專題07 線段中的動(dòng)態(tài)模型（解析版）

專題07線段中的動(dòng)態(tài)模型線段中的動(dòng)態(tài)模型一直都是一大難點(diǎn)和?？键c(diǎn)，它經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn)?？疾闃邮揭彩呛茇S富，和平時(shí)所學(xué)的內(nèi)容結(jié)合在一起考。本專題就線段中的動(dòng)態(tài)模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握?！局R(shí)儲(chǔ)備】1、在與線段長(zhǎng)度有關(guān)的問題中，常會(huì)涉及線段較多且關(guān)系較復(fù)雜的問題，而且題中的數(shù)據(jù)無法直接利用，常設(shè)未知數(shù)列方程。2、線段的動(dòng)態(tài)模型解題步驟：1）設(shè)入未知量t表示動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離；2）利用和差（倍分）關(guān)系表示所需的線段；3）根據(jù)題設(shè)條件建立方程求解；4）觀察運(yùn)動(dòng)位置可能的情況去計(jì)算其他結(jié)果。模型1、線段中點(diǎn)、和差倍分關(guān)系中的動(dòng)態(tài)模型例1．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)期末）如圖，線段厘米，點(diǎn)D和點(diǎn)C在線段AB上，且，．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以4厘米/秒的速度沿射線AD向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C所在位置后立即按照原路原速返回，到達(dá)點(diǎn)D所在位置后停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以1厘米/秒的速度沿著射線BC的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D所在的位置后停止運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）求線段AD的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)點(diǎn)C恰好為PQ的中點(diǎn)時(shí)，求t的值；（3）當(dāng)厘米時(shí)，求t的值．【答案】（1）；（2）或；（3）、、8，【分析】（1）先求出AC，再求出DC，根據(jù)AD=AC-DC即可；（2）表示出CP、CQ的長(zhǎng)度，再根據(jù)CP=CQ列方程即可，需要注意P到C之前和之后兩種情況討論；（3）表示出BP、BQ的長(zhǎng)度，再根據(jù)列方程即可，需要注意P到C之前和之后以及P到D之前之后的多種情況討論；【詳解】（1）∵，∴∵∴∴（2）∵點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以1厘米/秒的速度沿著射線BC的方向運(yùn)動(dòng)，∴，P到達(dá)C之前時(shí)∵點(diǎn)C恰好為PQ的中點(diǎn)∴此時(shí)P在C左邊，Q在C右邊，且CP=CQ∴解得P到達(dá)C之后時(shí)∵點(diǎn)C恰好為PQ的中點(diǎn)∴此時(shí)P在C左邊，Q在C右邊，且CP=CQ∴解得故當(dāng)點(diǎn)C恰好為PQ的中點(diǎn)時(shí)或（3）當(dāng)P、Q到達(dá)C之前時(shí)，，∴解得當(dāng)P到達(dá)C之后、Q到達(dá)C之前時(shí)，，∴解得當(dāng)P到達(dá)D點(diǎn)時(shí)此時(shí)，，，當(dāng)P到達(dá)D點(diǎn)以后、Q到達(dá)D之前，，解得綜上當(dāng)厘米時(shí)，、、8，【點(diǎn)睛】此題考查線段和差計(jì)算、列一元一次方程解應(yīng)用題等知識(shí)與方法，解題的關(guān)鍵是弄清點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)時(shí)的出發(fā)點(diǎn)、方向、速度以及兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)屬于相遇問題還是追及問題等．例2．（2022·江蘇蘇州·七年級(jí)期末）如圖所示．點(diǎn)A，B，C是數(shù)軸上的三個(gè)點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)，，．(1)點(diǎn)A表示的數(shù)是______；(2)若點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿著數(shù)軸以每秒2個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過______秒時(shí)，點(diǎn)C恰好是BP的中點(diǎn)；(3)若點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿著數(shù)軸以每秒1個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，線段QB的中點(diǎn)為M，當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)了多少秒？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)-6(2)8(3)秒或秒【分析】（1）根據(jù)，且，兩點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)，直接得出即可；（2）設(shè)經(jīng)過秒點(diǎn)是的中點(diǎn)，根據(jù)題意列方程求解即可；（3）設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了秒時(shí)，分情況列方程求解即可．（1）AB=12，且，兩點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)，點(diǎn)表示的數(shù)是，故答案為：；（2）AB=12，，，，設(shè)經(jīng)過秒點(diǎn)是的中點(diǎn)，根據(jù)題意列方程得，解得，故答案為：8；（3）設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了秒時(shí)，①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，即，根據(jù)題意列方程得，解得；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，即，根據(jù)題意列方程得，解得；綜上，當(dāng)運(yùn)動(dòng)了秒或秒時(shí)．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程的知識(shí)，熟練根據(jù)題中等量關(guān)系列方程求解是解題的關(guān)鍵．例3.（2023秋·江西吉安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的邊上有一動(dòng)點(diǎn)P，從距離O點(diǎn)18cm的點(diǎn)M處出發(fā)，沿線段，射線運(yùn)動(dòng)，速度為3cm/s：動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿射線運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t（s）．

(1)當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，t為何值，能使？(2)若點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到距離O點(diǎn)16cm的點(diǎn)N處停止，在點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)前，點(diǎn)P能否追上點(diǎn)Q？如果能，求出t的值；如果不能，請(qǐng)說出理由；(3)若P、Q兩點(diǎn)不停止運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P、Q均在射線上，t為何值時(shí)，它們相距1cm．【答案】(1)(2)不能，見解析(3)或【分析】（1）根據(jù)題意可得，然后由可得關(guān)于t的方程，解方程即得答案；（2）先計(jì)算點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)時(shí)用的時(shí)間，然后求出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程，再比較即得結(jié)論；（3）根據(jù)題意可得：，由此構(gòu)建關(guān)于t的方程求解即可．【詳解】（1）運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t（s）時(shí)，，若，則，解得：；（2）點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，用的時(shí)間為秒，此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為，，∴點(diǎn)P不能追上點(diǎn)Q；（3）當(dāng)P、Q均在射線上，它們相距1cm時(shí)，根據(jù)題意得：，即，解得：或．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意、善于動(dòng)中取靜、得到相關(guān)線段關(guān)于t的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．模型2、線段上動(dòng)點(diǎn)問題中的存在性（探究性）模型例1．（2023·江蘇南通·七年級(jí)月考）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A，C對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為和4，線段，，，若線段以3cm/秒的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)線段以1cm/秒的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．(1)問運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)？(2)線段與線段從開始相遇到完全離開共經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間？(3)P是線段上一點(diǎn)，當(dāng)B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段上時(shí)，是否存在關(guān)系式．若存在，求線段的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)1秒或2秒；(2)秒；(3)存在，或5．【分析】（1）分點(diǎn)B在點(diǎn)C的左邊和點(diǎn)B在點(diǎn)C的右邊兩種情況討論；（2）所走路程為這兩條線段的和，用路程，速度，時(shí)間之間的關(guān)系可求解；（3）隨著點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)，分別討論當(dāng)點(diǎn)B和點(diǎn)C重合、點(diǎn)C在點(diǎn)A和B之間及點(diǎn)A與點(diǎn)C重合時(shí)的情況．【詳解】（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)為2單位長(zhǎng)度，①當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)C的左邊時(shí)，由題意得：，解得：；②當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)C的右邊時(shí)，由題意得：，解得：．綜合①②得：當(dāng)運(yùn)動(dòng)1秒或2秒時(shí)；（2）∵，點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)是，點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)是4，，而（秒），線段與線段運(yùn)動(dòng)秒后相遇，又，（秒），線段與線段從開始相遇到完全離開共經(jīng)過秒長(zhǎng)時(shí)間；（3）存在，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B和點(diǎn)C重合，，點(diǎn)P在線段AB上，，，當(dāng)時(shí)，，即；此時(shí)，②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C在點(diǎn)A和點(diǎn)B之間，，當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時(shí)，，，，，有，故時(shí)，，③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，，，，，，有，故，此時(shí)，綜上，線段PD的長(zhǎng)為或5．【點(diǎn)睛】本題以線段和差為題考查了一次方程的應(yīng)用；讀懂題意，分類列方程解決問題是解題的關(guān)鍵．例2．（2022·廣東·七年級(jí)期中）已知線段AB＝m（m為常數(shù)），點(diǎn)C為直線AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），點(diǎn)M、N分別在線段BC、AC上，且滿足CN＝3AN，CM＝3BM．（1）如圖，當(dāng)點(diǎn)C恰好在線段AB中點(diǎn)，且m＝8時(shí)，則MN＝；（2）若點(diǎn)C在點(diǎn)A左側(cè)，同時(shí)點(diǎn)M在線段AB上（不與端點(diǎn)重合），請(qǐng)判斷CN+2AM﹣2MN的值是否與m有關(guān)？并說明理由．（3）若點(diǎn)C是直線AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），同時(shí)點(diǎn)M在線段AB上（不與端點(diǎn)重合），求MN長(zhǎng)度（用含m的代數(shù)式表示）．【解題思路】（1）設(shè)AN＝x，BM＝y(tǒng)，則CN＝3x，CM＝3y．由AB＝8列出方程，求得x+y，再進(jìn)而求得MN；（2）把MN＝AM+AN代入CN+2AM﹣2MN中計(jì)算便可知道結(jié)果；（3）設(shè)AN＝x，BM＝y(tǒng)，則CN＝3x，CM＝3y，①當(dāng)C點(diǎn)在B點(diǎn)右邊時(shí)，不符合題意，舍去；②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的左邊，由AB＝CB﹣CA得出y﹣x=14m，進(jìn)而得MN＝3（y﹣x）=34m；③當(dāng)點(diǎn)C在線段（AB上時(shí)，由AB＝CB+CA得y+x=14m，進(jìn)而得MN【解答過程】解：（1）設(shè)AN＝x，BM＝y(tǒng)，則CN＝3x，CM＝3y．∵AB＝AN+CN+CM+MB＝m，∴x+3x+3y+y＝m＝8，∴x+y＝2，MN＝NC+CM＝3x+3y＝3（x+y）＝6．（2）CN+2AM﹣2MN的值與m無關(guān)．理由如下：如圖1，∵CN＝3AN，∴CN+2AM﹣2MN＝3AN+2AM﹣2（AN+AM）＝AN∵AN與m的取值無關(guān)，∴CN+2AM﹣2MN的值與m無關(guān)；（3）設(shè)AN＝x，BM＝y(tǒng)，則CN＝3x，CM＝3y①當(dāng)C點(diǎn)在B點(diǎn)右邊時(shí)，∵滿足CM＝3BM，M在線段AB上，如圖2此時(shí)，M不是線段BC上的點(diǎn)，不符合題意，舍去；②當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)A的左邊，如圖3，∵AB＝CB﹣CA＝（CM+MB）﹣（CN+AN）＝m，∴（3y+y）﹣（x+3x）＝m，∴y﹣x=14∴MN＝CM﹣CN＝3y﹣3x＝3（y﹣x）=34③當(dāng)點(diǎn)C在線段（AB上時(shí)，如圖4，∵AB＝CB+CA＝（CM+MB）+（CN+AN）＝m，∴（3y+y）+（x+3x）＝m，∴x+y=14∴MN＝CM+CN＝3y+3x＝3（y+x）=34m；∴MN長(zhǎng)度為34m．綜上，MN模型3、閱讀理解型（新定義）模型例1．（2022·江蘇淮安·七年級(jí)期末）【探索新知】如圖1，點(diǎn)在線段上，圖中共有3條線段：、和，若其中有一條線段的長(zhǎng)度是另一條線段長(zhǎng)度的兩倍，則稱點(diǎn)是線段的“二倍點(diǎn)”.（1）①一條線段的中點(diǎn)這條線段的“二倍點(diǎn)”；（填“是”或“不是”）②若線段，是線段的“二倍點(diǎn)”，則（寫出所有結(jié)果）【深入研究】如圖2，若線段，點(diǎn)從點(diǎn)的位置開始，以每秒2的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒.（2）問為何值時(shí)，點(diǎn)是線段的“二倍點(diǎn)”；（3）同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)的位置開始，以每秒1的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，并與點(diǎn)同時(shí)停止.請(qǐng)直接寫出點(diǎn)是線段的“二倍點(diǎn)”時(shí)的值.【答案】（1）①是；②10或或；（2）5或或；（3）8或或【分析】（1）①可直接根據(jù)“二倍點(diǎn)”的定義進(jìn)行判斷；②可分為三種情況進(jìn)行討論，分別求出BC的長(zhǎng)度即可；（2）用含t的代數(shù)式分別表示出線段AM、BM、AB，然后根據(jù)“二倍點(diǎn)”的意義，分類討論得結(jié)果；（3）用含t的代數(shù)式分別表示出線段AN、NM、AM，然后根據(jù)“二倍點(diǎn)”的意義，分類討論．【詳解】解：（1）①因?yàn)榫€段的中點(diǎn)把該線段分成相等的兩部分，該線段等于2倍的中點(diǎn)一側(cè)的線段長(zhǎng)．∴一條線段的中點(diǎn)是這條線段的“二倍點(diǎn)”故答案為：是.②∵，是線段的“二倍點(diǎn)”，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故答案為：10或或；（2）當(dāng)AM=2BM時(shí)，20-2t=2×2t，解得：t=；當(dāng)AB=2AM時(shí)，20=2×（20-2t），解得：t=5；當(dāng)BM=2AM時(shí)，2t=2×（20-2t），解得：t=；答：t為或5或時(shí)，點(diǎn)M是線段AB的“二倍點(diǎn)”；（3）當(dāng)AN=2MN時(shí)，t=2[t-（20-2t）]，解得：t=8；當(dāng)AM=2NM時(shí)，20-2t=2[t-（20-2t）]，解得：t=；當(dāng)MN=2AM時(shí)，t-（20-2t）=2（20-2t），解得：t=；答：t為或8或時(shí)，點(diǎn)M是線段AN的“二倍點(diǎn)”．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解法、線段的和差等知識(shí)點(diǎn)，題目需根據(jù)“二倍點(diǎn)”的定義分類討論，理解“二倍點(diǎn)”是解決本題的關(guān)鍵．例2．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【概念與發(fā)現(xiàn)】當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上，時(shí)，我們稱n為點(diǎn)C在線段AB上的“點(diǎn)值”，記作．例如，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)時(shí)，即，則；反之，當(dāng)時(shí)，則有．因此，我們可以這樣理解：“”與“”具有相同的含義．【理解與應(yīng)用】(1)如圖，點(diǎn)C在線段AB上．若，，則________；若，則________AB．【拓展與延伸】(2)已知線段，點(diǎn)P以1cm/s的速度從點(diǎn)A出發(fā)，向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．同時(shí)，點(diǎn)Q以3cm/s的速度從點(diǎn)B出發(fā)，先向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立即按原速向點(diǎn)B方向返回．當(dāng)P，Q其中一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)均停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：s）．①小王同學(xué)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，的值是個(gè)定值，則m的值等于________；②t為何值時(shí)，．【答案】(1)，(2)①3；②2或6【分析】（1）根據(jù)“點(diǎn)值”的定義即可得出答案；（2）①設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，再根據(jù)的值是個(gè)定值即可得出m的值；②分點(diǎn)Q從點(diǎn)B向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)時(shí)和點(diǎn)Q從點(diǎn)A向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)時(shí)兩種情況加以分析即可【詳解】（1）解：∵，，∴∴，∵，∴（2）解：①設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則AP=t，AQ=10-3t，則，∵的值是個(gè)定值，∴的值是個(gè)定值，∴m=3②當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B向點(diǎn)A方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，∵∴∴t=2當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，∵∴∴t=6∴t的值為2或6【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，理解新定義，并能運(yùn)用是本題的關(guān)鍵．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在數(shù)軸上，O是原點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)是4，線段（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)）在直線上運(yùn)動(dòng)，且．下列說法正確的是（）甲：當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，；乙：當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，若P是線段延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，則；丙：在線段運(yùn)動(dòng)過程中，若M，N為線段的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度不變A．甲、乙 B．只有乙 C．只有丙 D．乙、丙【答案】D【分析】甲：畫出圖形，利用線段的和差可判斷甲的說法；乙：畫出圖形，設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x，則，可判斷乙的說法；丙：設(shè)點(diǎn)B表示的數(shù)是m，則點(diǎn)C表示的數(shù)是，利用中點(diǎn)公式表示出M、N表示的數(shù)即可求解．【詳解】甲：如圖1，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)，，故甲的說法錯(cuò)誤；乙：如圖2，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)A重合時(shí)，設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x，則，∴，故乙的說法正確；丙：點(diǎn)B表示的數(shù)是m，則點(diǎn)C表示的數(shù)是，∵O是原點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)是4，M，N為線段的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M表示的數(shù)是，點(diǎn)N表示的數(shù)是，∴，故丙的說法正確．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，線段中點(diǎn)的計(jì)算，整式的加減等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇·無錫市七年級(jí)期中）如圖，數(shù)軸上有兩點(diǎn)，點(diǎn)C從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒的速度在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒的速度在線段上運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中滿足，若點(diǎn)M為直線上一點(diǎn)，且，則的值為_______．【答案】1或【分析】設(shè)點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)為a，點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)為b，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，由OD=4AC得a與b的關(guān)系，再根據(jù)點(diǎn)M在直線AB的不同的位置分4種情況進(jìn)行解答，①若點(diǎn)M在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，②若點(diǎn)M在線段BO上時(shí)，③若點(diǎn)M在線段OA上時(shí)，④若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，分別表示出AM、BM、OM，由AM-BM=OM得到t、a、b之間的關(guān)系，再計(jì)算的值即可．【詳解】設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，點(diǎn)M表示的數(shù)為m則OC=t，BD=4t，即點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)為-t，點(diǎn)D在數(shù)軸上表示的數(shù)為b-4t，∴AC=-t-a，OD=b-4t，由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），即：b=-4a，①若點(diǎn)M在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，如圖1所示：由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a；∴②若點(diǎn)M在線段BO上時(shí)，如圖2所示：由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；∴③若點(diǎn)M在線段OA上時(shí)，如圖3所示：由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即：∵此時(shí)m＜0，a＜0，∴此種情況不符合題意舍去；④若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，如圖4所示：由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；而m＜0，b-a＞0，因此，不符合題意舍去，綜上所述，的值為1或．【點(diǎn)睛】考查數(shù)軸表示數(shù)的意義，掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵，分類討論和整體代入在解題中起到至關(guān)重要的作用．3．（2022·江蘇宿遷·七年級(jí)期末）如圖，C為線段AB上一點(diǎn)，，AC比BC的多5，P，Q兩點(diǎn)分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，分別以3個(gè)單位/秒和1.5個(gè)單位/秒的速度在射線AB上沿AB方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，M為BP的中點(diǎn)，N為QM的中點(diǎn)，以下結(jié)論：①；②；③當(dāng)時(shí)，．其中正確的結(jié)論是________．【答案】①②##②①【分析】根據(jù)AC比BC的多5，可得，從而得到，進(jìn)而得到AC=15，可得到BC=2AC，故①正確；根據(jù)題意得：AP=3t，BQ=1.5t，可得BP=45-3t，再由M為BP的中點(diǎn)，可得到，進(jìn)而得到，再由N為QM的中點(diǎn)，可得到AB=4NQ，故②正確；然后分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P沒有到達(dá)點(diǎn)B之前，當(dāng)點(diǎn)P沒有到達(dá)點(diǎn)B之前，可得當(dāng)時(shí)，或20，故③錯(cuò)誤，即可求解．【詳解】解：∵AC比BC的多5，∴，∵，∴，解得：，∴AC=15，∴BC=2AC，故①正確；根據(jù)題意得：AP=3t，BQ=1.5t，∴BP=45-3t，∵M(jìn)為BP的中點(diǎn)，∴，∴，∵N為QM的中點(diǎn)，∴，∴AB=4NQ，故②正確；當(dāng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，∵，∴，解得：；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)，位于點(diǎn)Q左側(cè)，，∵，∴，解得：；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P位于點(diǎn)Q右側(cè)，不成立，綜上所述，當(dāng)時(shí)，或20，故③錯(cuò)誤，∴正確的結(jié)論是①②．故答案為：①②【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)間的距離，線段間的數(shù)量關(guān)系，動(dòng)點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論討論思想解答是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·河北邢臺(tái)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知長(zhǎng)方形中，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，點(diǎn)也從點(diǎn)出發(fā)以每秒3個(gè)單位的速度沿運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

（1）當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)在邊；（2）當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，用表示的式子為；（3）點(diǎn)、相遇時(shí)，秒．【答案】7.2【分析】（1）由題意知，點(diǎn)從，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，點(diǎn)從，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，由，可知當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路程為，由，可判斷點(diǎn)的位置；（2）由題意知，；（3）由題意知，，計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：由題意知，點(diǎn)從，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，點(diǎn)從，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，∵，∴當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)路程為，∵，∴點(diǎn)在邊上，故答案為：；（2）解：由題意知，，故答案為：；（3）解：由題意知，，解得，，故答案為：7.2．【點(diǎn)睛】本題考查動(dòng)點(diǎn)，列代數(shù)式，一元一次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．5．（2022·江蘇·江陰市七年級(jí)階段練習(xí)）直線l上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C，若滿足BC＝AB，則稱點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的“半距點(diǎn)”．如圖1，BC＝AB，此時(shí)點(diǎn)C就是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的一個(gè)“半距點(diǎn)”．若M、N、P三個(gè)點(diǎn)在同一條直線m上，且點(diǎn)P是點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)N的“半距點(diǎn)”，MN＝6cm．(1)(2)若點(diǎn)G也是直線m上一點(diǎn)，且點(diǎn)G是線段MP的中點(diǎn)，求線段GN的長(zhǎng)度．【答案】(1)3或9(2)或【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)P是點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)N的“半距點(diǎn)”，可得，分兩種情況畫圖求解（2）根據(jù)點(diǎn)G是線段MP的中點(diǎn)，結(jié)合（1）分兩種情況即可求得線段GN的長(zhǎng)度（1）如圖所示：第一種情況：∵點(diǎn)P是點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)N的“半距點(diǎn)”，∴，∵，∴第二種情況：∵，∴綜上：MP的長(zhǎng)度為3cm或9cm（2）如圖所示：第一種情況：點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，∴∴第二種情況：點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，∴∴綜上：線段GN的長(zhǎng)度為或．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，準(zhǔn)確理解概念并作出圖形是解題關(guān)鍵．6．（2022秋·江蘇鎮(zhèn)江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A對(duì)應(yīng)數(shù)a，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)數(shù)b，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)數(shù)16，且滿足．(1)_______，_______，_______；(2)點(diǎn)P為位于線段上的一點(diǎn)，且滿足，請(qǐng)求出點(diǎn)P在數(shù)軸上所表示的數(shù)；(3)當(dāng)甲以4單位長(zhǎng)度/分的度從A出發(fā)，向右運(yùn)動(dòng)，乙同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，以6單位長(zhǎng)度/分的速度向左運(yùn)動(dòng)，當(dāng)甲到A、B、C的距離之和為40個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，假如甲立即掉頭沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)問甲、乙還能碰面嗎？若能，求出碰面的地點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)；若不能，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)，，(2)或2(3)甲和乙能碰面，碰面的地點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為，理由見解析【分析】（1）先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，再根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)距離公式求出的長(zhǎng)即可；（2）根據(jù)題意可得，，即可求出，再分點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)和右側(cè)，兩種情況利用數(shù)軸上兩點(diǎn)距離公式討論求解即可；（3）根據(jù)（2）所求得到甲掉頭時(shí)運(yùn)動(dòng)到或2處，求出此時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，再列出方程求出掉頭后乙追上甲的時(shí)間即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，∴，∴點(diǎn)A和點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為，，∵點(diǎn)C對(duì)應(yīng)數(shù)16，∴，故答案為：，，；（2）解：∵，，∴，當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí)，∵，∴，∴點(diǎn)P在數(shù)軸上所表示的數(shù)為；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，，∴點(diǎn)P在數(shù)軸上所表示的數(shù)為2．綜上所述，點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的數(shù)是或2．（3）由（2）知，當(dāng)甲到A、B、C的距離之和為40個(gè)單位長(zhǎng)度，甲運(yùn)動(dòng)到數(shù)軸上的或2處．當(dāng)甲運(yùn)動(dòng)到處時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，此時(shí)乙運(yùn)動(dòng)到數(shù)軸上處，設(shè)甲掉頭后t秒后乙追上甲，則，解得，∴相遇點(diǎn)在數(shù)軸上的位置為，∴甲和乙能碰面，碰面的地點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為．當(dāng)甲運(yùn)動(dòng)到2處時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，此時(shí)乙運(yùn)動(dòng)到數(shù)軸上處，乙在甲的左邊，乙快，甲慢，不可能再相遇．綜上所述，甲和乙能碰面，碰面的地點(diǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題，一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．7．（2022·廣西七年級(jí)期中）已知數(shù)軸上三點(diǎn)M，O，N對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為－3，0，1，點(diǎn)P為數(shù)軸上任意一點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x．(1)如果點(diǎn)P到點(diǎn)M，點(diǎn)N的距離相等，那么x的值是______；(2)數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)M，點(diǎn)N的距離之和是5？若存在，請(qǐng)直接寫出x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．(3)如果點(diǎn)P以每分鐘3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)O向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)M和點(diǎn)N分別以每分鐘1個(gè)單位長(zhǎng)度和每分鐘4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度也向左運(yùn)動(dòng)，且三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，那么幾分鐘時(shí)點(diǎn)P到點(diǎn)M，點(diǎn)N的距離相等.（直接寫出答案）【答案】（1）；（2）x=或；（3）分鐘或t=2分鐘時(shí)點(diǎn)P到點(diǎn)M，點(diǎn)N的距離相等．【分析】（1）根據(jù)三點(diǎn)M，O，N對(duì)應(yīng)的數(shù)，得出NM的中點(diǎn)為：x=（-3+1）÷2進(jìn)而求出即可；（2）根據(jù)P點(diǎn)在N點(diǎn)右側(cè)或在M點(diǎn)左側(cè)分別求出即可；（3）分別根據(jù)①當(dāng)點(diǎn)M和點(diǎn)N在點(diǎn)P同側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)M和點(diǎn)N在點(diǎn)P兩側(cè)時(shí)求出即可．【解析】解：（1）∵M(jìn)，O，N對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為-3，0，1，點(diǎn)P到點(diǎn)M，點(diǎn)N的距離相等，∴x的值是．故答案為：；（2）存在符合題意的點(diǎn)P；∵點(diǎn)M為-3，點(diǎn)N為1，則點(diǎn)P分為兩種情況，①點(diǎn)P在N點(diǎn)右側(cè)，則，解得：；②點(diǎn)P在M點(diǎn)左側(cè)，則，解得：；∴.（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)t分鐘時(shí)，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)是-3t，點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)是-3-t，點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的數(shù)是1-4t．①當(dāng)點(diǎn)M和點(diǎn)N在點(diǎn)P同側(cè)時(shí)，因?yàn)镻M=PN，所以點(diǎn)M和點(diǎn)N重合，所以：-3-t=1-4t，解得t＝，符合題意．

②當(dāng)點(diǎn)M和點(diǎn)N在點(diǎn)P兩側(cè)時(shí)，有兩種情況．情況1：如果點(diǎn)M在點(diǎn)N左側(cè)，PM=-3t-（-3-t）=3-2t．PN=（1-4t）-（-3t）=1-t．因?yàn)镻M=PN，所以3-2t=1-t，解得t=2．此時(shí)點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)是-5，點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的數(shù)是-7，點(diǎn)M在點(diǎn)N右側(cè)，不符合題意，舍去．情況2：如果點(diǎn)M在點(diǎn)N右側(cè)，PM=3t-t-3=2t-3．PN=-3t-（1-4t）=t-1．因?yàn)镻M=PN，所以2t-3=t-1，解得t=2．此時(shí)點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)是-5，點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的數(shù)是-7，點(diǎn)M在點(diǎn)N右側(cè)，符合題意．綜上所述，三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，分鐘或2分鐘時(shí)點(diǎn)P到點(diǎn)M，點(diǎn)N的距離相等．【點(diǎn)睛】此題主要考查了數(shù)軸的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)M，N位置的不同進(jìn)行分類討論得出是解題關(guān)鍵．8．（2022·江蘇·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知與為同類項(xiàng)，數(shù)軸上兩點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a，b．(1)______，______，線段______；(2)若數(shù)軸上有一點(diǎn)C，使得，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)______；(3)有一動(dòng)點(diǎn)G從點(diǎn)A出發(fā)，以3個(gè)單位每秒的速度向右方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)H從點(diǎn)B出發(fā)，以1個(gè)單位每秒的速度在數(shù)軸上作同方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（），點(diǎn)D為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段上且，在G，H的運(yùn)動(dòng)過程中，求的值______（用含t的代數(shù)式表示）【答案】(1)，20，30(2)3或75(3)【分析】（1）根據(jù)同類項(xiàng)的定義求出a，b值，從而算出線段的長(zhǎng)；（2）注意分情況討論，①當(dāng)點(diǎn)在之間時(shí)，如圖1，②當(dāng)點(diǎn)在右側(cè)時(shí)，如圖2，分別計(jì)算和的長(zhǎng)，相減可得結(jié)論；（3）本題有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)和，根據(jù)速度和時(shí)間可得點(diǎn)表示的數(shù)為：，點(diǎn)表示的數(shù)為：，根據(jù)中點(diǎn)的定義得點(diǎn)和點(diǎn)表示的數(shù)，由得的長(zhǎng)和點(diǎn)表示的數(shù)，根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離可得和的長(zhǎng)，相加可得最后的值．【詳解】（1）解：∵與為同類項(xiàng)，∴，，∴，∴；（2）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在之間時(shí)，如圖1，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，；②當(dāng)點(diǎn)在右側(cè)時(shí)，如圖2，，，，，綜上，的長(zhǎng)是3或75．故答案為：3或75；（3）由題意得，點(diǎn)表示得數(shù)為：，點(diǎn)表示的數(shù)為：，，，點(diǎn)在線段之間，為中點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)為：，是中點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)為：，，，，點(diǎn)表示的數(shù)為：，，的值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查同類項(xiàng)，數(shù)軸，根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，分情況列出合適的代數(shù)式進(jìn)行求解是解題關(guān)鍵．9．（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）已知線段，點(diǎn)在線段上，且．(1)求線段，的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)且不與點(diǎn)，，重合，線段的中點(diǎn)為，設(shè)①請(qǐng)用含有的代數(shù)式表示線段，的長(zhǎng)；②若三個(gè)點(diǎn)，，中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)，則稱，，三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫出使得，，三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”的的值．【答案】(1)AC=9cm，CB=6cm(2)①或，；②6或12【分析】（1）由可得，，從而可求得AC、CB的長(zhǎng)；（2）①分點(diǎn)P在線段AC上和點(diǎn)P在線段CB上兩種情況分別計(jì)算即可；②分點(diǎn)P在線段AC上和點(diǎn)P在線段CB上兩種情況列方程，可求得m的值．（1）∵，點(diǎn)在線段上，且∴，（2）∵M(jìn)為線段的中點(diǎn)∴①當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P在線段CB上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上時(shí)，則MP=PC∴解得：m=6當(dāng)點(diǎn)P在線段CB上時(shí)，則MC=PC∴解得：m=12綜上所述，m=6或12【點(diǎn)睛】本題考查了求線段長(zhǎng)度，線段中點(diǎn)的意義及線段的和差，掌握線段中點(diǎn)的意義、線段的和差是解題的關(guān)鍵．注意（2）小題要分類討論．10．（2022·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）【新知理解】如圖①，點(diǎn)C在線段AB上，若BC=πAC，則稱點(diǎn)C是線段的圓周率點(diǎn)，線段AC、BC稱作互為圓周率伴侶線段．（1）若AC=2，求AB的長(zhǎng)；（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)D也是圖①中線段AB的圓周率點(diǎn)（不同于點(diǎn)C），試求出線段BD的長(zhǎng)，并判斷AC與BD的數(shù)量關(guān)系；【解決問題】（3）如圖②，現(xiàn)有一個(gè)直徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓片，將圓片上的某點(diǎn)與數(shù)軸上表示1的點(diǎn)重合，并把圓片沿?cái)?shù)軸向右無滑動(dòng)性的滾動(dòng)1周，該點(diǎn)到達(dá)C的位置，求點(diǎn)C所表示的數(shù)；若點(diǎn)M、N是線段OC的圓周率點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)；（4）圖②中，若點(diǎn)D在射線OC上，且線段CD與O、C、D中某兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段互為圓周率伴侶線段，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D所表示的數(shù)（答案保留π）．【答案】（1）AB的長(zhǎng)為（）；（2）BD長(zhǎng)為2，；（3）C表示的數(shù)為（），的長(zhǎng)為（）；（4）點(diǎn)D表示的數(shù)是1或或或．【分析】（1）利用BC=πAC求出BC的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出AB的長(zhǎng)．（2）設(shè)AC的長(zhǎng)為x，BD的長(zhǎng)為y，利用圓周率點(diǎn)的定義，得到關(guān)于x與y的關(guān)系式，進(jìn)而得到x=y，故此時(shí)有．（3）利用旋轉(zhuǎn)一周即為圓的周長(zhǎng)，得到C點(diǎn)表示的數(shù)，假設(shè)M點(diǎn)離O點(diǎn)最近，設(shè)，利用圓周率點(diǎn)及題（2）的結(jié)論，求出，最后求出MN的長(zhǎng)度即可．.（4）設(shè)點(diǎn)D表示的數(shù)為m，根據(jù)條件分四類情況：，，，，進(jìn)行分類討論，設(shè)出對(duì)應(yīng)的方程進(jìn)行求解m的值．【詳解】（1）,，，．（2）點(diǎn)D、C都是線段AB的圓周率點(diǎn)且不重合，，．設(shè)，，則有，，，，，．（3）由題意可知：C點(diǎn)表示的數(shù)是均為線段OC的圓周率點(diǎn)，不妨設(shè)M點(diǎn)里O點(diǎn)近，且，，，解得，，，，由（2）可知：．（4）解：設(shè)點(diǎn)D表示的數(shù)為m，根據(jù)題意可知，共分為四種情況．①若，則有，解得．②若，則有，解得．③若，則有，解得．④若，則有，解得．綜上所述，點(diǎn)D表示的數(shù)是1或或或．【點(diǎn)睛】本題是新定義題型，主要考察了列方程和分類討論的思想，讀懂題目中的新定義，并且正確找到分類討論的所有情況，是解決本題的關(guān)鍵．11．（2023·新疆·七年級(jí)期末）如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為a，B表示的數(shù)為b，且a、b滿足．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．（1）寫出數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是____________，點(diǎn)B表示的數(shù)是______，點(diǎn)P表示的數(shù)是____________（用含t的式子表示）；（2）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，M、N分別是PA、PB的中點(diǎn)，求PM－PN的值（3）動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)P、Q兩點(diǎn)相距4個(gè)單位長(zhǎng)度？【答案】（1）10，-6，10-8t；（2）8；（3）t=3或5【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的和等于0，則=0，=0，進(jìn)而即可求解；（2）分別用含t的代數(shù)式表示PM=4t，PN=4t-8，進(jìn)而即可求解；（3）分別表示出P、Q所在點(diǎn)表示的數(shù)，再列出方程，即可求解．【詳解】解：（1）∵，≥0，≥0，∴=0，=0，即：a=10，b=-6，∴A表示的數(shù)是10，點(diǎn)B表示的數(shù)是-6，∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒8個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)P表示的數(shù)是：10-8t，故答案是：10，-6，10-8t；（2）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，PA=8t，PB=8t-16，∵M(jìn)、N分別是PA、PB的中點(diǎn)，∴PM=PA=4t，PN=PB=4t-8，∴PM－PN=4t-（4t-8）=8；（3）設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒，P所在點(diǎn)表示的數(shù)為：10-8t，Q所在點(diǎn)表示的數(shù)為：-6-4t，∴（10-8t）-（-6-4t）=±4，解得：t=3或5．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，一元一次方程的應(yīng)用，用代數(shù)式表示出兩點(diǎn)間的距離公式，是解題的關(guān)鍵．12．（2023秋·福建福州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是a，點(diǎn)B表示的數(shù)是b，且，(1)填空：，；(2)在線段上有一點(diǎn)C，滿足，求點(diǎn)C表示的數(shù)；(3)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速移動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)時(shí)，的值是否發(fā)生變化？若不變求出其值；若變化，寫出范圍．【答案】(1)8，(2)(3)的值不會(huì)發(fā)生變化，詳見解析【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可得，即可求解；（2）先求出，可得，即可求解；（3）根據(jù)題意可得依題意得：，從而得到，，即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，解得：；故答案為：8，（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為；（3）解：的值不會(huì)發(fā)生變化，依題意得：，∴，，∴，∴的值不會(huì)發(fā)生變化．【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，線段的和與差，數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題關(guān)鍵．13．（2023秋·云南臨滄·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，C是線段上一點(diǎn)，，，點(diǎn)P從A出發(fā)，以的速度沿向右運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B；點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，以的速度沿向左運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為s

(1)當(dāng)P、Q兩點(diǎn)重合時(shí)，求t的值；(2)是否存在某一時(shí)刻，使得C、P、Q這三個(gè)點(diǎn)中，有一個(gè)點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)?若存在，求出所有滿足條件的t值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)滿足條件的值為4或7或【分析】（1）根據(jù)相遇時(shí)間=路程和速度和，列出方程計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案；【詳解】（1）由題意可得：，，∴當(dāng)P、Q重合時(shí)，，解得：；（2）由題意可得：，∴①當(dāng)點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)時(shí)，，解得：；②當(dāng)點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)時(shí)，，解得：③當(dāng)點(diǎn)Q是線段的中點(diǎn)時(shí)，，解得：；綜上所述，滿足條件的值為4或7或．【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間的距離，利用線段中點(diǎn)的性質(zhì)得出關(guān)于t的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論以防遺漏14．（2023·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線上有，，，四個(gè)點(diǎn)，，，．

(1)線段______；(2)動(dòng)點(diǎn)，分別從A點(diǎn)，點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)沿線段以3/秒的速度，向右運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)后立即按原速向A點(diǎn)返回；點(diǎn)沿線段以1/秒的速度，向左運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)再次到達(dá)A點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（單位：秒）①求，兩點(diǎn)第一次相遇時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值；②求，兩點(diǎn)第二次相遇時(shí)，與點(diǎn)A的距離．【答案】(1)(2)5、20【分析】（1）根據(jù)，，算出，再根據(jù)即可解答；（2）①根據(jù)，兩點(diǎn)第一次相遇時(shí)，，兩點(diǎn)所走的路程之和是的長(zhǎng)列方程即可求解；②根據(jù)，兩點(diǎn)第二次相遇時(shí)，點(diǎn)所走的路程與的差和所走的路程與的差相等列方程即可求解；【詳解】（1）故線段的長(zhǎng)為．（2）①，兩點(diǎn)第一次相遇時(shí)根據(jù)題意可得：解得：秒故，兩點(diǎn)第一次相遇時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值是5秒；②由（1）得當(dāng)，兩點(diǎn)第二次相遇時(shí)：解得：秒故，兩點(diǎn)第二次相遇時(shí)，與點(diǎn)A的距離是20【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)之間的距離，靈活運(yùn)用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系是解答該題的關(guān)鍵．15．（2023春·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)吉林大學(xué)附屬中學(xué)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)為數(shù)軸原點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，以為邊，在數(shù)軸上方作正方形．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，到達(dá)點(diǎn)后點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

(1)正方形的邊長(zhǎng)是_______．(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，則點(diǎn)表示的數(shù)為________(用含的式子表示)．(3)當(dāng)時(shí)求的值．(4)當(dāng)點(diǎn)出發(fā)時(shí)，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，向左運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處立即按原速返回到點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，為何值時(shí)，．直接寫出答案答：的值是______．【答案】(1)3(2)或(3)或(4)或或【分析】（1）根據(jù)題意可得，由線段中點(diǎn)的定義可得，，以此即可解答；（2）根據(jù)題意可得根據(jù)點(diǎn)表示的數(shù)即可得出點(diǎn)表示的數(shù)；（3）利用數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式求解即可；（4）根據(jù)可得，再分三種情況討論：①當(dāng)時(shí)；②當(dāng)時(shí)；③當(dāng)時(shí)．分別得出不同情況點(diǎn)、表示的數(shù)，再利用數(shù)軸上兩間的距離公式表示出，求解即可．【詳解】（1）解：點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)為數(shù)軸原點(diǎn)，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，正方形的邊長(zhǎng)是；故答案為：；（2）點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，向右運(yùn)動(dòng)，速度為每秒個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，，，點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)表示的數(shù)為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為，故答案為：或；（3），點(diǎn)表示的數(shù)為，，解得：或，（4），即，①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，，解得：或②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，舍去；③當(dāng)時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，，，解得：；綜上所述，或或故答案為：或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸與動(dòng)點(diǎn)的結(jié)合問題、線段中點(diǎn)的定義、數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式、一元一次方程的應(yīng)用，正確表示出點(diǎn)和點(diǎn)運(yùn)動(dòng)后所表示的數(shù)是解題關(guān)鍵．16．（2023秋·廣東珠海·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在一條水平直線上，自左向右依次有四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D，，線段以每秒的速度水平向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，線段停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)秒時(shí)，___________，=___________；(2)當(dāng)線段與線段重疊部分為時(shí)，求t的值；(3)當(dāng)秒時(shí)，線段上是否存在點(diǎn)P，使得？若存在，求出此時(shí)的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)t的值為秒或7秒(3)不存在，見解析【分析】（1）根據(jù)題中條件，可得，進(jìn)而可求得答案；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)后的點(diǎn)A為點(diǎn)，分點(diǎn)在點(diǎn)C的左側(cè)和右側(cè)兩種情況進(jìn)行討論，分別列方程即可求解；（3）當(dāng)秒時(shí)，可判斷此時(shí)的線段在C、D兩點(diǎn)之間，假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，則有，求出的長(zhǎng)度，與點(diǎn)P在上不符，即可判斷．【詳解】（1）解：∵，故答案為：3，6；（2）解：①當(dāng)時(shí)，如圖則解得②當(dāng)時(shí)，解得答：t的值為4.5秒或7秒．（3）解：當(dāng)秒時(shí)，所以，此時(shí)線段位于C，D兩點(diǎn)之間，若存在點(diǎn)P，使又因?yàn)?，點(diǎn)P不在線段AB上，所以，當(dāng)秒時(shí)，線段上不存在點(diǎn)P，使得．【點(diǎn)睛】本題考查線段的和差倍分關(guān)系，準(zhǔn)確畫出圖形，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．17．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，數(shù)軸上點(diǎn)、表示的數(shù)分別為和3，點(diǎn)為原點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)出發(fā)的同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)后立即以每秒3個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為_________；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的值為_________；(2)①在點(diǎn)由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)表示數(shù)為_________（用含的代數(shù)式表示）；②當(dāng)_________時(shí)，、第一次相遇；(3)點(diǎn)從點(diǎn)返回后，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間的值；(4)若在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，直接寫出的值．【答案】(1)；(2)①；②；(3)當(dāng)時(shí)，或．(4)當(dāng)時(shí)，的值為或或．【分析】（1）由用右邊移動(dòng)用加法列式計(jì)算可得：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)，再當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，可得方程，再解方程即可；（2）①利用向左移動(dòng)用減法，向右移動(dòng)用加法，再列式計(jì)算即可；②再利用速度乘以時(shí)間等于路程列方程即可；（3）點(diǎn)從點(diǎn)返回后，Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為，而對(duì)應(yīng)的數(shù)為，可得，利用，建立方程求解即可；當(dāng)時(shí)，，重合，停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，從而可得答案；（4）當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為，而對(duì)應(yīng)的數(shù)為，對(duì)應(yīng)的數(shù)為，再利用兩點(diǎn)間距離公式建立方程，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)返回后，Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為，而對(duì)應(yīng)的數(shù)為，對(duì)應(yīng)的數(shù)為，再利用兩點(diǎn)間距離公式建立方程，當(dāng)時(shí)，，重合，停止運(yùn)動(dòng)，可得，從而可得答案．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)為，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，則，解得：．故答案為：，12；（2）①當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為：，②當(dāng)、第一次相遇時(shí)，∴，解得：，故答案為：，4；（3）當(dāng)Q，A重合時(shí)，，解得：，當(dāng)Q到達(dá)點(diǎn)后立即以每秒3個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，此時(shí)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為：，而對(duì)應(yīng)的數(shù)為，∴，當(dāng)時(shí)，∴，∴或，解得：或，當(dāng)時(shí)，解得，∴不符合題意，舍去，當(dāng)時(shí)，，重合，停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)，∴，解得：，綜上：當(dāng)時(shí)，或．（4）當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，此時(shí)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為，而對(duì)應(yīng)的數(shù)為，對(duì)應(yīng)的數(shù)為，∴，，∴，∴，即，當(dāng)時(shí)，∴，解得：，當(dāng)時(shí)，∴，解得：，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)返回后，Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為，而對(duì)應(yīng)的數(shù)為，對(duì)應(yīng)的數(shù)為，∴，，∴，∴，即，當(dāng)時(shí)，∴，解得：，當(dāng)時(shí)，，重合，停止運(yùn)動(dòng)，∴，，∴，∴，∴，解得：，不符合題意舍去；綜上：當(dāng)時(shí)，的值為或或．【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)問題，兩點(diǎn)之間的距離，線段的含義，一元一次方程的應(yīng)用，清晰的分類討論是解本題的關(guān)鍵．18．（2023秋·湖北武漢·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在數(shù)軸上有、兩點(diǎn)，它們對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是和，線段在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），且，點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)線段運(yùn)動(dòng)到線段之間（點(diǎn)、點(diǎn)兩點(diǎn)均在、兩點(diǎn)之間時(shí)），．①直接寫出_______________；②求點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)及線段的長(zhǎng)；(2)如圖2，當(dāng)線段運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)在點(diǎn)、點(diǎn)兩點(diǎn)之間時(shí)，畫出草圖，并求出與的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①；②2，2；(2)【分析】（1）①由數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離可解；②根據(jù)，，求，，點(diǎn)為的中點(diǎn),求出，進(jìn)行線段的加減計(jì)算和求得結(jié)果；（2）由，求出，由中點(diǎn)性質(zhì)，解得，，最后利用整體思想解題即可．【詳解】（1）解：①因?yàn)?、兩點(diǎn)，它們對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是和,，故答案為：16；②如圖1：，,點(diǎn)為的中點(diǎn),;所以點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為：；（2）如圖2，，,點(diǎn)為的中點(diǎn),即【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸、兩點(diǎn)間的距離、與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．19.（2022·山東·七年級(jí)期末）如圖1，將一段長(zhǎng)為60cm繩子AB拉直鋪平后折疊（繩子無彈性，折疊處長(zhǎng)度忽略不計(jì)），使繩子與自身一部分重疊．（1）若將繩子AB沿M、N點(diǎn)折疊，點(diǎn)A、B分別落在A'、B'處．①如圖2，若A'、B'恰好重合于點(diǎn)O處，MN＝cm；②如圖3，若點(diǎn)A'落在點(diǎn)B'的左側(cè)，且A'B'＝20cm，求MN的長(zhǎng)度；③若A'B'＝ncm，求MN的長(zhǎng)度．（用含n的代數(shù)式表示）（2）如圖4，若將繩子AB沿N點(diǎn)折疊后，點(diǎn)B落在B'處，在重合部分B'N上沿繩子垂直方向剪斷，將繩子分為三段，若這三段的長(zhǎng)度由短到長(zhǎng)的比為3：4：5，直接寫出AN所有可能的長(zhǎng)度．【解題思路】（1）①由題意可得：AM＝MO=12AO，ON＝BN=②先結(jié)合圖形可求得AA′+BB′＝40cm，再根據(jù)中點(diǎn)性質(zhì)和線段和差關(guān)系計(jì)算即可；③分兩種情況分別計(jì)算即可：當(dāng)點(diǎn)A′落在點(diǎn)B′的左側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)A′落在點(diǎn)B′的右側(cè)時(shí)；（2）根據(jù)三段的長(zhǎng)度由短到長(zhǎng)的比為3：4：5，分別按以下幾種情況進(jìn)行計(jì)算：①當(dāng)B′D：CD：AC＝3：4：5時(shí)，②當(dāng)B′D：AC：CD＝3：4：5時(shí)，③當(dāng)CD：B′D：AC＝3：4：5時(shí)，④當(dāng)CD：AC：B′D＝3：4：5時(shí)，⑤當(dāng)AC：B′D：CD＝3：4：5時(shí)，⑥當(dāng)AC：CD：B′D＝3：4：5時(shí)．【解答過程】（1）①∵繩子AB沿M、N點(diǎn)折疊，點(diǎn)A、B分別落在A'、B'處，A'、B'恰好重合于點(diǎn)O處，∴AM＝MO=12AO，ON＝BN=12OB，∴MN＝MO+ON=12（AO②∵AB＝60cm，A′B′＝20cm，∴AA′+BB′＝AB﹣