第二章 一元二次方程全單元教案-2022秋北師大版九年級上冊數學

2.1認識一元二次方程

第1課時一元二次方程

1.了解一元二次方程的概念；（重點）

2.掌握一元二次方程的一般形式加+公+。=03,b,c為常數，aWO）,能分清二次

項、一次項與常數項以及二次項系數、一次項系數等，會把一元二次方程化成一般形式；（重

點）

3.能根據具體問題的數量關系，建立方程的模型.（難點）

一、情景導入

一個面積為120m2的矩形苗畫，它的長比寬多2m,苗圃的長和寬各是多少？

設苗圃的寬為xm,則長為（x+2）m.

根據題意，得x（x+2）=120.

所列方程是否為一元一次方程？

（這個方程便是即將學習的一元二次方程.）

二、合作探究

探究點一：一元二次方程的概念

［類型一］判定一元二次方程

砸1下列方程中，是一元二次方程的是（填入序號即可）.

V21

②2?_彳_3=0；（3>^=3；

④/=2+3x；⑤A3—x+4=0；⑥產=2；

⑦/+3x--=0；?yjx1—x=2.

X

解析：由一元二次方程的定義知③⑤⑦⑧不是，答案為①②④⑥.

方法總結：判斷一個方程是不是一元二次方程，先看它是不是整式方程，若是，再對它

進行整理，若能整理為a?+法+C=0（mb,。為常數，aHO）的形式，則這個方程就是一元

二次方程.

【類型二】根據一元二次方程的概念求字母的值

圓?a為何值時，下列方程為一元二次方程？

(\)ax1—x=2x1—ax—3\

(2)(a—1W］+2x—7=0.

解析：(1)將方程轉化為一般形式，得(。-2)/+伍-1)小+3=0,所以當a-2W0,即aW2

時，原方程是一元二次方程；(2)由⑷+1=2,且。一1片0知，當。=一1時，原方程是一元

二次方程.

解：(1)當。工2時，方程加一工二！？一如一3為一元二次方程；

(2)因為⑷+1=2,所以。=±1.當a=l時，a—1=0,不合題意，舍去.所以當°=一1

時，原方程為一元二次方程.

方法總結：用一元二次方程的定義求字母的值的方法：根據未知數的最高次數等于2,

列出關于某個字母的方程，再排除使二次項系數等于0的字母的值.

［類型三］一元二次方程的一般形式

砸1把下列方程轉化成一元二次方程的一般形式，并指出二次項系數、一次項系數和

常數項：

(1)x(x—2)=4?—3x：

x2x+1-x~1

⑵:

322

(3)關于x的方程如2一代+如+加=4一〃(旭+〃力0).

解析：首先對上述三個方程進行整理，通過“去分母，去括號，移項，合并同類項”等

步驟將它們化為一般形式，再分別指出二次項系數、一次項系數和常數項.

解：(1)去括號，得^一右二3一?尤移項、合并同類項，得*2—彳=0.二次項系數為3,

一次項系數為一1,常數項為0;

(2)去分母，得2?—3伏+1)=3(一為一1).去括號、移項、合并同類項，得2?=0.二次

項系數為2,一次項系數為0,常數項為0：

(3)移項、合并同類項，得(zn+kk+S?—〃)x+p—q=0.二次項系數為〃?+〃，一次項系

數為小一〃，常數項為p—q.

方法總結：(1)在確定一元二次方程各項系數時，首先把一元二次方程轉化成一般形式，

如果在一般形式中二次項系數為負，那么最好在方程左右兩邊同乘一1,使二次項系數變?yōu)?/p>

正數；

(2)指出一元二次方程的各項系數時，一定要帶上前面的符號；

(3)一元二次方程轉化為一般形式后，若沒有出現一次項加，則方=0;若沒有出現常數

項c,則c=0.

探究點二：建立一元二次方程模型

硒1如圖，現有一張長為19cm,寬15cm的長方形紙片，需要在四個頂角處剪去邊長

是多少的小正方形，才能將其做成底面積為81cm2的無蓋長方體紙盒？請根據題意列出方程.

解析：小正方形的邊長即為紙盒的高，中間虛線部分則為紙盒底面，設出未知數，利用

長方形面積公式可列出方程.

AD

R

解：設需要剪去的小正方形邊長為xcm,則紙盒底面的長方形的長為(19-2x)cm,寬為

(15—2r)cm.

根據題意，得(19-2x)(15-20=81.整理，得％2—17x+51=0(x＜冷).

方法總結：列方程最重要的是審題，只有理解題意，才能恰當地設出未知數，準確地找

出已知量和未知量之間的等量關系，正確地列出方程.在列出方程后，還應根據實際需求,

注明自變量的取值范圍.

三、板書設計

〃概念：只含有一個未知數X的整式方

程，并且都可以化成組2+隊+。

=0(a,b,c為常數，aWO)的形式

一般形式：o^+bx+cu。(a,b,c為常

一元二次方程5

數，a#0),其中奴bx,c

分別稱為二次項、一次項和

常數項，/b分別稱為二次

、項系數和一次項系數

本課通過豐富的實例，讓學生觀察、歸納出一元二次方程的有關概念，并從中體會方程

的模型思想.通過本節(jié)課的學習，應該讓學生進一步體會一元二次方程也是刻畫現實世界的

一個有效數學模型，初步培養(yǎng)學生的數學來源于實踐又反過來作用于實踐的辯證唯物主義觀

點，激發(fā)學生學習數學的興趣.

第二章元二次方程

2.1認識一元二次方程

第1課時一元二次方程

1、經歷抽象一元二次方程的概念的過程，進一步體會方程是刻畫現實世界

教學

g的一個有效數學模型。

日杯_______________________________________________________________________

2、經歷方程解的探索過程，增進對方程解的認識，發(fā)展估算意識和能力。

重點：認識產生一元二次方程知識的必要性

難點：列方程的探索過程

【教學過程】

一、學前準備：

1、什么叫方程？

2、什么叫一元一次方程?

二、問題探究：

探究一：根據題意，列出方程

1、藝術設計

一塊四周鑲有寬度相等的花邊的地毯如圖所示，它的長為8m,寬為5m。

如果地毯中央長方形圖案的面積為18m2,那么花邊有多寬？

如果設所求的寬度為xm,你能列出怎樣的方程？om

2、梯子移動

一個長為10m的梯子斜靠在墻上,梯子的頂端距地面的垂直距離為8mo

如果梯子的頂端下滑1m,那么梯子的底端滑動多少米？

如果設梯子底端滑動xm,你能列出怎樣的方程？

探究二:

備注

1、上述兩個方程有什么共同特點？

2、你還能寫出具備上述特征的方程嗎？

綜上有：

一元二次方程的定義：______________________________________

一元二次方程的一般式：____________________________________

三、課堂檢測：

（一）、判斷題（是一無二次方程的在括號內劃“巾‘，不是一元二次方程

的，在括號內劃“x”）

1.5^+1=0()2.3^+-+1=0()

x

3.4f=or（其中a為常數）（）4.2X2+3X=0()

53x*2+l

=2x()6.yj(x2+x)2=2x()

5

（二）、填空題.

1.方程5a2一亞/1）二一3亞戶2的一般形式是,其二次項是

，一次項是,常數項是.

2.如果方程加+5=（x+2）（x—1）是關于x的一元二次方程，則a.

3.關于x的方程（m—4）x2+（m+4）x+2m+3=0,當m時，是一元二次

方程，當m時，是一元一次方程。

四、學習體會：

五、課后作業(yè)

第2課時一元二次方程的解及其估算

鰭I

1.經歷一元二次方程的解或近似解的探索過程，增進對方程解的認識；（重點）

2.會用“夾逼法”估算方程的解，培養(yǎng)學生的估算意識和能力.（難點）

一、情景導入

在上一課時情境導入中，苗圃的寬滿足方程工。+2）=120,你能求出該方程的解嗎?

二、合作探究

探究點一：一元二次方程的解

的U下列哪些數是方程F—6x+8=0的根？

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.

解析：把0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10分別代入方程如一6工+8=0中，發(fā)現當

x=2和x=4時，方程6x+8=0成立，所以x=2,x=4是方程x2—6x+8=0的根.

解：2,4是方程x2—6x+8=0的根.

方法總結：（1）使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做一元二次方程的解，也

叫一元二次方程的根.

（2）判斷一個數是否為某個一元二次方程的根，我們只需要將這個數當作未知數的值分

別代入原方程的左右兩邊，看左右兩邊代數式的值是否相等，若相等，則這個數是一元二次

方程的根；若不相等，則這個數不是一元二次方程的根.

探究點二：估算一元二次方程的近似解

畫?請求出一元二次方程好一公一1=0的正數根（精確到0.1）.

解析：先列表取值，初步確定正數根%在哪兩個整數之間，然后再用類似的方法逐步確

定出丫的近似正數根.

解：（1）列表，依次取x=0,1,2,3,…

X0123…

X2-2X-1-1-2-12…

由上表可發(fā)現，當2VxV3時，-IVr—2x-lV2；

（2）繼續(xù)列表，依次取x=2.1,2.2,2.3,2.4,2.5,…

X2.12.22.32.42.5…

^2—2x—1-0.79-0.56-0.31-0.040.25…

由上表可發(fā)現，當2.4VxV2.5時，一0.04〈/一法一1<0.25；

（3）取x=2.45,則/一2%—1Q0.1025.

A2.4<x<2.45,：.x^2A.

方法總結：（1）利用列表法估算一元二次方程根的取值范圍的步驟是：首先列表，利用

未知數的取值，根據一元二次方程的一般形式公2+云+°=0（小兒C為常數，。#0）分別計

算加+區(qū)+c的值，在表中找到使d+加+c可能等于0的未知數的大致取值范圍，然后

再進一步在這個范圍內取值，逐步縮小范圍，直到所要求的精確度為止.

(2)在估計一元二次方程根的取值范圍時，當加+公+以。"。)的值由正變負或由負變正

時，x的取值范圍很重要，因為只有在這個范圍內，才能存在使"十陵十。=0成立的x的

值，即方程的根.

三、板書設計

一元二次方程的解的估算，采用“夾逼法”：

(1)先根據實際問題確定其解的大致范圍；

(2)再通過列表，具體計算，進行兩邊“夾逼”，逐步獲得其近似解.

“估算”在求解實際生活中一些較為復雜的方程時應用廣泛.在氐節(jié)課中讓學生體會用

“夾逼”的思想解決一元二次方程的解或近似解的方法.教學設計上.強調自主學習，注重

合作交流，在探究過程中獲得數學活動的經驗，提高探究、發(fā)現和創(chuàng)新的能力.

第2課時一元二次方程的解及其估算

教學工、會用估算的方法探索一元二次方程的解或近似解

目標2、經歷方程解的探索過程，增進對方程解的認識，發(fā)展估算意識和能力。

重點：探索一元二次方程的解或近似解

難點：培養(yǎng)學生的估算意識和能力

【教學過程】備注

一、溫故而知新

1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是：,

2、指出下列方程的二次項系數，一次項系數及常數項。

(l)2x2-x+l=0(2)-x2+l=0(3)x2-x=0⑷3x2=0

二、問題探究：

探索1：上節(jié)我們列出了與地毯的花邊寬度有關的方程。

地毯花邊的寬x(m),滿足方程(8-2x)(5-2x)=18

也就是：2x2-13x+ll=0

你能估算出地毯花邊的寬度x嗎？

(1)x可能小于0嗎？說說你的理由；,

(2)x可能大于4嗎？可能大于2.5嗎？為什么？

(3)完成下表

X00.511.522.5

2x2-13x+ll

(4)你知道地毯花邊的寬x(m)是多少嗎？還有其他求解方法嗎？與同伴

交流。

備注

探索2：梯子底端滑動的距離x（m）滿足方程（x+6產+乃=1。2,也就是

x2+12x—15=0

（1）你能猜出滑動距離x（m）的大致范圍嗎？

（2）x的整數部分是?十分位是?

X0

x2+12x-15

所以___<x<

進一步計算

X

X2+12X-15

所以—<x<_

因此X的整數部分是_r十分位是

三、當堂訓練：

完成課本34頁隨堂練習

四、學習體會:

五、課后作業(yè)

2.2用配方法求解一元二次方程

第1課時用配方法求解簡單的一元二次方程

1.會用直接開平方法解形如(X+機)2=〃(〃>0)的方程；(重點)

2.理解配方法的基本思路；(難點)

3.會用配方法解二次項系數為I的一元二次方程.(重點)

一、情景導入

一塊石頭從20m高的塔上落下，石頭離地面的高度力(m)和下落時間Ms)大致有如下關

系：〃=20—5/,問石頭經過多長時間落到地面？

二、合作探究

探究點一：用直接開平方法解一元二次方程

砸1用直接開平方法解下列方程：

(1)^-16=0;(2)3/—27=0；

(3)。-2)2=9;(4)(2y-3)2=16.

解析：用直接開平方法解方程時，要先將方程化成左邊是含未知數的完全平方式，右邊

是非負數的形式，再根據平方根的定義求解.注意開方后，等式的右邊取“正、負”兩種情

況.

解：(1)移項，得r=16.根據平方根的定義，得工=±4,即川=4,及=-4；

(2)移項，得3f=27.兩邊同時除以3,得/=9.根據平方根的定義，得％=±3,即沏=3,

X2=—3；

(3)根據平方根的定乂，得x-2=±3,即x-2=3或x—2=-3,所以％i=5,xz=-1；

(4)根據平方根的定義，得2廠3=±4,即2廠3=4或2廠3=—4,所以川=多”=一

1

2,

方法總結：直接開平方法是解一元二次方程的最基本的方法，它的理論依據是平方根的

定義，它的可解類型有如下幾種：①f=a(a20);②(x+〃)2=〃S20)；③(tu+b)2=c(c20)；

④(如+b)2=(以+d)2(|a|W期).

探究點二：用配方法解二次項系數為1的一元二次方程

用配方法解方程：/+〃-1=0.

解析：方程左邊不是一個完全平方式，需將左邊配方.

解：移項，得9+2x=l.

配方，得/+2^+($2=1+(守，

即一+1)2=2.

開平方，得x+l=±Vl

解得的=?一1,M=一木―1.

方法總結：用配方法解一元二次方程時，應按照步驟嚴格進行，以免出錯.配方添加時，

記住方程左右兩邊同時加上一次項系數一半的平方.

三、板書設計

用配方法解簡單的一元二次方程：

1.直接開平方法：形如(x+卅)2=〃(〃20)用直接開平方法解.

2.用配方法解一元二次方程的基本思路是將方程轉化為a+m)2=〃(〃20)的形式，再用

直接開平方法，便可求出它的根.

3.用配方法解二次項系數為1的元二次方程的?般步驟：

(1)移項，把方程的常數項移到方程的右邊，使方程的左邊只含二次項和一次項；

(2)配方，方程兩邊都加上一次項系數一半的平方，把原方程化為(1+機)2=〃(〃20)的形

式；

(3)用直接開平方法求出它的解.

通過觀察，思考，對比獲得一元二次方程的解法一一直接開平方法、配方法，領會降次

一一轉化的數學思想.培養(yǎng)學生從不同角度進行探究的習慣和能力，使學生在數學活動中形

成實事求是的態(tài)度以及獨立思考的習慣.

2.2用配方法求解一元二次方程

第1課時用配方法求解簡單的一元二次方程

1.會用開平方法解形如(x+m)2=n(n2O)的方程；理解配方法，會用配方法解簡單的

教數字系數的一元二次方程.

學

目2.經歷列方程解決實際問題的過程，體會一元二次方程是刻畫現實世界數量關系的一

標

個有效數學模型,增強學生運用數學的意識和能力.

3.體會轉化的數學思想方法.

重點：利用配方法解一元二次方程.

難點：把一元二次方程通過配方轉化為(x+m)2=n(n20)的形式.

知識鏈接：求一元二次方程的近似解

備注

一、【自學感知】

在上一節(jié)的問題中，梯子底端滑動的距離x(m)滿足方程x2+12x-15=O.我們已

經求出了X的近似值，你能求出它的精確值嗎？

二、合作交流

活動一：

(1)你能解哪些特殊的一元二次方程？

(2)你會解下列一元二次方程嗎？你是怎么做的？

x2=5,2x2+3=5,x2+2x+l=5,(x+6)2+72=IO2

(3)你能解方程x2+12x-15=O嗎？你遇到的困難是什么？你能設法將這個方程轉

化成上面方程的形式嗎？與同伴進行交流。

活動二：

做一做：

填上適當的數，使下列等式成立

(1)x2+12x+_________=(x+6)2

(2)x2-4x+_________=(x-_____)2

(3)x2+8x+__________=(x+__)2

在上面等式的左邊，常數項和一次項有什么關系

解一元二次方程的思路是什么？

備注

活動三:

例1、解方程:x2+8x-9=0

你能用語言總結配方法嗎?

課本37頁隨堂練習

課時作業(yè)：

第2課時用配方法求解較復雜的一元二次方程

鰭I

1.會用配方法解二次項系數不為1的一元二次方程；(重點)

2.能夠熟練地、靈活地應用配方法解一元二次方程.(難點)

一、情景導入

某輛汽車在公路上行駛，它行駛的路程s(m)和時間/(s)之間的關系為：s=10z+3凡那

么行駛200m需要多長時間？

二、合作探究

探究點一：用配方法解二次項系數不為1的一元二次方程

的U用配方法解方程：一聶+|r-1=0.

解析：先把方程二次項的系數化為1,再配方成(1+〃?)2=〃(〃20)的形式，最后開平方

即可.

解：方程兩邊同除以一看得/一5葉尹0.

移項，得/-5%=一/

配方，得X2—5x+(一京=-,+(一m2,

即(%-m2=呈

兩邊開平方，得乎.

日n5V13-5亞^

即X-2=2-x~2=一"2"

在z5+遮5—遮

所以汨=-2-，X2=-2一?

易錯提醒：用配方法解一元二次方程時，易出現以下錯誤：(。方程一邊忘記加常數項；

(2)忘記將二次項系數化為1;(3)在二次項系數化為1時，常數項忘記除以二次項系數；(4)

配方時，只在一邊加上一次項系數一半的平方.

探究點二：配方法的應用

【類型一］利用配方法求代數式的值

畫國已知々2—3。+〃一，+和=0,求4—4、傷的值.

解析：觀察方程可以知道，原方程可以用配方法轉化為兩個數的平方和等于。的形式,

得到這兩個數都為0,從而可求出a,b的值，再代入代數式計算即可.

解：原等式可以寫成：3一當2+S—()2=0.

3131

；?a—2=0,6—工=0,解得a=i，b=［

方法總結：這類題目主要是配方法和非負數性質的綜合應用，通過配方把等式轉化為兩

個數的平方和等于0的形式是解題的關鍵.

［類型二］利用配方法求代數式的最值或判定代數式的值與0的關系

砸1請用配方法說明：不論X取何值，代數式/—5x+7的值恒為正.

解析：本題是要運用配方法將代數式化為一個平方式加上一個常數的膨式.

解：,?2-5x+7=A5工+胡+7—g)2=(x—分+點而(L%2。，

?/5、-3、3

??(%_］)-+汽.

???代數式/-5彳+7的值恒為正.

方法總結：對于代數式是一個關于x的二次式且含有一次項，在求它的最值時，常常采

用配方法，將原代數式變形為一個平方式加一個常數的形式，根據一人數的平方是一個非負

數，從而就可以求出原代數式的最值.

［類型三］利用配方法解決一些簡單的實際問題

硒1如圖，一塊矩形土地，長是48m,寬是24m,現要在它的中央劃一塊矩形草地,

四周鋪上花破路，路面寬都相等，草地面積占矩形土地面積的,，求花磚路面的寬.

解析；若設花席路面寬為xm,則草地的長與寬分別為(48-2x)m及(24-2r)m,根據等

量關系：矩形草地的面積=^X矩形土地的面積，即可列一元二次方程求解.

解：設花磚路面的寬為xm.根據題意，得(48—2；0(24—2%)="4*24.

整理，得/-36x=-128.

配方?得X2—36x+(—18)2=—128+(—18)2,

即(%—18)2=196.

兩邊開平方，得x—18=±14.

即x—18=14,或x—18=—14.

所以xi=32(不合題意，舍去卜％2=4.

故花磚路面的寬為4m.

方法總結：列一元二次方程解決實際問題時，一定要檢驗方程的根，這些根雖然滿足所

列的一元二次方程，但未必符合實際問題，因此，求出一元二次方程的解之后，要把不符合

實際問題的解舍去.

三、板書設計

用配方法解二次項系數不為1的一元二次方程的步驟：

(1)把原方程化為一般形式；

(2)二次項系數化為1,方程兩邊都除以二次項系數；

(3)移項，把常數項移到右邊，使方程左邊只含二次項和一次項；

(4)配方，方程兩邊都加上一次項系數一半的平方；

(5)用直接開平方法解方程.

通過對比用配方法解二次項系數是1的一元二次方程，發(fā)現解二次項系數不是1的一元

二次方程的方法,經歷從簡單到復:雜的過程，對配方法全面認識.培養(yǎng)學生發(fā)現問題的能力，

通過學生親自解方程的感受與經驗，總結成文，幫助學生養(yǎng)成系統(tǒng)整理知識的學習習慣.

第2課時用配方法求解較復雜的一元二次方程

課題第2課時用配方法求解較星雜的一元二次方程課型新授課

1.會用配方法解二次項系數不為1的一元二次方程..

教學目標

2.了解用配方法解一元二次方程的基本步驟.

教學重點用配方法求解一元二次方程.

教學難點理解配方法.

教學方法講練結合法

教學后記

教學內容及過程學生活動

1、復習：

.1、什么叫配方法？

2、怎樣配方？方程兩邊同加上一次項系數一半的平學生回答

方。

3、解方程:演板

（1）x2+4x+3=X）（2）X2—4x+2=0

二、新授：.

1、例題講析：

例3：解方程,：3x2+8x-3=0

分析：將二次項系數化為1后，用配方法解此方程。

O

解：兩邊都除以3,得：X2+5X-1=0

o

移項，得：X=1

844

配方，得：x+（§）2=1+（3戶（方程兩邊都加

上一次項系數一半的平方）

（X+1）2=（|）2

451

即：x+§=±§所以,X2=—3

2、用配方法解一元二次方程的步驟.：由學生共同小結

（1）把二次項，系數化為1;

（2）移項，方程的一邊為二次項和一次項，另一邊為

常數項。

,（3）方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方。

（4）用直接開平方法求出方程的根。

3、做一做：

一小球以15m/s的初速度豎直向上彈出，它在空中

的高度h(m)與時間t(s)滿足,關系：h=15t-5t2

小球何M能N到10m高？

三、鞏固：

練習:P39隨堂練習

四、小結：這節(jié)課我們利用配,方法解

用配方法解一元二次方程的步驟。決了二次項系數不為1或者

(1)化二次項系數為1;一次項系數不為偶數等較復

(2)移項,；雜的一元二次方程，由此我們

(3)配方：歸納出配方法的基本步驟

(4)求根。

五、作業(yè)

課本P40習題2.41、2

板書設計：

一、解方程

二、做一做，讀一讀

三、課時小結

四、課后作業(yè)

2.3用公式法求解一元二次方程

第1課時用公式法求解一元二次方程

1.理解一元二次方程求根公式的推導過程；

2.會用公式法解一元二次方程；(重點)

3.會用根的判別式從一4訛判斷一元二次方程根的情況及相關應用.(難點)

一、情景導入

如果這個一元二次方程是一般形式加+bx+c=03N0),你能否用配方法的步驟求出

它們的兩根？請同學獨立完成下面這個問題.

問題：已知6+法+。=0340),且按一4砒20,試推導它的兩個根x尸二4訛,

-b—皿2一4ac

二、合作探究

探究點一：用公式法解一元二次方程

［例U方程3X2—8=7］化為一?般形式是,其中。=,b=,

c=,方程的根為.

解析：將方程移項可化為3/—7%—8=0.其中。=3,方=-7,c=-8,因為拄一而。=(一

7)2—4X3X(—8)=145>0,代入求根公式可得上=,"^詬.

7±\/145

故答案分別為3r-7x—8=0,3,—7,—8,—.

方法總結：一元二次方程ad+bx+cuOQWO)的根是由方程的系數a,b,c確定的，只

要確定了系數〃，Ac的值，代入公式就可求得方程的根.

砸用公式法解下列方程：

(1)一3/—54+2=0;(2)2r2+3x+3=0；

解析：先確定a,8，c,及加一4ac,的值，再代入公式求解即可.

解：(1)—3爐一5x+2=0,3x?+5x—2=0.

Va=3,b=5,c=-2,

???〃-4ac=52—4X3X(—2)=49>0,

.~5±>/49~5±7

2X36

?X2=-2；

(2)Va=2,b=3,c=3,

???加-4m=32—4X2X3=9-24=-15V0,

???原方程沒有實數根；

(3)Va=l,b=-2,c=l,

工護一4“C=(—2)2—4X1X1=0,

.2±^02±0

**J=2X1=-F*

/?Xl=X2=1.

方法總結：用公式法解一元二次方程時，首先應將其變形為一般形式，然后確定公式中

mb,。的值，再求出爐一4加的值與“0”比較，最后利用求根公式求出方程的根(或說明其

沒有實數根).

探究點二：一元二次方程根的判別式

［類型—］用根的判別式判斷一元二次方程根的情況

已知?元二次方程人2+冗=1,下列判斷正確的是()

A.該方程有兩個相等的實數根

B.該方程有兩個不相等的實數根

C.該方程無實數根

D.該方程根的情況不確定

解析：原方程變形為r+工一1=0.??"2—4農=12—4乂1乂(-1)=5>0,???該方程有兩個

不相等的實數根，故選B.

方法總結：判斷一元二次方程根的情況的方法：利用根的判別式判斷一元二次方程根的

情況時，要先把方程轉化為一般形式公2+加+。=0(。=0).當〃一4〃c>0時，方程有兩個

不相等的實數根；當按一4訛=0時，方程有兩個相等的實數根；當4acV0時，方程無

實數根.

［類型二］根據方程根的情況確定字母的取值范圍

硒1若關于x的一元二次方程立一2r—1=0,有兩個不相等的實數根，則攵的取值范

圍是()

A.k>~\B.上一1且M0

C.k<\D.女<1且攵W0

解析：由根的判別式知，方程有兩個不相等的實數根，則尻-4的>0,同時要求二次項

［(—2)2-4&(-1)>0,

系數不為0,即解得攵>一1且kW0,故選B.

［AWO.

易錯提醒：利用從一4〃。判斷一元二次方程根的情況時，容易忽咚二次項系數不能等于

0這一條件，本題中容易誤選A.

［類型三］根的判別式與三角形的綜合應用

碉己知a,h,c分別是△A8C的三邊長，當加>0時，關于x的一元二次方程c(f+

m)+Kv2—nt)—2y/mor=0有兩個相等的實數根，請判斷△ABC的形狀.

解析：先將方程轉化為一般形式，再根據根的判別式確定。，兒，之間的關系，即可判

定△ABC的形狀.

解：將原方程轉化為一般形式，得(b+c)%2—2、師ai+(c—力機=0.

*.*原方程有兩個相等的實數根，

—2y[ma)?—4(b+c)(c—歷6=0,

即4〃1(4+從-/)=0.

又/?a2-F^—c2=0,即/+護=/.

根據勾股定理的逆定理可知AA8C為直角三角形.

方法總結：根據一元二次方程根的情況，利用判別式得到關于一元二次方程系數的等式

或不等式，再結合其他條件解題.

三、板書設計

用

公

式「出出〔八沖一出/12-4訛

法求根公式：x=-------------------(aWO,b2~4ac^0)

解①化為一般形式

②確定a,b,c的值

元③求出爐一4訛

(④利用求根公式求解

次I一元二次方程根的判別式

方

程

經歷從用配方法解數字系數的一元二次方程到解字母系數的一元二次方程，探索求根公

式，發(fā)展學生合情合理的推理能力，并認識到配方法是理解求根公式的基礎.通過對求根公

式的推導，認識到一元二次方程的求根公式適用于所有的一元二次方程，操作簡單.體會數

式通性，感受數學的嚴謹性和數學結論的確定性.提高學生的運算能力，并養(yǎng)成良好的運算

習慣.

2.3用公式法求解一元二次方程

第1課時用公式法求解一元二次方程

教學內容

1.一元二次方程求根公式的推導過程；

2.公式法的概念；

3.利用公式法解一元二次方程.

教學目標

理解一元二次方程求根公式的推導過程，了解公式法的概念，會熟練應用公式法解一元

二次方程.

復習具體數字的一元二次方程配方法的解題過程，引入ax2+bx+c=O（aNO）國的求根公

式的推導公式，并應用公式法解一元二次方程.

重難點關鍵

1.重點：求根公式的推導和公式法的應用.

2.難點與關鍵：一元二次方程求根公式法的推導.

教學過程

一、復習引入

（學生活動）用配方法解下列方程

(1)6x2-7x+l=0(2)4x2-3x=52

（老師點評）（1）移項，得：6x2-7x=-l

7|

二次項系數化為1,得：x2--x=--

66

配方，得：x2--x+(―)2=--+

6126

(7、225

(X---)2=----

12144

x-l=±Ax577+5

1=—+—=----=1

1212121212

577-51

X2=---+-=-----=—

1212126

（2）略

總結用配方法解一元二次方程的步驟（學生總結，老師點評）.

（1）移項；

（2）化二次項系數為1；

（3）方程兩邊都加上一次項系數的一半的平方；

（4）原方程變形為（x+m）Jn的形式；

（5）如果右邊是非負數，就可以直接開平方求出方程的解，如果右邊是負數，則一元

二次方程無解.

二、探索新知

如果這個一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0（aWO）,你能否月上面配方法的步驟求

出它們的兩根，請同學獨立完成下面這個問題.

-b+\jb2-4ac

問題：已知ax2+bx+c=O（aWO）且b2-4ac>0?試推導它的兩個根刈=

-b-yjb2-4ac

分析：因為前面具體數字已做得很多，我們現在不妨把a、b、c0乜當成一個具體數字,

根據上面的解題步驟就可以一直推下去.

解：移項，得：ax2+bx=-c

hr

二次項系數化為1，得X?+2X=

aa

*z■,b.b..c,b、)

酉31n己方，得H：x2+—x+(一)2=--+(—)2

a2aa2a

￡-4OC

即(X+±)2=

2a荷

Vb2-4ac>0且4a2>0

b2-4ac

20

4a2

直接開平方，得：x+9士勺竺

-b±yJb2-4ac

即x=--------------

2a

-b+"2-44c-b-yjb2-4ac

由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的根由方程的系數a、b、c而定，因此：

(1)解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0,當b-4ac20時，0

將a、b、c代入式子就得到方程的根.

(2)這個式子叫做一元二次方程的求根公式.

(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.

(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個實數根.

例1.用公式法解下列方程.

(1)2x2-4x-l=0(2)5x+2=3x2

(3)(x-2)(3x-5)=0(4)4x2-3x+l=0

分析：用公式法解一元二次方程，首先應把它化為一般形式，然后代入公式即可.

解：(1)a=2,b=-4,c=-l

b2-4ac=(-4)2-4X2X(-1)=24>0

-(-4)土扃4±2、62±V6

x=--------------------=-------------=-----------

2+x/62-瓜

/.Xi=------------，X2=-------------

22

(2)將方程化為一般形式

3x2-5x30

a=3,b=-5>c=-2

b2-4ac=(-5)2-4X3X(-2)=49>0

-(-5)±>/495±7

-2x3~6

1

Xi=2,X2=--

3

(3)將方程化為一般形式

3x2-llx+9=0

a=3,b=-ll>c=9

b2-4ac=(-11)2-4X3X9=13>0

.-(-H)±V1311±>/13

?.x=------------------------=----------------

2x36

11+V1311-VF3

Xi=---------------，X2=----------------

66

（3）a=4,b=-3?c=l

b2-4ac=（-3）2-4X4Xl=-7<0

因為在實數范圍內，負數不能開平方，所以方程無實數根.

三、鞏固練習

教材P43隨堂練習

四、應用拓展

例.某數學興趣小組對關于x的方程（m+1）xm2+2+（m-2）x-l=0提出了下列問題.

（1）若使方程為一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程.

（2）若使方程為一元二次方程m是否存在？若存在，請求出.

你能解決這個問題嗎？

分析：能.（1）要使它為一元二次方程，必須滿足m2+l=2,同時還要滿足（m+1）W0.

（2）要使它為一元一次方程，必須滿足：

—m2+1=1-［療+1=0-（加+1=0

①！或②〈或③〈

。九+1）+（陽一2）工0［加一2Ho［m-2^0

解：（1）存在.根據題意，得：m2+l=2

m2=lm=±l

當m=l時，m+l=l+l=2^0

當m=-l時，m+l=-l+l=0（不合題意，舍去）

，當m=l時，方程為2x2-l-x=0

a=2>b=-l?c=-l

b2-4ac=(-1)2-4X2X(-1)=1+8=9

-(-l)±>/91±3

x=-----------------=-------

2x24

1

Xl=,X2=--

2

因此，該方程是一元二次方程時，m=l,兩根刈=1,x2=--.

2

(2)存在.根據題意，得：①m2+l=l,m2=0?m=0

因為當m=0時,(m+1)+(m-2)=2m?l=?l#0

所以m=0滿足題意.

②當m2+l=O,m不存在.

③當m+l=O,即m=?l時,m-2=-3#0

所以m=-l也滿足題意.

當m=0時，一元一次方程是x-2x-l=0,

解得：x=-l

當m=-l時，元次方程是-3x-l=0

解得x=」

3

因此，當m=0或-1時，該方程是一元一次方程，并且當m=0時，其根為x=-l；

當m-01時，其一元一次方程的根為乂=-』.

3

五、歸納小結

本節(jié)課應掌握：

<1)求根公式的概念及其推導過程；

(2)公式法的概念；

(3)應用公式法解一元二次方程：

(4)初步了解一元二次方程根的情況.

六、布置作業(yè)

1.教材P43習題2.51、2

2.選用作業(yè)設計：

一、選擇題

1.用公式法解方程4x，12x=3,得到().

-3±V63±>/6-3±263±26

A.x=---------B.x=———C.x=-----------D.x=.........-

2222

2.方程近x2+4Gx+60=0的根是().

A.Xi=\/2,X2=J5；B.X1=6,X2=V2；C.Xi=2\/2,X2=&；D.X1=X2=->/6

3.(m2-n2)(m2-n2-2)-8=0,則mZ-rP的值是().

A.4B.-2C.4或?2D.?4或2

二、填空題

1.一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的求根公式是,條件是.

2.當乂=時，代數式"-8X+12的值是?4.

3.若關于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2+2m-3=0有一根為0,則m的值是.

三、綜合提高題

1.用公式法解關于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0.

2.設xi，X2是一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)的兩根，(1)試推導XI+X2=-2,Xrx2=

a

—；(2)團求代數式a(XI3+X23)+b(XI2+X22)+C(X1+X2)的值.

a

3.某電廠規(guī)定：該廠家屬區(qū)的每戶居民一個月用電量不超過A千瓦時，回那么這戶居

民這個月只交10元電費，如果超過A千瓦時，那么這個月除了交10才元用電費外超過部分

A

還要按每千瓦時一元收費.

100

(1)若某戶2月份用電90千瓦時，超過規(guī)定A千瓦時，則超過部分電費為多少元？

(囹用A表示)

(2)下表是這戶居民3月、4月的用電情況和交費情況

月份用電量(千瓦時)