專題39圓中的線段數(shù)量關系問題-2021-2022學年九年級數(shù)學（上冊下冊）?？碱}專練（北師大版）

專題39圓中的線段數(shù)量關系問題在幾何綜合題中，探索三條線段的數(shù)量關系是一種常見考點，通常這類問題的解決是將這三條線段通過轉換，變成兩條線段或一個特殊三角形例如直角三角形，從而得到它們之間的數(shù)量關系。簡單的關系即兩條線段和等于第三條線段，稍復雜的結果是三條線段滿足勾股定理，或者在這二者基礎上再加以變化，但萬變不離其宗，合理構造全等或相似是第一步。1．如圖，點為外接圓上的一動點（點不在上，且不與點，重合），．若連接，請寫出，，的數(shù)量關系式．【解答】解：連接，把繞點順時針旋轉得到，如圖，（1）弧弧，，又，，，是該外接圓的直徑，，把繞點順時針旋轉得到，，，，，，，，點在的延長線上，，而，，為等腰直角三角形，，，故答案為：．2．如圖，點在以為直徑的上，的角平分線與相交于點，與相交于點，延長至，連結，使得，過點作的平行線與的延長線交于點．（1）求證：與相切；（2）試給出、、之間的數(shù)量關系，并予以證明．【解答】證明：（1）是直徑，，，平分，，，，，，，與相切；（2），理由如下：，，，，是直徑，，，，，，，，，，，．3．阿基米德，公元前287年公元前212年，古希臘）是有史以來最偉大的數(shù)學家之一．他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學王子．阿拉伯年年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內容，前蘇聯(lián)在1964年根據譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖①，已知和是的兩條弦（即折線是的一條折弦），，是的中點．那么從向所作垂線的垂足是折弦的中點，即．下面是運用“截長法”證明的部分證明思路：證明：如圖②，在上截取，連接，，【定理證明】按照上面的思路，寫出剩余部分的證明過程．【問題解決】如圖③，等邊內接于，，為上一點，，求的周長．【解答】解：【定理證明】如圖②，在上截取，連接，，，，可得，是的中點，，在中，，，，，，，即；【問題解決】如圖③，作，是等邊三角形，，，由阿基米德折弦定理，可得，，，，，，故的周長為：．4．【探索發(fā)現(xiàn)】小迪同學在學習圓的內接正多邊形時，發(fā)現(xiàn)：如圖1，若是圓內接正三角形的外接圓的上任一點，則，在上截取．連接，可證明是等邊（填“等腰”“等邊”或“直角”三角形，從而得到，再進一步證明，得到，可證得：．【拓展應用】小迪同學對以上推理進行類比研究，發(fā)現(xiàn)：如圖2，若是圓內接正四邊形的外接圓的上任一點，則，分別過點、作于、于．【猜想證明】寫出、與之間的數(shù)量關系，并說明理由．【解答】解：探索發(fā)現(xiàn)：①，，，又，為等邊三角形，則，，，為正三角形，②，在和中，，；拓展應用是圓內接正四邊形的外接圓上一點，，，每個弧所對的圓心角度數(shù)和為，與所對的圓心角為，；【猜想證明】，證明：，，，為等腰直角三角形，由勾股定理得，，，，，為等腰直角三角形．，由勾股定理得，，又，，又，，，，即．5．如圖1，是的外接圓，是直徑，是外一點且滿足，連接．（1）求證：是的切線；（2）若，，，求的長；（3）如圖2，當時，與交于點，試寫出、、之間的數(shù)量關系并證明．【解答】解：（1）連接，如圖1所示：是的直徑，，，，，，，，是半徑，是的切線；（2），，又，，，即，，即的長為；（3）關系是：，理由如下：在上截取使，連接、，如圖2所示：是直徑，，，為等腰直角三角形，，，在和中，，，，，為等腰直角三角形．，．6．如圖，內接于，，，點為上的動點，且．（1）求的長度；（2）在點的運動過程中，弦的延長線交延長線于點，問的值是否變化？若不變，請求出的值；若變化，請說明理由；（3）在點的運動過程中，過點作，求證：．【解答】解：（1）作，，，，，，在中，，；（2）連接，，，四邊形內接于圓，，，，公共角，，，；（3）在上取一點，使得，在和中，，，，，，，，．7．已知內接于，的平分線交于點，連接，．（1）如圖①，當時，請直接寫出線段，，之間滿足的等量關系式：；（2）如圖②，當時，試探究線段，，之間滿足的等量關系，并證明你的結論；（3）如圖③，若，，求的值．【解答】解：（1）如圖①在上截取，連接，，的平分線交于點，，，和都是等邊三角形，，，，，，；故答案為：．（2）．理由如下：如圖②，延長至點，使，連接，四邊形內接于，，，，，，，．，即，；（3）如圖③，延長至點，使，連接，四邊形內接于，，，，，，，，，，，又，，，．8．如圖，是的外接圓，是的直徑，點是半圓的中點，點是上一動點（不與點、重合），連接交于點．（1）如圖1，過點作，交延長線于點，求證：與相切；（2）若，，求的長；（3）如圖2，把沿直線翻折得到，連接，當點在運動時，探究線段、、之間的數(shù)量關系，并說明理由．【解答】解：（1）連接，是的外接圓，是的直徑，點是半圓的中點，，，，，，，與相切；（2）如圖1，作交于點，點是半圓周的中點，，是的直徑，，，，在中，，，，，在中，設，則，，，解得：，，在中，；（3）結論：．作，使得，連接，．，，，，，，，，，，，．9．如圖1，是的直徑，是上一點，于，是延長線上一點，連接，，是線段上一點，連接并延長交于點．（1）求證：是的切線；（2）若，求證：；（3）如圖2，若，，點是的中點，與交于點，連接．請猜想，，的數(shù)量關系，并證明．【解答】解：（1）證明：連接，如圖所示：，，，，又，，即，是的切線；（2）證明：是的直徑，，，又，，，，，，，，，，，又，，，，，；（3）．理由如下：如圖，連接、，，，，，，，，，，，，，點是的中點，，，，，，設，則，，又，，，，即，，在中，，．10．如圖，在的邊上取一點，以為圓心，為半徑畫，與邊相切于點，，連接交于點，連接，并延長交線段于點．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的半徑；（3）若是的中點，試探究與的數(shù)量關系并說明理由．【解答】解：（1）如圖，連接，與邊相切于點，，即，，，，，，，又是半徑，是的切線；（2），設，，，，，，，，，，，，故的半徑為；（3），理由如下：連接，，由（1）可知：，，，又，，，，，，，點是中點，，，，，，，．11．綜合與實踐問題背景：我們已經學過平行四邊形、矩形、菱形、正方形等特殊的四邊形，大家對它們的性質非常熟悉．在我們身邊還有一種特殊的四邊形等鄰邊四邊形，即：一組鄰邊相等的四邊形叫等鄰邊四邊形．圓內接等鄰邊四邊形除了一組鄰邊相等外，另兩條邊和它們所夾對角線還具有如下數(shù)量關系：如圖（1），四邊形內接于，若，則為常數(shù)），如：當，時，我們可以用圖（2）或圖（3）所示的“截長補短”法證得，和的數(shù)量關系為．類比探究：（1）如圖（4），四邊形內接于，，．求證：．（2）如圖（5），四邊形內接于，，，請寫出，，之間的數(shù)量關系，并證明．發(fā)現(xiàn)感悟：（3）若四邊形內接于，，．請你借助圖（1），直接寫出，，之間的數(shù)量關系：．（用含的式子表示，不要求證明）模型應用：（4）如圖（6），已知，兩點坐標分別為，，點是外接圓上的一點，且．則點的坐標為：．（直接寫出結果即可）【解答】（1）證明：如圖4中，延長到，使得，連接．四邊形內接于，，又，又，，，，，，是等腰直角三角形．．．（2）解：結論：．理由：如圖5中，延長到，使得，連接，過點作，垂足為．四邊形內接于，，又，又，，，，，，，．，即．（3）解：如圖1中，結論：．延長到，使得，連接，過點作，垂足為．同法可知，，．故答案為．（4）如圖6中，連接、，作于．，，，由（1）可知：，，，，，，，，故答案為．12．古希臘數(shù)學家阿基米德提出并證明了“折弦定理”．如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，是優(yōu)弧的中點，則從向所作垂線的垂足是折弦的中點，即．（1）請按照下面的證明思路，寫出該證明的剩余部分；證明：如圖2，在上截取，連接，，和．是的中點，，．（2）如圖（3），已知等邊內接于，，為上一點，，，垂足為，請你運用“折弦定理”求的周長．【解答】（1）證明：如圖2，在上截取，連接，，和．是的中點，，．在和中，，，又，，；（2）解：如圖3，截取，連接，，，由題意可得：，，在和中，，，，，則，，，則的周長是．13．如圖，已知的半徑為2，為直徑，為弦．與交于點，將沿翻折后，點與圓心重合，延長至，使，連接（1）求的長；（2）求證：是的切線；（3）點為的中點，在延長線上有一動點，連接交于點．交于點與、不重合）．問是否為定值？如果是，求出該定值；如果不是，請說明理由．【解答】（1）解：如圖，連接，沿翻折后，點與圓心重合，，，，；（2）證明：，，，，，，，，，是的切線；（3）解：是定值，證明如下，連接并延長，交于點，連接點為的中點，，且．14．如圖，內接于，，弦與交于，，過作于．（1）判斷與的位置關系，并說明理由；（2）求證：；（3）若，求的值．【解答】（1）解：結論：．理由：連接．，，，，．（2）證明：在上取一點，使得，連接，．，，，，，，，，，，，，，，．（3）解：，，，，，，，，，設，則，，，，，，．15．已知是的外接圓，為劣弧上一動點．（1）如圖1，若為正三角形，探究，，之間的數(shù)量關系，并說明理由；（2）如圖2，若為等腰直角三角形，且．①若為半圓一