專題05 相似三角形中的基本模型之對(duì)角互補(bǔ)模型（原卷版）

專題05相似三角形中的基本模型之對(duì)角互補(bǔ)模型相似三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位。相似三角形與其它知識(shí)點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，難度大，是中考的?？碱}型。如果大家平時(shí)注重解題方法，熟練掌握基本解題模型，再遇到該類問(wèn)題就信心更足了。本專題就對(duì)角互補(bǔ)模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。模型1.對(duì)角互補(bǔ)模型（相似模型）【模型解讀】四邊形或多邊形構(gòu)成的幾何圖形中，相對(duì)的角互補(bǔ)。該題型常用到的輔助線主要是頂定點(diǎn)向兩邊做垂線，從而證明兩個(gè)三角形相似.【常見模型及結(jié)論】1）對(duì)角互補(bǔ)相似1 條件：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，輔助線：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC，垂足為D，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC，垂足為H，結(jié)論：①△ODE～△OHF；②（思路提示：）.2）對(duì)角互補(bǔ)相似 2條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.輔助線：作法1：如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OA，垂足為F，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥OB，垂足為G；結(jié)論：①△ECG～△DCF；②CE＝CD·.（思路提示：，CF=OG，在Rt△COG中，）輔助線：作法2：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OC，交OB于F；結(jié)論：①△CFE～△COD；②CE＝CD·.（思路提示：，在Rt△OCF中，）3）對(duì)角互補(bǔ)相似3 條件：已知如圖，四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°輔助線：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BA，垂足為E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F；結(jié)論：①△DAE～△DCF；②ABCD四點(diǎn)共圓。例1．（2023·成都市·九年級(jí)期中）如圖所示，在中，，，在中，，點(diǎn)P在上，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．當(dāng)時(shí)，的值為（）．A．1 B．2 C．3 D．4例2．（2023·上海普陀·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，過(guò)點(diǎn)C作射線CP∥AB，D為射線CP上一點(diǎn)，E在邊BC上（不與B、C重合）且∠DAE＝45°，AC與DE交于點(diǎn)O．(1)求證：△ADE∽△ACB；(2)如果CD＝CE，求證：CD2＝CO?CA．例3．（2023·廣西河池·校聯(lián)考一模）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】在中，，，，在直角三角板中，，將三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊的中點(diǎn)處，并將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊，分別與邊，交于點(diǎn)，．【猜想證明】如圖，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)為邊的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．【問(wèn)題解決】如圖，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)．

例4．（2022·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如下圖1，將三角板放在正方形上，使三角板的直角頂點(diǎn)與正方形的頂點(diǎn)重合，三角板的一邊交于點(diǎn)．另一邊交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．（1）觀察猜想：線段與線段的數(shù)量關(guān)系是；（2）探究證明：如圖2，移動(dòng)三角板，使頂點(diǎn)始終在正方形的對(duì)角線上，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明：若不成立．請(qǐng)說(shuō)明理由：（3）拓展延伸：如圖3，將（2）中的“正方形”改為“矩形”，且使三角板的一邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，其他條件不變，若、，求的值．例5．（2023·成都市·九年級(jí)專題練習(xí)）已知在中，，，點(diǎn)在上，且．

當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)、分別在線段、上時(shí)（如圖）．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)剿髋c之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；當(dāng)，①點(diǎn)、分別在線段、上，如圖時(shí)，請(qǐng)寫出線段、之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．②當(dāng)點(diǎn)、分別在線段、的延長(zhǎng)線上，如圖時(shí)，請(qǐng)判斷①中線段、之間的數(shù)量關(guān)系是否還存在．（直接寫出答案，不用證明）例6．（2023浙江中考二模）（1）特例感知：如圖1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC邊上中點(diǎn)D，連接AD，點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn)，連接DE，作DF⊥DE交AC于點(diǎn)F，求證：BE＝AF；（2）探索發(fā)現(xiàn)：如圖2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC邊上中點(diǎn)D，連接AD，點(diǎn)E為BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，AE＝1，連接DE，作DF⊥DE交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求AF的長(zhǎng)；（3）類比遷移：如圖3，已知在ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC邊上中點(diǎn)D，連接AD，點(diǎn)E為射線BA上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），連接DE，將射線DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°交射線CA于點(diǎn)F，當(dāng)AE＝4AF時(shí)，求AF的長(zhǎng)．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022·黑龍江·雞西九年級(jí)期末）如圖，在Rt中，，，，在Rt中，，點(diǎn)在上，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為（

）A．4 B．6 C． D．2．（2023廣東九年級(jí)期中）如圖，中，，平分，，連接，并延長(zhǎng)分別交，于點(diǎn)和點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為（）A．10 B．12 C．15 D．163．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）在菱形中，，對(duì)角線交于點(diǎn)，分別是邊上的點(diǎn)，且與交于點(diǎn)，則的值為．

4．（2023·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知△ABC是等邊三角形,D是AC的中點(diǎn),F為AB邊上一點(diǎn),且AF=2BF,E為射線BC上一點(diǎn),∠EDF=120°,則=.5．（2023·安徽·九年級(jí)專題練習(xí)）點(diǎn)是內(nèi)一點(diǎn)，平分，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．(1)如圖，若，證明：；(2)如圖，若，證明：；(3)如圖，若，，，，求的值．

6．（2023秋·山西忻州·九年級(jí)?？计谀┚C合與實(shí)踐問(wèn)題情境：在學(xué)習(xí)了三角形的相似后，同學(xué)們開始了對(duì)不同三角形中的相似模型的探究．猜想推理：（1）如圖1，在等邊中，D為邊上一點(diǎn)，E為邊上一點(diǎn)，，，，則______．問(wèn)題解決：（2）如圖2，是等邊三角形，D是的中點(diǎn)，射線，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，且，求證：．（3）如圖3，，，，D是的中點(diǎn)，射線，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，且，求的值．

7．（2023廣東深圳三模試題）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，在正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，邊與邊交于點(diǎn)，邊與邊交于點(diǎn)．證明：；

（2）【類比遷移】如圖2，矩形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，且，．在矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，邊與邊交于點(diǎn)，邊與邊交于點(diǎn)．若，求的長(zhǎng)；（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，四邊形和四邊形都是平行四邊形，且，，，是直角三角形．在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，邊與邊交于點(diǎn)，邊與邊交于點(diǎn)．當(dāng)與重疊部分的面積是的面積的時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．

8．（2023遼寧九年級(jí)月考）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，把一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)D處，將三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)且使兩條直角邊分別交AB、AC于E、F.（1）如圖1，觀察旋轉(zhuǎn)過(guò)程，猜想線段AF與BE的數(shù)量關(guān)系并證明你的結(jié)論；（2）如圖2，若連接EF，試探索線段BE、EF、FC之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的結(jié)論（不需證明）；（3）如圖3，若將“AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)”改為：“∠B=30°，AD⊥BC于點(diǎn)D”，其余條件不變，探索（1）中結(jié)論是否成立？若不成立，請(qǐng)?zhí)剿麝P(guān)于AF、BE的比值.9．（2023浙江九年級(jí)月考）如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)P為射線AB上的一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q為邊AC上的一動(dòng)點(diǎn),且∠PDQ=90°.(1)當(dāng)DP⊥AB時(shí)，求CQ的長(zhǎng)；(2)當(dāng)BP=2，求CQ的長(zhǎng)；(3)連結(jié)AD，若AD平分∠PDQ，求DP：DQ.10．（2023·山東德州·統(tǒng)考二模）如圖1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)E是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，直角∠GEF的兩直角邊EF、EG分別交CD、BC于點(diǎn)F、G．（1）若點(diǎn)F是邊CD的中點(diǎn)，求EG的長(zhǎng)．（2）當(dāng)直角∠GEF繞直角頂點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中與邊CD、BC交于點(diǎn)F、G．∠EFG的大小是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不變，請(qǐng)求出tan∠EFG的值．（3）當(dāng)直角∠GEF繞頂點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中與邊CD、BC所在的直線交于點(diǎn)F、G．在圖2中畫出圖形，并判斷∠EFG的大小是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不變，請(qǐng)直接寫出tan∠EFG的值．（4）如圖3，連接CE交FG于點(diǎn)H，若，請(qǐng)求出CF的長(zhǎng)．11．（2023秋·河南商丘·九年級(jí)校聯(lián)考期末）綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境：在中，．直角三角板中，將三角板的直角頂點(diǎn)D放在斜邊的中點(diǎn)處，并將三角板繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊分別與邊交于點(diǎn)M，N，猜想證明：(1)如圖①，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)M為邊的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；問(wèn)題解決：(2)如圖②，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；12．（2023·廣西欽州·?？寄M預(yù)測(cè)）綜合與探究問(wèn)題提出：某興趣小組在綜合與實(shí)踐活動(dòng)中提出這樣一個(gè)問(wèn)題：在等腰直角三角板ABC中，，，D為的中點(diǎn)，用兩根小木棒構(gòu)建直角，將項(xiàng)點(diǎn)放置于點(diǎn)D上，得到，將繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，射線分別與邊交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，如圖1所示．

(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)E、F分別是的中點(diǎn)時(shí)，試猜想線段與的數(shù)量關(guān)系是_____．(2)類比探究：由圖1抽象出圖2，當(dāng)E、F不是的中點(diǎn)，但滿足時(shí)，求證：是等腰直角三角形．(3)拓展應(yīng)用：如圖3，將兩根小木棒構(gòu)建的直角，放置于邊長(zhǎng)為2的正方形紙板上，頂點(diǎn)和正方形對(duì)角線的中點(diǎn)O重合，射線分別與交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，請(qǐng)求出四邊形的面積．13．（2023·北京延慶·九年級(jí)期中）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，已知：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為邊AB上一點(diǎn)，連結(jié)DE，過(guò)點(diǎn)D作DE的垂線與直線AC交于點(diǎn)F，連結(jié)EF．求證：AF=BE．探究過(guò)程：經(jīng)過(guò)分析小明發(fā)現(xiàn)，△ADF≌△BED，然后根據(jù)全三角形的性質(zhì)：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，可以得到AF=BE．請(qǐng)你根據(jù)小明的探究過(guò)程解決以下問(wèn)題：(1)探索發(fā)現(xiàn)：如圖2，若點(diǎn)E為邊AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，其他條件不變，AF與BE還相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．(2)類比遷移：如圖3，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E為邊AB上一點(diǎn)，連結(jié)DE，以DE為一邊作∠EDF=60°，交直線AC于點(diǎn)F，且AE=2AF．請(qǐng)你依據(jù)題意補(bǔ)全圖形，若AB=4，求AF的長(zhǎng)．14．（2023·四川成都·統(tǒng)考中考真題）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，某興趣小組擬做以下探究．在中，，D是邊上一點(diǎn)，且（n為正整數(shù)），E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作的垂線交直線于點(diǎn)F．

【初步感知】(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，興趣小組探究得出結(jié)論：，請(qǐng)寫出證明過(guò)程．【深入探究】(2)①如圖2，當(dāng)，且點(diǎn)F在線段上時(shí)，試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出結(jié)論并證明；②請(qǐng)通過(guò)類比、歸納、猜想，探究出線段之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫出結(jié)論，不必證明）【拓展運(yùn)用】(3)如圖3，連接，設(shè)的中點(diǎn)為M．若，求點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)（用含n的代數(shù)式表示）．15．（2023·廣東九年級(jí)期中）在△ABC中，，AC=4，BC=3，點(diǎn)D是斜