決下面的問題：長為x，寬為y的矩形，其周長為16，請問當(dāng)x，y取何值時，該矩形面積最大？最大面積是多少？【分析】（1）根據(jù)題意，我們可在圖中找等量關(guān)系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個直角三角形的面積，列出等式化簡即可得出勾股定理的表達(dá)式．（2）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)證明即可．（3）把a、b的值代入a2+b2≥2ab中，進行計算得到a+b≥2ab．利用該結(jié)論求得當(dāng)x，y取何值時，該矩形面積最大以及其最大面積．【解答】解：（1）∵大正方形面積為c2，直角三角形面積為12ab，小正方形面積為：（b﹣a）2∴c2＝4×12ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+即c2＝a2+b2．（2）∵（a﹣b）2≥0，∴a2﹣2ab+b2≥0，∴a2+b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．（3）把a=x，b=y，代入a2+b2≥2ab中得到：a+b≥2依題意得：x+y＝8．則x+y≥2xy，即8≥2xy，∴xy≤16，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝4時取“＝”．∴當(dāng)x＝y(tǒng)＝4時，該矩形面積最大，最大面積是16．【點評】本題考查了四邊形綜合題．需要學(xué)生掌握勾股定理的證明和以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握三角形和正方形面積計算公式是解決問題的關(guān)鍵．2．如圖1，在計算陰影部分面積時，我們可以用邊長為a的大正方形面積減去邊長為b的小正方面積，即：S＝a2﹣b2．我們也可以把圖中陰影部分剪下一個小長方形，然后按圖2把陰影部分拼接成一個長為（a+b），寬為（a﹣b）的長方形來計算面積，即：S＝（a+b）（a﹣b），因為陰影部分的面積相等，我們可以得到a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），這恰好驗證了平方差公式．（1）圖3中最大正方形的面積算法也可以驗證一個乘法公式，請用含a和b的代數(shù)式寫出這個公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2或a2+2ab+b2＝（a+b）2．（2）圖4是著名的“趙爽弦圖”，它是由四個形狀大小完全一致的直角三角形拼成，每個直角三角形的兩直角邊的長分別為a和b，斜邊長為c，我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用此圖驗證了直角三角形的斜邊c和兩直角邊a和b之間存在一個固定的等量關(guān)系，請你求出關(guān)于a、b、c的關(guān)系式．【分析】（1）根據(jù)圖3的各個部分的面積可得完全平方公式；（2）通過圖中小正方形面積證明勾股定理．【解答】解：（1）由題意可得：（a+b）2＝a2+2ab+b2或a2+2ab+b2＝（a+b）2．故答案為：（a+b）2＝a2+2ab+b2或a2+2ab+b2＝（a+b）2．（2）S大正方形=c2=(b?a)2+4×12ab=b2﹣2ab+【點評】本題考查了因式分解的應(yīng)用，用數(shù)形結(jié)合來證明勾股定理，鍛煉了同學(xué)們的數(shù)形結(jié)合的思想方法．3．教材在探索平方差公式時利用了面積法，面積法除了可以幫助我們記憶公式，還可以直觀地推導(dǎo)或驗證公式，俗稱“無字證明”，例如，著名的趙爽弦圖（如圖①，其中四個直角三角形較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c），大正方形的面積可以表示為c），也可以表示為4×12ab+（a﹣b）2，由此推導(dǎo)出重要的勾股定理：如果直角三角形兩條直角邊長為a，b，斜邊長為c，則a2+b2＝c（1）圖②為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請你利用圖②推導(dǎo)勾股定理．（2）如圖③，在△ABC中，AD是BC邊上的高，AB＝4，AC＝5，BC＝6，設(shè)BD＝x，求x的值．（3）試構(gòu)造一個圖形，使它的面積能夠解釋（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，畫在如圖4的網(wǎng)格中，并標(biāo)出字母a，b所表示的線段．【分析】（1）梯形的面積可以由梯形的面積公式求出，也可利用三個直角三角形面積求出，兩次求出的面積相等列出關(guān)系式，化簡即可得證；（2）運用勾股定理在Rt△ABD和Rt△ADC中求出AD2，列出方程求解即可；（3）畫出邊長為a+b和a+2b的矩形即可．【解答】解：（1）梯形ABCD的面積為12也可以表示為12ab+1即a2+b2＝c2；（2）在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝42﹣x2＝16﹣x2；在Rt△ADC中，AD2＝AC2﹣DC2＝52﹣（6﹣x）2＝﹣11+12x﹣x2；所以16﹣x2＝﹣11+12x﹣x2，解得x=9（3）如圖，由此可得（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2．【點評】此題主要考查了勾股定理的證明與應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)定理是解答此題的關(guān)鍵．4．我國古代數(shù)學(xué)家趙爽曾用圖1證明了勾股定理，這個圖形被稱為“弦圖”.2002年在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會（ICM2002）的會標(biāo)（圖2），其圖案正是由“弦圖”演變而來．“弦圖”是由4個全等的直角三角形與一個小正方形組成，恰好拼成一個大正方形請你根據(jù)圖1解答下列問題：（1）敘述勾股定理（用文字及符號語言敘述）；（2）證明勾股定理；（3）若大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，求（a+b）2的值．【分析】（1）用文字及符號語言敘述勾股定理即可；（2）如圖1，根據(jù)四個全等的直角三角形的面積+小正方形的面積＝大正方形的面積，代入數(shù)值，即可證明；（3）利用（2）的結(jié)論進行解答．【解答】解：（1）勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．在直角三角形中，兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，a2+b2＝c2．（2）∵S大正方形＝c2，S小正方形＝（b﹣a）2，4SRt△＝4×12ab＝2∴c2＝2ab+（b﹣a）2＝2ab+b2﹣2ab+a2＝a2+b2，即a2+b2＝c2．（3）∵4SRt△＝S大正方形﹣S小正方形＝13﹣1＝12，∴2ab＝12．∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝c2+2ab＝13+12＝25．【點評】本題考查了勾股定理的證明．求面積時，利用了“分割法”．5．公元3世紀(jì)初，我國數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理的圖形稱為“弦圖”．1876年美國總統(tǒng)Garfeild用圖1（點C、點B、點C′三點共線）進行了勾股定理的證明．△ACB與△BC′B′是一樣的直角三角板，兩直角邊長為a，b，斜邊是c．請用此圖證明勾股定理．拓展應(yīng)用l：如圖2，以△ABC的邊AB和邊AC為邊長分別向外做正方形ABFH和正方形ACED，過點F、E分別作BC的垂線段FM、EN，則FM、EN、BC的數(shù)量關(guān)系是怎樣？直接寫出結(jié)論FM+EN＝BC．拓展應(yīng)用2：如圖3，在兩平行線m、n之間有一正方形ABCD，已知點A和點C分別在直線m、n上，過點D作直線l∥n∥m，已知l、n之間距離為1，l、m之間距離為2．則正方形的面積是5．【分析】用a、b、c表示三角形與梯形的面積，再根據(jù)梯形的面積等于三個直角三角形的面積和便可得結(jié)論；拓展1．過點A作AP⊥BC于點P，再證明三角形全等便可得結(jié)論；拓展2．過點D作PQ⊥m，分別交m于點P，交n于點Q，然后證明三角形全等，轉(zhuǎn)化線段，再用勾股定理解答【解答】解：∵點C、點B、點B′三點共線，∠C＝∠C′＝90°∴四邊形ACC′B′是直角梯形，∵△ACB與△BC′B′是一樣的直角三角板，∴Rt△ACB≌Rt△BC′B′，∴∠CAB＝∠C′BB′，AB＝BB′，∴∠CBA+∠C′BB’＝90°∴△ABB′是等腰直角三角形，所以S梯形ACC′B′＝（AC+B′C′）?CC′÷2=(a+bS△ACB=12AC?BC=12ab，S△BC′B′=12所以(a+b)a2+2ab+b2＝ab+ab+c2，∴a2+b2＝c2；拓展1．過A作AP⊥BC于點P，則∠BMF＝∠APB＝90°，∵∠ABF＝90°，∴∠BFM+∠MBF＝∠MBF+∠ABP，∴∠BFM＝∠ABP，在△BMF和△ABP中，∠BFM=∠ABP∠BMF=∠APB=90°∴△BMF≌△ABP（AAS），∴FM＝BP，同理，EN＝CP，∴FM+EN＝BP+CP，即FM+EN＝BC，故答案為：FM+EN＝BC；拓展2．過點D作PQ⊥m，分別交m于點P，交n于點Q，如圖3，則∠APD＝∠ADC＝∠CQD＝90°，∴∠ADP+∠DAP＝∠ADP+∠CDQ＝90°，∴∠DAP＝∠CDQ，在△APD和△DQC中，∠DAP=∠CDQ∠APD=∠DQC∴△APD≌△DQC（AAS），∴AP＝DQ＝2，∵PD＝1，∴AD2＝22+12＝5，∴正方形的面積為5，故答案為：5．【點評】本題是勾股定理的探究與應(yīng)用，主要考查了勾股定理的性質(zhì)及應(yīng)用，正方形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形和直角三角形．6．通過整式乘法的學(xué)習(xí)，我們進一步了解了利用圖形面積來說明法則、公式等的正確性的方法，例如利用圖甲可以對平方差公式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2給予解釋．圖乙中的△ABC是一個直角三角形，∠C＝90°，人們很早就發(fā)現(xiàn)直角三角形的三邊a，b，c滿足a2+b2＝c2的關(guān)系．圖丙是2002年國際數(shù)學(xué)家大會的會徽，選定的是我國古代數(shù)學(xué)家趙爽用來證明勾股定理的弦圖，弦圖是由四個全等的直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形．如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的較短直角邊長為a，較長直角邊長為b，求出（a+b）2的值．【分析】根據(jù)勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面積，然后求四個直角三角形的面積，即可得到ab的值，然后根據(jù)（a+b）2＝a2+2ab+b2即可求解．【解答】解：根據(jù)勾股定理可得a2+b2＝13，四個直角三角形的面積是：12ab×4＝13﹣1＝12，即2ab則（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+12＝25．故（a+b）2的值為25．【點評】本題考查勾股定理，以及完全平方式，正確根據(jù)圖形的關(guān)系求得a2+b2和ab的值是關(guān)鍵．7．下圖是“弦圖”，請將“弦圖”中的四個直角三角形通過你所學(xué)過的圖形變換，在以下方格紙中設(shè)計另兩個不同的圖案．畫圖要求：（1）每個直角三角形的頂點均在方格紙的格點上，且四個三角形不重疊；（2）所設(shè)計的圖案（不含方格紙）必須是中心對稱圖形或軸對稱圖形．【分析】依據(jù)題目所給的條件，可以利用圖形的旋轉(zhuǎn)4次，得出圖形即可，也可以利用軸對稱作出圖象即可．【解答】解：如圖所示：答案不唯一．【點評】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)或者軸對稱設(shè)計方案，關(guān)鍵是理解旋轉(zhuǎn)和軸對稱的概念，按照要求作圖．8．圖1是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若AC