專題04 平行線中的拐點模型之羊角模型（解析版）

專題04平行線中的拐點模型之羊角模型平行線中的拐點模型在初中數(shù)學幾何模塊中屬于基礎工具類問題，也是學生必須掌握的一塊內容，熟悉這些模型可以快速得到角的關系，求出所需的角。本專題就平行線中的拐點模型（羊角模型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。拐點（平行線）模型的核心是一組平行線與一個點，然后把點與兩條線分別連起來，就構成了拐點模型，這個點叫做拐點，兩條線的夾角叫做拐角。通用解法：見拐點作平行線；基本思路：和差拆分與等角轉化。模型1：羊角模型圖1圖2如圖1，已知：AB∥DE，結論：.如圖2，已知：AB∥DE，結論：.【模型證明】在圖1中，過C作AB的平行線CF，∴∠＝∠FCB圖1圖2∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠.在圖2中，過C作AB的平行線CF，∴∠＝∠FCB∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°.例1．（2023·湖北·八年級?？计谀┤鐖D，，，則為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形的外角的性質可得，再根據(jù)可得，從而解決問題．【詳解】

∵，∴．∵，∴．故選：C【點睛】本題考查三角形外角的性質，平行線的性質，掌握三角形外角的性質是解題的關鍵．例2．（2023下·廣西玉林·七年級統(tǒng)考期中）補全下列證明過程：已知：如圖，求證：．證明：如圖，作射線，使，

（_______________）又（________________）（_________________）即∴（_________________）又（__________________）【答案】見解析【分析】根據(jù)平行線的判定與性質求解即可．【詳解】證明：如圖，作射線，使，

（兩直線平行內錯角相等），又（已知），（等量代換），即，∴（內錯角相等，兩直線平行），又，（平行于同一直線的兩直線平行）．【點睛】本題考查了平行直線的性質與判定，平行線公里推論的應用，解題的關鍵是熟練掌握平行線的判定和性質．例3．（2023上·廣東韶關·八年級統(tǒng)考期中）如圖，如果，求的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查三角形外角的性質，平行線的性質．根據(jù)可得，又根據(jù)三角形外角的性質得到，從而．【詳解】∵，∴，∵，，∴．故選：B例4．（2023上·黑龍江哈爾濱·七年級?？计谥校┤鐖D，，平分，，已知，則度．【答案】115【分析】本題主要考查了平行線的性質，角平分線的定義，．如圖所示，連接，過點C作，先根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質證明，再由平行線的性質證明，同理可得，，由此推出，再由，推出，根據(jù)，推出，再由，推出，即．【詳解】解：如圖所示，連接，過點C作，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，同理可得，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，故答案為：．例5．（2023上·福建三明·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖，請通過度量、觀察、分析等手段，猜測圖1、圖2、圖3中之間的大小關系，用等式表示出來，再對圖3中的結論加以證明．

【答案】圖1：；圖2：；圖3：；見解析．【分析】利用平行線的性質，以及三角形的外角性質進行分析即可．【詳解】解：通過度量可知：圖1：；圖2：；圖3：．證明：延長，交于點F，如圖所示，

∵，∴，∵是的一個外角，∴，∴．【點睛】本題主要考查平行線的性質，解答的關鍵是熟記平行線的性質：兩直線平行，同位角相等．例6．（2023下·遼寧大連·七年級統(tǒng)考期末）如圖，，點E，F(xiàn)分別為直線上的一點．

(1)如圖1，點G在直線之間，且．直接寫出和之間的數(shù)量關系（用等式表示）；(2)如圖2，點G在同旁．直接寫出之間的數(shù)量關系（用等式表示）；(3)如圖3，點G在同旁，的平分線與的平分線交于點H．用等式表示與之間的數(shù)量關系，并證明．【答案】(1)(2)(3)，證明見解析【分析】（1）如圖所示，過點G作，則，由平行線的性質可得，再由垂直的定義得到，由此即可得到結論；（2）如圖所示，過點G作，則，由平行線的性質可得，再由角度之間的關系即可得到；（3）同理可得，由角平分線的定義推出，由此即可得到．【詳解】（1）解：如圖所示，過點G作，∵，∴，∴，∴，∵，即，∴，∴，∴；

（2）解：如圖所示，過點G作，∵，∴，∴，∵，∴（3）解：，證明如下：同理可得，∵的平分線與的平分線交于點H，∴，∴，∵，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的性質與判定，角平分線的定義，垂直的定義等等，正確作出輔助線是解題的關鍵．課后專項訓練1．（2023下·陜西西安·七年級?？计谀┤鐖D，點B在的邊的延長線上，，若，，則的度數(shù)為（

）

A．15° B．20° C．30° D．50°【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質得到，再利用三角形的外角進行求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∴；故選C【點睛】本題考查平行線的性質，三角形的外角．解題的關鍵是掌握兩直線平行，內錯角相等以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和．2．（2023下·云南昆明·七年級?？茧A段練習）如圖，，，則（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形外角的性質，求出的度數(shù)，根據(jù)，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：，，在中，，，，故選A．【點睛】本題考查的是三角形外角性質以及平行線的性質，解決問題的關鍵是掌握：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補．在解答時，要結合圖形，正確運用平行線的性質．3．（2023上·河南周口·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖直線，，，則（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形的外角的性質得出，進而根據(jù)平行線的性質，即可求解．【詳解】解：如圖所示，

∵，，∴，∵，∴，故選：C．【點睛】本題考查了三角形的外角的性質，平行線的性質，熟練掌握三角形的外角的性質是解題的關鍵．【點睛】此題考查了平行線的性質以及三角形外角的性質．此題比較簡單，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．4．（2023上·云南昭通·八年級?？茧A段練習）如圖，已知，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角形外角的定義及性質可得，再由平行線的性質可得．【詳解】解：，，，，，故選：A．【點睛】本題考查三角形外角的定義及性質、平行線的性質，熟練掌握兩直線平行，內錯角相等是解此題的關鍵．5．（2023下·江蘇南京·七年級統(tǒng)考期中）如圖，，，則與一定滿足的關系是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先根據(jù)平行線的性質可得，再根據(jù)垂直定義可得，然后利用直角三角形的兩個銳角互余可得，從而利用等量代換即可解答．【詳解】解：如圖：

∵，∴，∵，∴，∴，∴，故選：C．【點睛】本題考查了平行線的性質，垂線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．6．（2023下·四川瀘州·七年級?？计谀┤鐖D，在線段的延長線上，，，，連交于，的余角比大，為線段上一點，連，使，在內部有射線，平分．則下列結論：①；②平分；③；④．其中正確結論的個數(shù)有（）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】根據(jù)平行線的判定定理可判斷①；由平行線的性質得到，等量代換得到，可判斷②；根據(jù)的余角比大，又，由此列方程得到，可判斷③；設，，得到，根據(jù)角平分線的定義即可得到結論，可判斷④．【詳解】解：∵，，∴，∴，故①正確；∴，∵，∴，∴平分，故②正確；∵的余角比大，∴，∵，∴，∴，故③錯誤；設，，∴，∵平分，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴，故④錯誤，∴正確結論的個數(shù)有2個．故選：B．【點睛】本題考查平行線的判定和性質，角平分線的定義，余角的定義，正確識別圖形是解題的關鍵．7．（2023下·山東威?！て吣昙壗y(tǒng)考期末）如圖，已知，，，則°．【答案】20【分析】運用平行線的性質，三角形外角定理求解．【詳解】解：∵，∴∴∵∴故答案為：20．【點睛】本題考查平行線的性質，三角形外角定理，觀察圖形，理解角之間的位置關系是解題的關鍵．8．（2023下·遼寧丹東·七年級統(tǒng)考期中）如圖，若，，則．

【答案】/50度【分析】設與交于點，利用三角形外角的性質以及平行線的性質，求解即可．【詳解】解：設與交于點，如下圖：

利用三角形外角的性質可得∵∴∴故答案為：【點睛】此題考查了三角形外角的性質以及平行線的性質，解題的關鍵是熟練掌握相關基礎性質．9．（2023上·黑龍江大慶·七年級?？奸_學考試）如圖，，，，則．

【答案】/16度【分析】由平行線的性質可求得，結合三角形的外角的性質可求得．【詳解】解：∵，，∴，∵，，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查三角形外角的性質及平行線的性質，掌握兩直線平行，同位角相等及三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵．10．（2023上·河南周口·八年級校考階段練習）如圖，，若，，則的度數(shù)為．

【答案】/39度【分析】根據(jù)：兩直線平行，同位角相等，可得的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質即可求得答案．【詳解】解：∵，，∴，又∵，∴．故答案為：．【點睛】本題考查平行線的性質，三角形外角的性質：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．理解和掌握平行線的性質及三角形外角的性質是解題的關鍵．11．（2023下·遼寧本溪·七年級統(tǒng)考期中）①如圖1，，則；②如圖2，，則；③如圖3，，則；④如圖4，，則．以上結論正確的是．

【答案】②③④【分析】①過點E作直線，由平行線的性質即可得出結論;②過點E作直線，由平行線的性質即可得出結論;③過點E作直線，由平行線的性質可得出;④先根據(jù)三角形外角的性質得出，再根據(jù)兩直線平行，內錯角相等即可作出判斷.【詳解】解：①過點E作直線，∵，∴，∴，∴，故本小題錯誤；②過點E作直線，∵，∴，∴，∴，即，故本小題正確；③過點E作直線，∵，∴，∴，∴，即，故本小題正確；④∵是的外角，∴，∵，∴，即，故本小題正確，

故答案為：②③④．【點睛】本題考查的是平行線的性質及三角形外角的性質，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關鍵.12．（2023上·廣東·八年級專題練習）如圖，，平分，平分交的延長線于點E，若，則的度數(shù)為．

【答案】/68度【分析】如圖，延長交于M．由題意設，．構建方程組證明即可解決問題．【詳解】解：如圖，延長交于M．由題意設，．

則有，得：，∵，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查平行線的性質、角平分線的定義、三角形外角性質等知識，解題的關鍵是熟悉基本圖形，學會添加常用輔助線，學會利用參數(shù)構建方程組解決問題．13．（2023下·浙江杭州·七年級?？计谥校┤鐖D，已知，點為上一點，，平分，（1）若，，則；（2）與之間滿足的數(shù)量關系是．

【答案】【分析】（1）延長，交與點H，令和相交于點I，根據(jù)三角形的外角定理得出，易得，根據(jù)平行線的性質得出，，求出，進而求出，最后根據(jù)三角形的外角定理得出，即可求解；（2）設，則，根據(jù)角平分線的定義的得出，則，進而得出，根據(jù)平行線的性質得出，進而得出，最后根據(jù)三角形的內角和定理得出，列出等式，即可得出結論．【詳解】解：（1）延長，交與點H，令和相交于點I，∵，，∴，∵，，∴，∵，

∴，，∵平分，∴，∴，∴，故答案為：20°；

（2）設，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵，，∴，

∵，∴，∵，，，∴，即，整理得：．故答案為：【點睛】本題主要考查了平行線的性質，三角形的內角和，三角形的外角定理，解題的關鍵是掌握兩直線平行同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補；三角形的內角和為；三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角之和．14．（2023下·山東淄博·七年級統(tǒng)考期中）如圖，，．若，試求的度數(shù)．

【答案】

【分析】根據(jù)平行線的性質得到，再利用三角形的外角性質可以得到解題即可；【詳解】解：（1）∵，，∴，又∵，，∴；【點睛】本題考查平行線的性質，三角形的外角性質．15．（2023下·上?！て吣昙壭？计谥校┤鐖D，，，，求的度數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)平行線的判定及性質，三角形的外角定理即可得出結果．【詳解】解：，，，，，．【點睛】本題考查平行線的判定及性質，三角形的外角定理，熟練運用平行線的判定及性質是本題的關鍵．16．（2023下·河南周口·七年級校聯(lián)考階段練習）（1）已知：如圖1，，求證：；（2）已知：如圖2，，試探求、與之間的數(shù)量關系，并說明理由．

【答案】（1）證明見解析；（2），理由見解析．【分析】（1）根據(jù)平行線性質得出，，即可得出答案；（2）根據(jù)平行線性質求出，，即可得出答案．【詳解】（1）證明：過點作，如圖1所示：，

又，，，即；（2）解：，理由如下：過點作，如圖2所示：，

又，，，又，．【點睛】本題考查了平行線性質的應用，注意：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內錯角相等，③兩直線平行，同旁內角互補．17．（2023下·河南漯河·七年級統(tǒng)考期中）探究題：

(1)如圖，若，則，你能說明理由嗎？(2)若將點移至圖的位置，此時、、之間有什么關系？直接寫出結論．(3)若將點移至圖的位置，此時、、之間有什么關系？直接寫出結論．(4)在圖中，，與之間有何關系？直接寫出結論．【答案】(1)見解析(2)(3)(4)【分析】（1）過點作，由平行線的性質可知，，再由角之間的關系即可得出結論；（2）過點作，由平行線的性質可知，，再由角之間的關系即可得出結論；（3）過點作，由平行線的性質可知，，再由角之間的關系即可得出結論；（4）過點作，用（1）的結論可知，，再由角之間的關系即可得出結論．【詳解】（1）解：相等，過點作，如圖1所示．，，，，．

（2）過點作，如圖2所示．，，，，，，．（3）過點作，如圖3所示．，，，，．（4）過點作，如圖4所示．，結合（1）結論，，，結合（1）結論，，又，．【點睛】本題考查了平行線的性質以及角的計算，根據(jù)平行線的性質得出相等或互補的量是解題的關鍵．18．（2023下·浙江寧波·七年級統(tǒng)考期末）已知直線，和，分別交于，點，點，分別在線，上，且位于的左側，點在直線上，且不和點，重合．(1)如圖1，點P在線段上，，，求的度數(shù)．(2)如圖2，當點P在直線上運動時，試判斷，，的數(shù)量關系，直接寫出結果，不需要說明理由．【答案】(1)65°(2)當在的上方時，∠2＝∠1+∠APB，當在線段上時，；當在的下方時，【分析】（1）過點作，根據(jù)可知，故可得出，再由即可得出結論；（2）分三種情況討論：當在的上方時，當在線段上時，由（1）可得：；當在的下方時，過作，依據(jù)，可得，再利用平行線的性質可得結論．【詳解】（1）證明：如圖，過點作，∵，∴，，．又，∵，，∴；（2）解：．理由如下：當在的上方時，如圖，過作，∵，∴，，，，．當在線段上時，由（1）可得：；當在的下方時，如圖，過作，∵，∴，，，，．【點睛】本題考查的是平行線的性質，平行公理的應用，根據(jù)題意作出輔助線，構造出平行線是解答此題的關鍵．19．（2023下·黑龍江哈爾濱·七年級校考期末）已知直線，直線交于點M，交于點N，平分交于點H，．（本題不允許直接使用三角形內角和定理）

(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)如圖2，若平分，交于點G，求證：；(3)如圖3，在（2）的條件下，點P在上，平分，延長線交于點Q，連接，若，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質得到，再根據(jù)角平分線的性質求出的度數(shù)；（2）作，根據(jù)（1）所求，可求得，再根據(jù)平分，，證明；（3）作，得出，，根據(jù)已知條件求得，根據(jù)平分和，根據(jù)已知角度求出，再作，根據(jù)以上證明方式求出的度數(shù)．【詳解】（1）解：∵，且∴，∵平分∴；∴；（2）證明：作，如下圖所示，

∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴∥，∴，∴，∴；（3）解：作，如下圖所示，∴，，

∵，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，作，如上圖所示，同理可證．【點睛】本題主要考查了平行線的性質和角平分線的性質，根據(jù)已知條件，利用平行線的性質和角平分線的性質是解題的關鍵．20．（2023下·黑龍江哈爾濱·七年級統(tǒng)考期末）有一天李小虎同學用“幾何畫板”畫圖，他先畫了兩條平行線，，然后在平行線間畫了一點E，連接，后（如圖①），他用鼠標左鍵點住點E，拖動后，分別得到如圖②，③，④等圖形，這時他突然一想，，與之間的度數(shù)有沒有某種聯(lián)系呢？接著小虎同學通過利用“幾何畫板”的“度量角度”和“計算”功能，找到了這三個角之間的關系．(1)請直接寫出圖①到圖④各圖中的，與之間的關系嗎？(2)請從圖③④中，選一個說明它成立的理由．【答案】(1)圖①：；圖②：；圖③：；圖④：(2)以圖③為例說明理由見解析【分析】（1）分別過E作，根據(jù)兩直線平行，同位角相等，內錯角相等，同旁內角互補解答；（2）選擇③，過點E作，根據(jù)兩直線平行，內錯角相等可得，，再根據(jù)整理即可得證．【詳解】（1）圖①：；如圖，過點E作，∵，∴，∴，，∴，∴圖②：；如圖，過點E作，∵，∴，∴，，∴，∴；圖③：；證明見小問2詳解；圖④：；如圖，過點E作，∵，∴，∴，，∴，∴（2）以圖③為例：如圖，過點E作，∵，∴，∴，．∵，∴．【點睛】本題考查了平行線的性質，此類題目解題關鍵在于過拐點作平行線，然后借助平行線的性質進行證明．21．（2023下·山東濟寧·七年級統(tǒng)考期中）【問題原型】如圖①，，點M在直線AB、CD之間，請說明，【問題遷移】如圖②，，點M與直線CD分別在AB的兩側，請寫出、、之間有怎樣的數(shù)量關系，不需要證明．

【推廣應用】（1）如圖③，，點M在直線AB、CD之間，的平分線與的平分線交于點N，