2.3設計軸對稱圖案（四大題型）

（蘇科版）八年級上冊數(shù)學《第2章軸對稱圖形》2.3設計軸對稱圖案知識點知識點利用軸對稱設計圖案◆利用軸對稱設計圖案利用軸對稱設計圖案關鍵是熟悉軸對稱的性質，利用軸對稱的作圖方法來作圖，通過變換對稱軸來得到不同的圖案.1、判斷一個圖案是不是軸對稱圖案，關鍵是看圖案上的對稱點的連線能否同時被某條直線垂直平分.2、畫軸對稱圖案的對稱軸時，可分兩步來畫：（1）找出圖案上的任意一對對稱點；（2）連接這對對稱點，畫對稱點連線的垂直平分線.3、畫軸對稱圖形（1）過已知點A作對稱軸l的垂線，垂足為O，在垂線上截取OA′，使OA′=OA，則點A′就是點A的對稱點；（2）用同樣的方法作出其它關鍵點的對稱點；（3）將所作的對稱點順次連接，就得到它的軸對稱圖形.題型一題型一畫已知圖形的軸對稱圖形【例題1】分別以直線l為對稱軸，所作軸對稱圖形錯誤的是（）A． B． C． D．【分析】沿直線對折，直線兩旁的部分能完全重合即可．【解答】解：根據(jù)軸對稱的定義可得C沿l對折不能重合，故選：C．【點評】此題主要考查了軸對稱圖形，關鍵是掌握沿直線對折，直線兩旁的部分能完全重合．解題技巧提煉軸對稱圖形或成軸對稱的兩個圖形的對稱軸的畫法，步驟如下：1．找出軸對稱圖形或成軸對稱的兩個圖形的任意一對對應點；2．連接這對對應點；3．畫出對應點所連線段的垂直平分線．這條垂直平分線就是該軸對稱圖形或成軸對稱的兩個圖形的對稱軸．【變式11】如圖，分別以直線l為對稱軸，所作對稱軸圖形錯誤的是（）A． B． C． D．【分析】沿直線對折，判斷直線兩旁的部分是否能完全重合即可．【解答】解：根據(jù)軸對稱的定義可得D沿l對折不能重合，故選：D．【點評】此題主要考查了軸對稱圖形，關鍵是掌握沿直線對折，直線兩旁的部分能完全重合．【變式12】在下面各圖中畫△A′B′C′，使△A′B′C′與△ABC關于l成軸對稱圖形．【分析】分別找出點A、B、C關于直線l的對稱點A′、B′、C′的位置，然后順次連接即可．【解答】解：△A′B′C′如圖所示．【點評】本題考查了利用軸對稱變換作圖，找出對稱點A′、B′、C′的位置是解題的關鍵．【變式13】（2022春?榆林期末）以圖中的虛線為對稱軸畫出該圖形的另一半．【分析】根據(jù)軸對稱變換的性質作出圖形即可．【解答】解：圖形如圖所示：【點評】本題考查作圖﹣軸對稱變，解題的關鍵是掌握軸對稱變換的性質，屬于中考?？碱}型．【變式14】（2023春?西安期末）如圖，直線l是一個軸對稱圖形的對稱軸，在網格中畫出這個軸對稱圖形的另一半．?【分析】根據(jù)軸對稱的性質找出對應點即可求解．【解答】解：這個軸對稱圖形的另一半如圖所示．【點評】本題考查了作圖﹣軸對稱變換，熟練掌握軸對稱變換的性質是解題的關鍵．【變式15】（2023春?西安期末）如圖，以虛線為對稱軸在方格紙上畫出圖形的另一半．?【分析】根據(jù)軸對稱的性質作圖即可．【解答】解：如圖所示．【點評】本題考查作圖﹣軸對稱變換，熟練掌握軸對稱的性質是解答本題的關鍵．【變式16】（2023春?永壽縣期末）如圖，圖1是一個軸對稱圖形，圖2是一個軸對稱圖形的一半．（1）畫出圖1的對稱軸，并標出點A的對應點A′．（2）請以虛線為對稱軸，畫出圖2的另一半．【分析】（1）根據(jù)軸對稱的性質畫出對稱軸即可；（2）根據(jù)軸對稱的性質畫出圖形即可．【解答】解：（1）如圖1所示；（2）如圖2所示．【點評】本題主要考查作圖—軸對稱變換，解題的關鍵是掌握軸對稱圖形的定義和性質，并據(jù)此得出變換后的對應點．【變式17】如圖，將已知四邊形分別在方格紙上補成以已知直線l為對稱軸的軸對稱圖形．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的對應點被對稱軸垂直平分的性質進行畫圖即可．【解答】解：如圖所示：【點評】本題主要考查作圖﹣軸對稱變換，關鍵在于熟練掌握軸對稱的性質．【變式18】（2023春?沈北新區(qū)期末）作圖題（不要求寫作法）：如圖，在10×5的方格紙中，有一個格點四邊形ABCD（即四邊形的頂點都在格點上）．在給出的方格紙中，畫出四邊形ABCD關于直線l對稱的四邊形A1B1C1D1．?【分析】軸對稱圖形對應點到對稱軸的距離相等，利用此性質找對應點，順次連接即可．【解答】解：所作圖形如下所示．【點評】本題考查了軸對稱作圖的知識，解答本題的關鍵是利用軸對稱性質作出關鍵點的對稱點．【變式19】（2023春?丹東期末）在圖示的正方形網格紙中，每個小正方形的邊長都是1，△ABC的三個頂點都在小正方形的頂點處，直線MN與網格中豎直的線相重合．（1）直接寫出△ABC的面積；（2）作出△ABC關于直線MN對稱的△A'B'C'；（3）在網格內找一點D，使點D到線段BC，B'C'的距離相等且DB＝DC．（在網格上直接標出點D的位置，不寫作法）【分析】（1）把三角形的面積看成矩形的面積減去周圍的三個三角形面積即可；（2）利用軸對稱變換的性質分別作出A，B，C的對應點A′，B′，C′即可；（3）作線段BC的垂直平分線交MN于點D，點D即為所求．【解答】解：（1）△ABC的面積＝4×5?12×1×5?（2）如圖，△A′B′C′即為所求；（3）如圖，點D即為所求．【點評】本題考查作圖﹣軸對稱變換，三角形的面積等知識，解題的關鍵是掌握軸對稱變換的性質，學會用割補法求三角形面積，屬于中考?？碱}型．題型二利用網格設計軸對稱圖形題型二利用網格設計軸對稱圖形【例題2】（2023?余姚市二模）由24個邊長為1的小正方形組成的6×4的網格中，線段AB的兩個端點都在格點（小正方形的頂點）上．請在所給的網格中各畫一個△ABC，使得△ABC是軸對稱圖形，并畫出其對稱軸．（畫出兩種情況即可，全等圖形視為一種情況）【分析】以AB為腰和底兩種情況作圖即可．【解答】解：如圖，以AB為腰，AO為對稱軸；如圖，以AB為底作等腰三角形，CM為對稱軸；【點評】本題考查利用網格作圖，掌握等腰三角形的判定定理是解題的關鍵．解題技巧提煉利用網格軸對稱設計圖案，正確掌握軸對稱圖形的定義是解題關鍵，①先確定圖形的關鍵點；②利用軸對稱性質作出關鍵點的對稱點；③按原圖形中的方式順次連接對稱點．【變式21】（2022?威縣校級模擬）如圖，在由小正方形組成的網格圖中再涂黑一個小正方形，使它與原來涂黑的小正方形組成的新圖案為軸對稱圖形，則涂法有（）A．1種 B．2種 C．3種 D．4種【分析】直接利用軸對稱圖形的性質得出符合題意的答案．【解答】解：如圖所示：將①②③位置涂成黑色，能使整個陰影部分成為軸對稱圖形，故選：C．【點評】此題主要考查了利用軸對稱設計圖案，正確掌握軸對稱圖形的定義是解題關鍵．【變式22】如圖，在小方格中畫與△ABC成軸對稱的三角形（不與△ABC重合），這樣的三角形能畫出（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)軸對稱圖形的性質得出符合題意的答案．【解答】解：如圖所示：符合題意的有3個三角形．故選：C．【點評】此題主要考查了利用軸對稱設計圖案，正確把握軸對稱圖形的性質是解題關鍵．【變式23】（2022春?來賓期末）如圖，A、B在方格紙的格點位置上．在網格圖中再找一個格點C，使它們所構成的三角形為軸對稱圖形；這樣的格點C共有的個數(shù)為（）A．6個 B．8個 C．10個 D．12個【分析】根據(jù)軸對稱圖形的定義，找出C點位置即可．【解答】解：如圖所示：，共10個，故選：C．【點評】此題主要考查了利用軸對稱設計圖案，關鍵是掌握軸對稱圖形：是沿一條直線對折后，直線兩旁的部分能完全重合的圖形．【變式24】（2022春?平遠縣期末）如圖，在2×2的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1．請分別在下列圖中畫一個位置不同、頂點都在格點上的三角形，使其與△ABC成軸對稱圖形．【分析】根據(jù)軸對稱圖形的性質，不同的對稱軸，可以有不同的對稱圖形，所以可以稱找出不同的對稱軸，再思考如何畫對稱圖形．【解答】畫對任意三種即可．．【點評】此題考查的是利用軸對稱設計圖案，基本作法：①先確定圖形的關鍵點；②利用軸對稱性質作出關鍵點的對稱點；③按原圖形中的方式順次連接對稱點．【變式25】如圖，把直角三角形放置在4×4方格紙上，三角形的頂點都在格點上．在方格紙上用三種不同的方法畫出與已知三角形成軸對稱的三角形．（要求：畫出的三角形的頂點都在格點上，不涂黑）【分析】直接利用軸對稱圖形的性質進而得出符合題意的答案即可．【解答】解：如圖1，2，3所示，即為所求；．【點評】此題主要考查了軸對稱變換，正確掌握軸對稱圖形的性質是解題關鍵．【變式26】（2022春?雅安期末）如圖，由邊長為1的小等邊三角形構成的網格圖中，有3個小等邊三角形已涂上陰影．在余下的空白小等邊三角形中選取一個涂上陰影，使得4個陰影等邊三角形組成一個軸對稱圖形，符合選取條件的空白小等邊三角形有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【分析】直接利用軸對稱圖形的性質進而得出符合題意的圖形即可．【解答】解：軸對稱圖形如1所示．故符合選取條件的空白小等邊三角形有4個，故選：C．【點評】本題考查利用軸對稱設計圖案，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．【變式27】三角形稱為格點三角形．圖中的△ABC為格點三角形，在圖中最多能畫出個格點三角形與△ABC成軸對稱．【分析】根據(jù)網格結構分別確定出不同的對稱軸，然后作出軸對稱三角形即可得解【解答】解：如圖，最多能畫出6個格點三角形與△ABC成軸對稱．故答案為：6．【點評】本題考查了利用軸對稱變換作圖，熟練掌握網格結構并準確找出對應點的位置是解題的關鍵，本題難點在于確定出不同的對稱軸．【變式28】（2022?華鎣市模擬）如圖是4×4正方形網格，其中已有3個小方格涂成了黑色．現(xiàn)在要從其余13個白色小方格中選出一個涂成黑色，使整個涂成黑色的圖形成為軸對稱圖形．在下面每個網格中畫出一種符合要求的圖形（畫出三種即可）．【分析】根據(jù)軸對稱的性質設計出圖案即可．【解答】解：如圖所示．．【點評】本題考查的是利用軸對稱設計圖案，熟知軸對稱的性質是解答此題的關鍵．【變式29】（2022春?鹽湖區(qū)期末）下列正方形網格圖中，部分方格涂上了陰影，請按照不同要求作圖．（1）如圖①，整個圖形是軸對稱圖形，畫出它的對稱軸．（2）如圖②，將某一個方格涂上陰影，使整個圖形有兩條對稱軸．（3）如圖③，將某一個方格涂上陰影，使整個圖形有四條對稱軸．【分析】（1）根據(jù)軸對稱圖形的性質作出對稱軸即可；（2）根據(jù)要求畫出圖形即可；（3）根據(jù)要求畫出圖形即可．【解答】解：（1）如圖①中，直線m即為所求；（2）如圖②中，圖形即為所求；（3）如圖③中，圖形即為所求．【點評】本題考查利用軸對稱設計圖案，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．題型三利用軸對稱解決臺球準確擊球問題題型三利用軸對稱解決臺球準確擊球問題圖形【例題3】如圖是一個經過改造的規(guī)格為4×7的臺球桌面示意圖，圖中四個角上的陰影部分分別表示四個入球孔，如果一個球按圖中所示的方向被擊出（球可以經過臺球邊緣多次反彈），那么球最后將落入的球袋是（）A．1號袋 B．2號袋 C．3號袋 D．4號袋【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，由軸對稱的性質判定正確選項．【解答】解：根據(jù)軸對稱的性質可知，臺球走過的路徑為：所以球最后將落入的球袋是4號袋，故選：D．【點評】本題主要考查了軸對稱的性質．軸對稱的性質：（1）對應點所連的線段被對稱軸垂直平分；（2）對應線段相等，對應角相等．注意結合圖形解題的思想；嚴格按軸對稱畫圖是正確解答本題的關鍵．解題技巧提煉與光線入射角類似的問題還有“臺球反彈問題”，根據(jù)根據(jù)網格結構作出球的運動路線是解題的關鍵．【變式31】數(shù)學在我們的生活中無處不在，就連小小的臺球桌上都有數(shù)學問題．如圖所示，∠1＝∠2．若∠3＝25°，為了使白球反彈后能將黑球直接撞入底袋中，那么擊打白球時，必須保證∠1為（）A．65° B．75° C．55° D．85°【分析】利用∠2+∠3＝90°，進而求出∠2的度數(shù)，再利用∠1＝∠2即可得出答案．【解答】解：∵由題意可得：∠2+∠3＝90°，∠3＝25°，∴∠2＝65°，∵∠1＝∠2，∴∠1＝65°．故選：A．【點評】此題主要考查了生活中的軸對稱現(xiàn)象，得出∠2的度數(shù)是解題關鍵．【變式32】如圖，桌面上有M、N兩球，若要將M球射向桌面的任意一邊，使一次反彈后擊中N球，則4個點中，可以瞄準的是（）A．點A B．點B C．點C D．點D【分析】要擊中點N，則需要滿足點M反彈后經過的直線過N點，畫出反射路線即可得出答案．【解答】解：可以瞄準點D擊球．故選：D．【點評】本題考查了軸對稱的知識，注意結合圖形解答，不要憑空想象，實際操作一下．【變式33】一個臺球桌面如圖所示，一個球在桌面上的點A滾向桌邊的PQ，碰著PQ上的點B后便反彈而滾向桌邊RS，碰著RS上的點C便反彈而滾向桌邊PQ上的點D，如此運動，球經過D點反彈到RQ上的點E，經過E點反彈到RS上的點F．如果PQ∥RS，RQ⊥PQ，SP⊥QP，AB、BC、CD、DE、EF都是線段，且∠ABC的平分線BN⊥PQ，∠BCD的平分線CM⊥RS，∠CDE的平分線DG⊥PQ，∠DEF的平分線EH⊥QR，且∠ABP＝65°，那么∠REF的度數(shù)是（）A．20° B．25° C．30° D．35°【分析】根據(jù)已知條件得到RQ∥SP，∠DQE=90°，根據(jù)角平分線的定義得到∠ABN=∠CBN，根據(jù)角的和差得到∠CBD=∠ABP=65°，同理∠BCS=∠DCR=∠CDP=∠QDE=65°，于是得到結論．【解答】解：∵RQ⊥PQ，SP⊥QP，∴RQ∥SP，∠DQE＝90°，∵BN⊥PQ，CM⊥RS，DG⊥PQ，∴BN∥CM∥DG，∵BN平分∠ABC，∴∠ABN＝∠CBN，∵∠PBN＝∠QBN＝90°，∴∠CBD＝∠ABP＝65°，同理∠BCS＝∠DCR＝∠CDP＝∠QDE＝65°，∴∠QED＝90°﹣65°＝25°，∵∠DEF的平分線EH⊥QR，∴∠QEH＝∠REH＝90°，∠DEH＝∠FEH＝65°，∴∠REF＝25°，故選：B．【點評】本題考查了生活中的軸對稱現(xiàn)象，垂線，平行線的判定和性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．【變式34】如圖，長方形臺球桌ABCD上有兩個球P，Q．（1）請畫出一條路徑，使得球P撞擊臺球桌邊AB反彈后，正好撞到球Q；（2）請畫出一條路徑，使得球P撞擊臺球桌邊，經過兩次反彈后，正好撞到球Q．【分析】（1）作點P關于AB是對稱點P′，連接QP′交AB于M，點M即為所求．（2）作點P關于AB是對稱點P′，點Q關于BC的對稱點Q′，連接QP′交AB于E，交BC于F，點E，點F即為所求．【解答】解：（1）如圖，運動路徑：P→M→Q，點M即為所求．（2）如圖，運動路徑：P→E→F→Q，點E，點F即為所求．【點評】本題考查軸對稱的應用，解題的關鍵是學會利用軸對稱解決實際問題．【變式35】一個臺球桌的桌面PQRS如圖所示，一個球在桌面上的點A滾向桌邊PQ，碰著PQ上的點B后便反彈而滾向桌邊RS，碰著RS上的點C便反彈而滾向點D．已知PQ∥RS，AB，BC，CD都是直線，且∠ABC的平分線BN⊥PQ，∠BCD的平分線CM⊥RS．求證：CD∥AB．【分析】證明∠ABC＝∠DCB，即可推出CD∥AB．【解答】證明：∵PQ∥RS，CM⊥RS，BN⊥PQ，∴CM∥BN，∴∠MCB＝∠NBC，∵CM平分∠BCD，BN平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠NBC，∠DCB＝2∠MCN，∴∠ABC＝∠DCB，∴CD∥AB．【點評】本題考查生活中的平移，平行線的判定和性質，角平分線的定義等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．題型四剪紙問題題型四剪紙問題圖形【例題4】將一圓形紙片對折后再對折，得到下圖，然后沿著圖中的虛線剪開，得到兩部分，其中一部分展開后的平面圖形是（）A． B． C． D．【分析】嚴格按照圖中的方法親自動手操作一下，即可很直觀地呈現(xiàn)出來．【解答】解：根據(jù)題意知，剪去的紙片一定是一個四邊形，且對角線互相垂直．故選：C．【點評】本題主要考查學生的動手能力及空間想象能力．對于此類問題，學生只要親自動手操作，答案就會很直觀地呈現(xiàn)．解題技巧提煉一張紙經過折和簡的過程，會形成一個軸對稱圖案，解決這類問題要熟知軸對稱圖形的特點，關鍵是準確的找到對稱軸，一般方法時動手操作，拿張紙按照題目的要求剪出圖案，展開即得到正確的圖案．【變式41】如圖所示，把一個正方形對折兩次后沿虛線剪下，展開后所得的圖形是（）A． B． C． D．【分析】此類問題只有動手操作一下，按照題意的順序折疊，剪開，觀察所得的圖形，可得正確的選項．【解答】解：按照題意，動手操作一下，可知展開后所得的圖形是選項B．故選：B．【點評】對于一下折疊、展開圖的問題，親自動手操作一下，可以培養(yǎng)空間想象能力．【變式42】將一圓形紙片對折后再對折，得到如圖所示，然后沿著圖中的虛線剪去一個角（即△OMN），再將余下部分展開后的平面圖形是（）A． B． C． D．【分析】嚴格按照圖中的方法親自動手操作一下，即可很直觀地呈現(xiàn)出來．【解答】解：沿圖中的虛線剪下，展開后得到的平面圖形是一個四邊形，其四條邊相等，且對角線互相垂直．故中間部分其是一個菱形．故選：C．【點評】本題主要考查學生的動手能力及空間想象能力．對于此類問題，學生只要親自動手操作，答案就會很直觀地呈現(xiàn)，同時要注意菱形的判斷方法．【變式43】將一正方形紙片沿對角線對折得到如圖，然后沿圖中的虛線剪掉陰影部分，則剩下部分全部展開后的平面圖形是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)正方形的性質以及虛線剪掉陰影部分為等腰直角三角形，進而得出剩下部分全部展開后的平面圖形形狀．【解答】解：∵將一正方形紙片沿對角線對折得到如圖，∴此時是等腰直角三角形，∵再沿圖中的虛線剪掉陰影部分，此時剪掉的是一個等腰直角三角形，且斜邊與此時大等腰直角三角形斜邊平行，∴展開圖是中間為正方形且各邊與原正方形各邊平行．故選：B．【點評】此題主要考查了剪紙問題以及正方形的性質，此題培養(yǎng)同學們動手能力以及想象能力．【變式44】（2022?麗水一模）將一個正方形紙片對折后對折再對折，得到如圖所示的圖形，然后將陰影部分剪掉，把剩余部分展開后的平面圖形是（）A． B． C． D．【分析】嚴格按照圖中的方法親自動手操作一下，即可很直